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J. VILLEY.

D’après cette relation, lorsque l’énergie cinétique du point matériel diminue, c’est qu’il est soumis à une force $f$ qui produit un travail négatif, autrement dit qui absorbe du travail.

Si cette force $f$ est définie par un champ de forces permanent, il suffira que le point matériel revienne en sens inverse suivant le même parcours pour qu’elle produise un travail positif juste égal au travail absorbé, lequel entraîne une augmentation d’énergie cinétique juste égale à la diminution observée tout à l’heure. On dira alors tout naturellement que la perte cinétique avait été accompagnée d’une augmentation d’énergie potentielle égale au travail absorbé, donc égal à l’énergie cinétique disparue, et récupérable.

Le seul cas que nous aurons à envisager est celui où les composantes $f_{x},$ $f_{y}$ et $f_{z}$ de la force sont les dérivées partielles d’une certaine fonction des seules coordonnées $(x,\,y,\,z)$ du point matériel, que nous écrirons $-\mathrm {U} (xyz).$ Alors le travail de la force agissante

${\mathfrak {T}}=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz$

est égal à

$-\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}dz\right)$

c’est-à-dire qu’il se confond avec la diminution de la fonction $\mathrm {U} (xyz).$ Cette fonction $\mathrm {U}$ (définie à une constante additive près) n’est donc pas autre chose que l’énergie potentielle du point, liée seulement à son emplacement $(xyz).$ On a

$-d\mathrm {U} =d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)$

ou

$d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)+d\mathrm {U} =0$

ou encore

(9)

${\frac {1}{2}}mv^{2}+\mathrm {U} ={\text{const.}}$(9)(9)

La somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle reste constante. C’est le principe de la conservation de l’énergie mécanique d’un point matériel, lequel s’applique seulement si les frottements sont nuls ou négligeables, restriction tout à fait essentielle dont la signification sera précisée au Chapitre II.

Considérons par exemple le cas particulier du champ de pesanteur