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que la surface totale du solide détaché soit équivalente à celle d’un cercle donné de rayon $\mathrm {r}$ (fig. 21) ?

La surface du solide se compose d’une calotte sphérique et d’un cercle. La surface de la calotte est donnée par la formule générale ${\rm {S=2\pi Rh,}}$ qui, dans le problème, devient ${\rm {S=2\pi Rx\,;}}$ celle du cercle donné est ${\rm {\pi r^{2}\,;}}$ de là l’équation
$\qquad {\rm {2\pi Rx+\pi {\overline {AB}}^{2}=\pi r^{2}}}$

ou, en simplifiant par $\pi$

${\rm {2Rx+{\overline {AB}}^{2}=r^{2}}}$

(1)

Mais la demi-corde $\mathrm {AB}$ est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre, $\mathrm {EB}$ et $\mathrm {BD} ,$ qui valent respectivement ${\rm {(2R-x)}}$ et $\mathrm {x} \,;$ d’où :

${\rm {{\overline {AB}}^{2}=EB\times BD=(2R-x)x=2Rx-x^{2}}}$

et par suite l’équation (1) devient

${\begin{aligned}{\rm {2Rx+2Rx-x^{2}=}}&\mathrm {r} ^{2}\\{\rm {x^{2}-4Rx+r^{2}=}}&0\end{aligned}}$
(2)

${\rm {x=2R\pm {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}}$D’où :

${\rm {x'=2R+{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}\qquad x''=2R-{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}}$

Discussion. – L’inconnue étant comptée à partir du point fixe $\mathrm {D} ,$ toute solution, pour être acceptable, doit être réelle, positive, et au plus égale à $2\mathrm {R} .$

Réalité : Il faut ${\rm {4R^{2}-r^{2}\geqslant 0\,;}}$ comme $\mathrm {R}$ et $\mathrm {r}$ sont essentiellement positifs, on peut écrire :

${\rm {4R^{2}\geqslant r^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2R\geqslant r}}$

Le problème n’est donc possible que si le diamètre de la sphère est supérieur ou au moins égal au rayon du cercle donné. Dans le cas limite où ${\rm {2R=r,}}$ les racines $\mathrm {x} '$ et $\mathrm {x} ''$ deviennent égales, et leur valeur commune est $2\mathrm {R} ,$ c’est-à-dire que le plan sécant descendrait au point $\mathrm {E} ,$ et deviendrait tan-