le rapport de la circonférence au diamètre est le nombre défini tout à l’heure par l’équation différentielle ? L’induction serait hardie ; pour la justifier, il sera utile de relier entre elles les deux notions, en apparence fort distinctes, de l’équation différentielle et de la circonférence : on fera voir que l’intégrale de l’équation s’exprime précisément au moyen des fonctions circulaires, sinus et cosinus, qu’étudie la trigonométrie élémentaire ; les valeurs de ces fonctions sont données par les tables de logarithmes usuelles et sont utilisées dans une foule de calculs ; ainsi se trouve établi le rapprochement pressenti ; on peut ajouter qu’il n’est pas seulement vrai théoriquement, mais que les relations dont il découle sont d’un usage constant dans toutes les questions pratiques où intervient la trigonométrie : en particulier, dans les calculs astronomiques et géodésiques, qui reposent sur des mesures de haute précision ; dans les calculs nautiques aussi, moins précis que les précédents, mais dont l’importance journalière apparaît davantage.
Telles sont les raisons profondes pour lesquelles l’introduction du nombre irrationnel n’est pas seulement un jeu d’esprit, destiné à satisfaire le souci d’exactitude et d’élégance des quelques milliers de personnes qui approfondissent l’étude des mathématiques ; même au point de vue purement pratique, sa valeur vraie (ou exacte au sens absolu du mot) est plus exacte, c’est-à-dire plus utile que la valeur approchée écrite plus haut, bien que la mesure directe d’une circonférence et de son diamètre ne puisse pas déceler l’inexactitude de cette valeur approchée.
Bien des imaginations sont hantées par cette question de la valeur de ou de la quadrature du cercle ; quelques-unes en sont dérangées et il arrive assez fréquemment que des hommes par ailleurs sains d’esprit publient des brochures pour prouver que la vraie valeur de n’est pas la valeur « officielle » ; les uns proposent , d’autres . Cette dernière valeur est relativement assez approchée ; on a
de sorte que l’erreur est environ 0,005 ; elle est assez difficile à déceler expérimentalement, vu qu’elle correspond à sur la circonférence d’une roue d’un mètre de diamètre ; une erreur d’un millimètre dans la mesure du diamètre entraînerait
