Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXII

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 44-46).

XXII.

Descendons de la recherche générale de l’article précédent à l’application très-large dans laquelle, en laissant encore à $p$ et $q$ leur signification la plus générale, nous adoptons pour $p',\ q',$ les quantités désignées dans l’art. XV par $r,\ \varphi$ (lettres dont nous nous servirons ici aussi), de sorte que, pour un point quelconque de la surface, $r$ soit la plus courte distance à un point déterminé, et $\varphi$ l’angle en ce point entre le premier élément de $r$ et une direction fixe. Nous avons ainsi $\mathrm {E} '=1,\ \mathrm {F} '=0,\ \omega =90$ degrés ; ous poserons, de plus, ${\sqrt {\mathrm {G} '}}=m,$ de sorte que l’élément linéaire quelconque devienne $={\sqrt {dr^{2}+m^{2}d\varphi ^{2}}}.$ Par suite, les quatre équations trouvées dans l’article précédent pour $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta ,$ donnent :

(1)	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\cos(\omega -\psi )={\frac {dr}{dp}},$
(2)	${\sqrt {\mathrm {G} }}.\cos \psi ={\frac {dr}{dq}},$
(3)	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\psi -\omega )=m{\frac {d\varphi }{dp}},$
(4)	${\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin \psi =m.{\frac {dr}{d\varphi }}.$

Mais la dernière et l’avant-dernière donnent

(5)	$\mathrm {EG-F^{2}=E} \left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-2\mathrm {F} .{\frac {dr}{dp}}.{\frac {dr}{dq}}+\mathrm {G} \left({\frac {dr}{dp}}\right)^{2}$
(6)	$\left(\mathrm {E} .{\frac {dr}{dq}}-\mathrm {F} {\frac {dr}{dp}}\right){\frac {d\varphi }{dq}}=\left(\mathrm {F} .{\frac {dr}{dq}}-\mathrm {G} {\frac {dr}{dp}}\right){\frac {d\varphi }{dp}}.$

C’est de ces équations qu’on doit tirer la détermination des quantités $r,\ \varphi ,\ \psi$ et (si besoin est) $m,$ en $p$ et $q\ ;$ savoir : l’intégration de l’équation (5) donnera $r,$ et, ceci trouvé, l’intégration de l’équation (6) donnera $\varphi ,$ et l’une ou l’autre des équations (1), (2), $\psi \ ;$ enfin, on aura $m$ par l’une ou l’autre des équations (3), (4).

L’intégration générale des équations (5), (6) doit nécessairement introduire deux fonctions arbitraires, et nous comprendrons facilement leur signification, si nous faisons attention que ces équations ne sont pas limitées au cas que nous considérons ici, mais qu’elles ont encore lieu, si l’on prend $r$ et $\varphi$ dans la signification générale de l’art. XVI, de façon que $r$ soit la longueur de la ligne la plus courte menée normalement à une ligne arbitraire déterminée, et $\varphi$ une fonction arbitraire de la partie de la ligne qui est interceptée entre la ligne indéfinie de plus courte distance, et un point arbitraire déterminé. La solution générale doit ainsi embrasser tout cela d’une manière indéfinie, et les fonctions arbitraires deviendront définies, quand cette ligue arbitraire et la fonction des parties que $\phi$ doit donner sont assignées. Dans notre cas, on peut adopter un cercle infiniment petit, ayant son centre au point d’où l’on compte les distances $r,$ et $\varphi$ désignera les parties mêmes de ce cercle divisées par le rayon ; d’où l’on conclut facilement que les équations (5) et (6) suffisent complètement pour notre cas, pourvu que ce qu’elles laissent indéfini soit assujetti à cette condition, que $r$ et $\varphi$ conviennent pour ce point initial, et pour les points qui en sont infiniment peu distants.

D’ailleurs, pour ce qui regarde l’intégration même des équations (5), (6), on sait qu’elle peut se réduire à l’intégration d’équations aux différentielles partielles ordinaires, qui cependant sont la plupart des temps si compliquées, qu’il y a peu d’avantage à en tirer. Au contraire, le développement en séries qui suffisent abondamment aux besoins de la pratique, tant qu’il ne s’agit que de parties médiocres de la surface, n’est sujet à aucunes difficultés, et les formules rapportées ouvrent ainsi une source féconde pour la solution d’un grand nombre de problèmes très-importants. Mais, en cet endroit, nous ne développerons qu’un seul exemple pour montrer le caractère de la méthode.