est plus compliquée que pour le nombre , par exemple, le fait qu’il existe beaucoup de définitions relativement simples et ayant entre elles des liens nombreux conduit à classer ces nombres, par suite de leur importance, parmi les plus simples. Lorsque le résultat d’un calcul est le nombre , ou le nombre , ou une fonction simple d’un de ces nombres, on s’accorde généralement pour dire que c’est un résultat simple.
Nous pouvons résumer ce qui précède en disant que le continu mathématique pratique comprend, outre les nombres rationnels, les nombres irrationnels dont la définition est simple. Cette simplicité est d’ailleurs en partie relative à la nature des questions traitées, mais la complication (ou défaut de simplicité) est forcément limitée par la nature des choses ; on n’a jamais — et pour cause — utilisé un nombre dont la définition exigerait, pour être complète, un million de volumes de cinq cents pages chacun.
5. La valeur pratique du continu. — On comprend maintenant, sans qu’il soit nécessaire d’y insister, quelle peut être l’utilisation pratique des nombres qui s’introduisent naturellement en mathématiques par l’étude de problèmes abstraits. Prenons comme exemple le nombre . L’analyste peut en donner bien des définitions ; il peut dire par exemple que l’intégrale générale de l’équation différentielle
admet une période égale à . Cette définition permet de calculer avec une approximation aussi grande que l’on veut ; on trouve ainsi les premières décimales
Supposons maintenant, en oubliant pour un instant la vérité historique, que le calcul précédent ait précédé l’évaluation approchée du rapport de la circonférence au diamètre ; des mesures empiriques, ou l’étude grossière des polygones réguliers les plus simples, conduisent à une valeur approchée de ce rapport qui coïncide, dans ses premières décimales, avec la valeur écrite plus haut — la coïncidence ne saurait être parfaite, puisque toute valeur empirique est forcément inexacte ; mais elle peut être suffisante pour éveiller l’idée d’un rapprochement. Devra-t-on immédiatement conclure que
