56 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. Paragraphes. Pages.
XIX. Évaluation comparative des conditions nécessaires et suffisantes pour la détermination d’une fonction d’un argument complexe dans un domaine de grandeurs donné
XX. Le mode de détermination d’une fonction par des opérations sur les grandeurs, usité antérieurement, renferme des parties superflues. Les considérations traitées ici réduisent l’ensemble des agrégats de condition d’une fonction à leur quantité nécessaire
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XXI. Deux surfaces données, simplement connexes, peuvent toujours être rapportées l’une à l’autre, de telle sorte qu’à chaque point de l’une corresponde un point unique de l’autre, dont la position varie d’une manière continue avec celle du premier et de telle sorte que les plus petites parties correspondantes soient semblables. Pour un point intérieur et un point de l’encadrement d’une des surfaces, les points correspondants de l’autre peuvent être donnés quelconques ; par cela même la correspondance est déterminée pour tous les points
XXII. Observations finales 53
NOTES.
[1] (p. i). On a trouvé dans les manuscrits de Riemann l’addition suivante, qui se rapporte à ce passage :
« Par l’expression : la grandeur w varie d’une manière continue avec 5 entre les limites z ~ a, z = nous entendons ceci : Dans cet intervalle, à toute variation infiniment petite de z correspond une variation infiniment petite de w ou encore, en s’exprimant d’une manière plus détaillée : pour une grandeur donnée quelconque e, l’on peut toujours déterminer la grandeur a, de telle sorte que dans un intervalle relatif à z, plus petit que a, la différence entre deux valeurs de w ne soit jamais plus grande que z. La continuité d’une fonction, même lorsque ce point n’est pas expressément énoncé, entraîne d’après cela ce fait : la fonction est toujours finie. » [2] (P- 7). S’il n’y a pas une inadvertance, en cet endroit, c’est que Riemann aura fait usage de l’expression de gauche à droite dans une signification contraire à celle employée d’habitude, où le sens d’un circuit est défini par la manière dont le verrait décrit un observateur placé au centre et suivant des yeux le point décrivant le circuit. [3] (p. 20). L’exemple suivant peut servir à l’éclaircissement de ce passage, exprimé d’une manière un peu obscure.
