Henri Poincaré en reprit l’examen et trouva le point faible du raisonnement de Kelvin : l’énoncé de Maxwell n’était pas en défaut.
À cette même époque, le développement de la théorie cinétique des gaz conduisait Boltzmann et Gibbs à en généraliser et en préciser les modes nouveaux de raisonnement : leurs efforts aboutirent à la constitution d’une mécanique statistique d’où devait résulter la véritable interprétation du principe de Carnot.
La notion fondamentale est celle de probabilité d’une configuration donnée d’un système dynamique doué d’un nombre quelconque de degrés de liberté. Sa définition est intimement liée à un résultat donné autrefois par Liouville, à la découverte du premier de ces invariants intégraux d’un système d’équations différentielles dont Poincaré devait généraliser la notion et faire un emploi si remarquable dans son travail sur le problème des trois corps.
Cette notion de probabilité est précisément celle dont il fit usage lui-même, dans ce travail, en distinguant les trajectoires exceptionnelles dont les propriétés correspondent à une probabilité nulle par rapport à celles de l’ensemble des trajectoires possibles.
En prenant pour coordonnées les paramètres qui représentent la configuration d’un système
