Ici encore, Poincaré montra qu’il n’en était rien, et que les défectuosités des méthodes précédentes ne sont pas fortuites et tiennent à la nature même des choses. Mais c’est ce que nous ne pouvons préciser, car tout se tient dans cette admirable série de découvertes, sans avoir parlé des résultats positifs.
L’un d’eux, la notion des invariants intégraux, vient rendre des services sinon égaux, du moins analogues à ceux qu’auraient pu fournir ces intégrales uniformes à la poursuite desquelles la Mécanique céleste doit renoncer. Comme elles, il fournit des quantités qui restent constantes pendant tout le cours du mouvement, seule propriété qui permette d’établir des relations directes entre des phases éloignées de celui-ci. Seulement, cette fois encore, il s’agit, non d’une courbe intégrale unique, mais de la considération simultanée des différentes courbes intégrales et des relations qu’elles ont entre elles.
C’est ce que nous ferons comprendre à l’aide du dernier exemple invoqué précédemment. Représentons-nous, cette fois, notre système d’équations différentielles comme définissant
