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${\rm {q={\sqrt[{n-1}]{\frac {l}{a}}}}}$

Calcul de $\mathrm {q} \,:$
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Le calcul de $\mathrm {n}$ sera fait plus tard.

255. – Insertion de moyens. – Insérer $\mathrm {m}$ moyens géométriques entre deux nombres $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Cela signifie qu’il faut former une progression géométrique dont le premier terme soit $\mathrm {A} ,$ le dernier $\mathrm {B} ,$ et telle qu’entre \mathrm A et $\mathrm {B}$ il y ait $\mathrm {m}$ termes. La progression renfermera donc en tout $\mathrm {m} +2$ termes, et avant $\mathrm {B}$ il y en aura $\mathrm {m} +1.$ La raison inconnue de cette progression est donnée par la formule (3):

${\rm {q={\sqrt[{m+1}]{\frac {B}{A}}}.}}$

Exemple : Insérer $3$ moyens géométriques entre $7$ et $1792.$

${\rm {q={\sqrt[{4}]{\frac {1792}{7}}}={\sqrt[{4}]{256}}=4.}}$

On a

D’où la progression :

$\div \!\!\div \ \ 7\ \ :\ \ 28\ \ :\ \ 112\ \ :\ \ 448\ \ :\ \ 1792.$

256. – Remarques. – Un raisonnement analogue à celui que nous avons fait sur les progressions arithmétiques (n^os243 et 244), montre que : 1^o plus le nombre des moyens insérés est grand, plus la valeur de la raison se rapproche de $1,$ et plus les valeurs de deux termes consécutifs deviennent voisines ; 2^o si l’on insère un même nombre de moyens géométriques entre les termes consécutifs d’une progression géométrique, on obtient une nouvelle progression dont les termes ont des valeurs beaucoup plus voisines que ceux de la progression primitive.

SOMME DES TERMES

257. – Problème. – Calculer la somme des termes d’une progression géométrique limitée.

Soit la progression ${\rm {\div \!\!\div \ \ a\ \ :\ \ b\ \ :\ \ c\ \ :\ \ d\ \ :\ \ l}}$

dont la raison est $\mathrm {q} ,$ et le nombre des termes $\mathrm {n} .$ Nous avons :

${\rm {S=a+b+c+d+l.}}$

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