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L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE DES FLUIDES HOMOGÈNES.

mais $\mathrm {RT}$ est égal à $p_{i}\mathrm {V} ,$ par conséquent ceci peut s’écrire encore, puisque $\mathrm {F} _{i}+p_{i}\mathrm {V} =\Phi _{i}$,

(49)

$\varpi _{i}=\Phi _{i}.$(49)

Ce résultat semble à première vue n’être pas d’accord avec l’autre formule

(45)

$\varpi _{i}={\frac {\partial \Psi }{\partial x_{i}}},$(45)

qui, avec $\Psi =\sum x_{i}\Phi _{i},$ donne

(45’)

$\varpi _{i}=\Phi _{i}+\left(x_{1}{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial x_{i}}}+\dots \right)\,;$(45’)

ou du moins leur accord exige que la parenthèse soit nulle. On le démontre facilement.

En effet, cette dérivation doit être faite en considérant $\Psi$ comme une fonction des $x_{i},$ de $\mathrm {T}$ et de $p,$ c’est-à-dire en utilisant les expressions (43) et (44). On voit que $\Phi _{i}$ ne dépend des $x_{i}$ que par le terme $\mathrm {RT} \operatorname {Log} p_{i},$ c’est-à-dire par l’intermédiaire des pressions partielles $p$ (chacune d’elles est d’ailleurs fonction de tous les $x_{j}$).

La parenthèse donne alors

$\mathrm {RT} \left(x_{1}{\frac {\partial \operatorname {Log} p_{1}}{\partial x_{i}}}+x_{2}{\frac {\partial \operatorname {Log} p_{2}}{\partial x_{i}}}+\dots \right)$

ou

$\mathrm {RT} \left({\frac {x_{1}}{p_{1}}}{\frac {\partial p_{1}}{\partial x_{i}}}+{\frac {x_{2}}{p_{2}}}{\frac {\partial p_{2}}{\partial x_{i}}}+\dots \right),$

mais les $p_{i}$ sont proportionnels aux $x_{i}$ on peut donc écrire

$\mathrm {RT} {\frac {x_{i}}{p_{i}}}{\frac {\partial (p_{1}+p_{2}+\dots )}{\partial x_{i}}}=\mathrm {RT} {\frac {x_{i}}{p_{i}}}.{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}.$

Mais, puisque $p$ est l’une des variables indépendantes de $\Psi ,$ les dérivées partielles ${\frac {\partial \Psi }{\partial x_{i}}}$ se calculent à pression $p$ constante, c’est-à-dire que ${\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}$ est nulle, donc la parenthèse de (45’) est nulle et nous retrouvons bien l’expression (49), qui nous donne explicitement

(50)

$\varpi _{i}=\mathrm {C} _{i}(\mathrm {T} -\mathrm {T} \operatorname {Log} \mathrm {T} )+\mathrm {RT} \operatorname {Log} p_{i}+(\alpha _{i}\mathrm {T} +b_{i}).$(50)

Si $\mathrm {T}$ et ${\mathfrak {V}}$ sont donnés, la pression partielle $p_{i},$ ne dépend que de $x_{i},$