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${\begin{alignedat}{2}{\frac {11}{3}}=&\mathrm {\frac {-b}{a}} &\quad {\text{et}}\quad {\frac {-20}{3}}=&\mathrm {\frac {c}{a}} \\\mathrm {\frac {b}{a}} =&-{\frac {11}{3}}&\quad {\text{et}}\qquad \mathrm {\frac {c}{a}} =&-{\frac {20}{3}}\end{alignedat}}$    Je peux écrire

d’où                      

et, par suite, l’équation :

${\rm {x^{2}-{\frac {11}{3}}x-{\frac {20}{3}}=0\quad {\text{ou}}\quad 3x^{2}-11x-20=0}}$

qui est l’équation demandée.

226. – III. – Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit.

On peut considérer ces nombres comme les racines d’une équation que l’on détermine comme dans l’exercice précédent.

Soient $\mathrm {S} =16.\quad \mathrm {P} =60.$ On écrit

${\begin{aligned}{\rm {x^{2}-16x+60=}}&0\\{\rm {x'=10\quad {\text{et}}\quad x''=}}&6\end{aligned}}$
d’où l’on tire

qui sont les nombres cherchés.

227. – IV. – Discuter les racines d’une équation du second degré sans la résoudre.

Nous bornerons cette discussion à rechercher : 1^o si les racines sont réelles ou imaginaires ; 2^o si elles sont de même signe ou de signes contraires.

Rappelons-nous qu’un produit de deux facteurs n’est positif que si les deux facteurs sont de même signe, et qu’une somme de deux quantités de méme signe a ce signe ; si ces quantités sont de signes contraires, la somme prend le signe de la quantité qui a la plus grande valeur absolue.

1^o Soit l’équation$\qquad {\rm {3x^{2}-14x+8=0.}}$

Réalité : $\mathrm {b^{2}-4ac} =196-96=100\,;$ donc les racines sont réelles et inégales.

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {8}{3}}\,;\\\mathrm {S} =&{\frac {14}{3}}\,;\end{aligned}}$

Signes :
donc les racines ont même signe ;

la somme étant positive, les deux racines sont positives.