À l’époque de Kant et au dix-neuvième siècle, les énormes difficultés de ce problème n’étaient pas clairement visibles et les penseurs les plus anciens sont parvenus à leurs résultats de manière plutôt superficielle, mais lorsque, au cours des deux ou trois dernières décennies, le problème de la nature des propositions mathématiques s’est présenté aux mathématiciens sur leur propre territoire et qu’il a exigé une solution définitive dans l’intérêt des seules mathématiques pures, il a été repris par les logiciens, les philosophes à l’esprit empirique et les mathématiciens, sous la direction des plus subtils et des plus critiques d’entre eux.
Le travail de tous ces penseurs n’est pas encore tout à fait achevé — il reste encore quelques petites lacunes à combler — mais il n’y a plus le moindre doute sur la nature de la solution finale. Elle peut être exprimée brièvement de la manière suivante : les propositions mathématiques et logiques sont d’une nature si différente des propositions empiriques ordinaires qu’il est peut-être même imprudent de les appeler toutes les deux par le même nom. Il est si difficile de se rendre compte de cette différence, et elle n’a jamais été clairement perçue auparavant, parce que les deux sont exprimées dans le langage par des phrases de la même forme. Lorsque je dis : « La latitude de San Francisco est de 38° », et lorsque je dis : « La cinquième puissance de 2 est 32 », les deux phrases ne semblent pas seulement avoir une construction grammaticale similaire, mais elles semblent également transmettre une information réelle. L’une parle d’une certaine ville de Californie de la même manière que l’autre semble parler de certains nombres : comment pourrait-il y avoir une différence intrinsèque entre elles ? L’analyse logique stricte a montré qu’il existe la plus grande différence imaginable. Il s’agit simplement du fait que les propositions empiriques traitent réellement de quelque chose dans l’univers, elles communiquent des faits réels, alors que les propositions mathématiques ne traitent de rien de réel. Les « nombres » ne peuvent être trouvés nulle part dans le monde réel, de la même manière que San Francisco peut y être trouvé. Il n’est pas vrai non plus que les nombres sont simplement des imaginations de l’esprit humain, comme les dragons ou les anges, et il n’est pas vrai qu’ils appartiennent, avec d’autres objets « irréels », à un monde qui leur est propre, que Platon a appelé le royaume des Idées, et auquel de nombreux philosophes actuels croient également, en lui donnant des noms différents. Le fait est que les nombres ou d’autres entités logiques ne peuvent pas être considérés comme des « objets » dans quelque sens que ce soit. Les propositions qui les traitent apparemment ne communiquent aucun « fait » à leur sujet et ne sont donc pas des « propositions » à proprement parler. De quoi s’agit-il ?
