Leur choix ne serait indifférent que s’ils étaient tous, comme on le veut prétendre, des définitions déguisées : en ce cas, évidemment, ce seraient des décrets arbitraires, et il n’y aurait pas lieu de s’inquiéter de leur origine. Mais il en va autrement si les axiomes ne peuvent pas être assimilés à des définitions. La question fondamentale qui se pose au début de la science n’est point alors de savoir par quel processus se combinent notions et axiomes, mais bien comment ceux-ci sont obtenus, et comment nous sommes assurés qu’ils sont légitimes. Or, c’est là une question extra-logique.
Pourra-t-on du moins soutenir qu’une fois les premiers axiomes posés, toutes les mathématiques se font avec des définitions et des raisonnements analytiques ? Henri Poincaré ne pouvait l’admettre, lui qui avait mis en évidence le caractère synthétique du type de raisonnement spécialement mathématique : le raisonnement récurrent ou induction complète. C’est le principe de cette induction qui est, selon Poincaré, la pierre d’achoppement des panlogiciens ; certains prétendent s’en passer ou le considérer comme une définition. D’autres veulent le démontrer. Contre les uns et les autres, Poincaré maintient la spécificité
