ment le théorème dit de Pythagore (la somme des carrés des côtés est égale au carré de l’hypoténuse) et le théorème posant la hauteur du triangle rectangle comme moyenne proportionnelle entre les segments déterminés sur l’hypoténuse. Le théorème de l’inscription du triangle rectangle dans le cercle fournit la vertu du cercle pour la construction des moyennes proportionnelles. En fait ces théorèmes ont suivi ceux qui concernent les triangles semblables.
La notion de triangle semblable a permis, dit-on, à Thalès de mesurer la hauteur des pyramides égyptiennes d’après leurs ombres et le rapport entre la hauteur et l’ombre d’un homme à la même heure. Ainsi la proportion rend mesurable et par suite en un sens saisissable pour l’homme la dimension interdite, celle qui mènerait au ciel, la hauteur. Ce sont aussi les triangles semblables qui ont permis de mesurer les distances des astres.
D’autre part ces théorèmes permettent de trouver une moyenne proportionnelle entre deux nombres entiers quelconques.
La question se posait de savoir si cette recherche d’une moyenne proportionnelle pouvait se faire soit par l’arithmétique, soit par une construction géométrique, ou bien seulement par la géométrie. On montre facilement que la moyenne entre un et deux a avec l’unité un rapport tel qu’on ne peut pas trouver deux nombres entiers quels qu’ils soient unis par ce rapport. Car le nombre entier double d’un carré, de forme 2 n2, ne peut jamais être un carré. La duplication du carré ne peut s’opérer que par la construction géométrique d’une moyenne proportionnelle. On montre aussi facilement qu’il en est de la moyenne entre un et tout nombre non carré comme de la moyenne entre un et deux.
