FONCTIONS D’UNE GRANDEUR YARIABLE COMPLEXE.
entre p = R et p = r ( où r < R) sera
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etj par suite, lorsque l’on prend r — Re a, elle sera > C. Par conséquent alors, si l’on choisit pour encadrement de T’ un cercle où _c
p < Re la partie de L qui provient du reste de T et, par suite, L loimême, sera > C, quel que soit X à l’intérieur du cercle. [Cette étude se rapporte, il est vrai, d’abord à un point qui n’est ni point de ramification ni point de l’encadrement ; mais elle n’éprouve de modification essentielle que pour un point de l’encadrement où la surface* aurait un point saillant, c’est-à-dire où l’encadrement aurait un point de rebroussement. Mais, dans ce dernier cas aussi, la détermination d’un ordre de discontinuité, auquel ne peut atteindre X, repose sur les mêmes principes ; nous nous contentons donc de l’indiquer.] Lorsque la portion de surface où X et y sont différentes devient infiniment petite, T’ lui-même, dans le cas d’une ligne de discontinuité, la partie restante de T, dans le cas d’un point de discontinuité, fourniront donc à L une contribution infinie, et notre affirmation est ainsi justifiée lorsque la discontinuité atteint l’ordre supposé. Sa légitimité en ces circonstances nous suffit ; en effet, pour des discontinuités d’ordre inférieur elle n’aurait plus lieu, comme, par exemple, lorsque pour la distance p entre le point de discontinuité et le point O, l’on a
ï = (loS^)|J et lx<"‘
Nous ajouterons donc la restriction suivante à la première partie du théorème du § XVI : Ou bien l’intégrale Q, où l’on a posé w-a + X, possède un minimum pour une des fonctions X, ou bien, pendant que il tend vers sa plus petite valeur limite, X n’admet une discontinuité qu’en des points isolés et telle que l’ordre de ~ , — * lorsqu’ils sont infinis, n’ata dxôy
teigne pas l’unité.
Une discontinuité de la fonction w, qui peut être détruite par modification de valeur en un point, doit se présenter, par exemple, lorsqu’on suppose qu’il existe en un endroit quelconque sur la surface un trou, c’est-à-dire un point d’encadrement isolé où l’on devrait donc supposer X — o. [7] (p. 48). Des recherches plus modernes ont fait voir que la puissance des expressions analytiques s’exerce même bien au delà de ce que l’on supposait d’après ces mots de Riemann. À ce sujet, Seidel le premier a donné de remarquables exemples { Journal de Crelle, t. 73, p. 279) ; ainsi, il a indiqué des expressions analytiques qui dépendent de z et qui dans un
