mathématiques un domaine de l’analyse s’est constitué. Nous n’entrerons pas dans le détail des propriétés de ces nouvelles fonctions et de leurs liaisons avec les fonctions abéliennes et d’autres transcendantes. Nous ne parlerons pas d’une foule de questions d’arithmétique, d’algèbre et d’analyse qui s’y relient.
Mais il nous faut dire un mot sur le point d’attache des fonctions fuchsiennes avec les intégrales des équations différentielles linéaires à des coefficients algébriques. La marche suivie par Poincaré à ce propos est analogue à celle qu’on suit pour exprimer les intégrales abéliennes par les fonctions θ généralisées par Jacobi ou θ-abéliennes. C’est pourquoi il a introduit les fonctions zéta-fuchsiennes qu’on dérive aussi des fuchsiennes. Ce sont ces transcendantes qui expriment les intégrales qu’il voulait calculer.
On a demandé plusieurs fois : les fonctions fuchsiennes ont-elles des applications ? Mais on peut répliquer : qu’est-ce que signifie pour une théorie avoir des applications ? La pierre de touche d’une théorie consiste-t-elle dans son emploi en mécanique et en physique ? La théorie des coniques, que les Grecs ont élevée à un si haut degré de perfection, a-t-elle eu sa place d’honneur dans la géométrie le jour seu-
