Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/211

175

NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.

NOTES.

Dans une lettre, dont le brouillon existe dans les papiers laissés par Riemann, on lit, après la Communication du résultat de son travail, la remarque suivante :

« … Je n’ai pas encore complété la démonstration… et, à ce propos, je dois faire remarquer que les deux théorèmes que je n’ai fait qu’énoncer ici :

» Entre $0$ et $\mathrm {T}$ sont situées environ ${\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}\log {\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}-{\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}$ racines réelles de l'équation $\xi (0)$, et

» La série, $\sum _{\alpha }\left[\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i}\right)+\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}-\alpha i}\right)\right]$ lorsque les termes en sont rangés suivant l'ordre croissant des $\alpha$, tend vers la même limite que l'expression

${\frac {1}{2\pi i\log x}}\int \limits _{a-bi}^{a+bi}{\frac {d{\frac {1}{s}}\log {\frac {\xi \left[\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)i\right]}{\xi (0)}}}{ds}}x^{s}ds$,

lorsque la grandeur $b$ croit sans limites,

sont des conséquences d’un nouveau développement de la fonction $\xi$ que je n’ai pas encore suffisamment simplifié pour pouvoir vous le communiquer. »

Malgré maintes recherches subséquentes (Scheibner, Piltz, Stieltjes), les obscurités de cette question n’ont pas encore été complètement éclaircies.

[1] (p. 166). Ce mode d’existence de la fonction $\zeta (s)$ se reconnaît en se servant de la seconde forme de cette fonction

$2\zeta (s)=\pi i\Pi (-s)\int _{\infty }^{\infty }{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x-1}}}\mathrm {d} x$

et en remarquant, en outre, que ${\dfrac {1}{e^{x}-1}}+{\dfrac {1}{2}}$, dans le développement suivant les puissances ascendantes de $x$, ne contient que des puissances impaires.