Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/III

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 4-7).

§ III — Pressions moyennes locales.

» 4. Par suite, les six pressions élémentaires (relatives aux axes) $\mathrm {N} _{x},$ $\mathrm {N} _{y},$ $\mathrm {N} _{z},$ $\mathrm {T} _{x},$ $\mathrm {T} _{y},$ $\mathrm {T} _{z},$ exercées à l’intérieur de la particule comprennent, outre leur partie élastique fonction de $\rho ,$ $\tau$ seulement, égale à $\mathrm {N} _{x},$ $\mathrm {N} _{y},$ $\mathrm {N} _{z}$ et nulle dans $\mathrm {T} _{x},$ $\mathrm {T} _{y},$ $\mathrm {T} _{z},$ une partie non élastique, dépendant encore de $\rho ,$ $\tau ,$ mais aussi des six variables (1), et s’annulant avec elles. Dans les mouvements bien continus, c’est-à-dire sans agitation, et dans ceux à faible agitation (écoulement le long des tubes fins, petites oscillations, etc.) où les variables (1) sont seulement de l’ordre de leurs parties bien continues $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ ces six fonctions $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T}$ peuvent se développer suivant les puissances des variables (1) par la formule de Mac-Laurin bornée aux termes du premier degré ; et lorsqu’on prend ensuite les moyennes de leurs valeurs sur de petites étendues, ou durant de petits temps en un même endroit $(x,y,z),$ pour avoir les pressions moyennes locales, les déformations d’agitation, nulles en moyenne, s’en éliminent, n’y laissant subsister aucune autre vitesse de déformation que celles d’écoulement $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ avec des coefficients fonctions seulement de $\rho ,$ $\tau$ ou même plutôt des valeurs moyennes locales de $\rho ,$ $\tau ,$ parties de $\rho ,$ $\tau$ indépendantes de l’agitation. Car s’il y avait (ce qui n’est pas impossible), dans la température et la densité, de petites parties d’agitation, $\rho _{1},$ $\tau _{1},$ en sus de leurs moyennes locales $\rho ,$ $\tau ,$ la pression élastique et les coefficients en question, développés suivant $\rho ,$ $\tau ,$ donneraient en $\rho _{1},$ $\tau _{1}$ des termes linéaires, nuls en moyenne, ou dont les produits par les vitesses de déformation pourraient alors être négligés comme non linéaires.

» Mais ici où les six vitesses de déformation (1) ont leurs premières parties en '$u_{1},$ $v_{1},$ $w_{1}$ considérables, c’est seulement suivant leurs autres parties $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ très petites en comparaison, qu’on peut développer linéairement les six fonctions $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T} ,$ et lorsqu’on prend ensuite leurs moyennes, sur de faibles étendues et durant de courts instants où les $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ ne varient pas, les coefficients de ces vitesses graduelles de déformation $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ toujours dépendants, dans les pressions moyennes locales obtenues $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T} ,$ des densité et température moyennes locales $\rho ,$ $\tau ,$ ne sont fonctions, pour un même élément plan, des vitesses d’agitation autour de $(x,y,z)$ et des variations concomitantes $\rho _{1},$ $\tau _{1}$ de la densité et de la température, que par certains de leurs caractères généraux où n’entrent pas plus leurs valeurs individuelles à un instant et en un point qu’aux autres voisins dans tout un intervalle où leurs moyennes sont nulles. Quoi qu’il en soit, ces coefficients ne sont fonctions que des deux variables $\rho ,$ $\tau$ définissant l’état élastique moyen local et, en outre, de l’agitation, telle qu’elle est durant un court instant dans une petite étendue entourant le point $(x,y,z).$

» 5. D’ailleurs, si l’on considère les relations usuelles, déduites des formules de transformation des coordonnées, qui existent entre les vitesses de déformation (dilatations et glissements) relatives aux divers systèmes possibles d’axes, et les formules analogues qui relient les pressions $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T}$ subies par les éléments plans correspondants suivant leurs intersections mutuelles, ou encore les relations plus simples (dont celles-là se déduisent) existant entre $\mathrm {N} _{x},$ $\mathrm {N} _{y},$ $\mathrm {N} _{z},$ $\mathrm {T} _{x},$ $\mathrm {T} _{y},$ $\mathrm {T} _{z}$ et les trois composantes $p_{x},$ $p_{y},$ $p_{z}$ de la pression exercée sur un élément plan de direction quelconque, toutes ces formules sont linéaires et homogènes par rapport aux vitesses de déformation ou aux composantes de pression, avec des coefficients fonctions seulement des directions des divers axes et éléments plans considérés : de sorte qu’on en prend immédiatement les moyennes, pour des espaces ou des instants voisins, sans avoir à modifier ces coefficients, mais par la simple substitution, à chaque vitesse de déformation ou composante de pression, de sa valeur moyenne locale. Toutes ces formules s’appliquent donc aux déformations et pressions moyennes locales, puis même, par soustraction de celles-ci d’avec les déformations ou pressions individuelles, aux déformations et pressions d’agitation, qu’on n’aura pas, il est vrai, à considérer.

» Et leurs conséquences s’étendent à chacune de ces sortes de pressions ou vitesses de déformations, notamment celles qui concernent l’existence, en chaque point et à chaque instant, de trois éléments plans matériels principaux, rectangulaires entre eux, de part et d’autre desquels les déformations se font symétriquement durant l’instant $dt,$ et de trois éléments plans analogues (orthostatiques) sur lesquels les pressions sont normales.

» 6. Cela posé, comme on peut concevoir quelconques, à chaque instant, les six déformations élémentaires imprimées soit à une particule de matière, soit aux particules venant passer en un même endroit $(x,y,z),$ et qu’il en est par suite de même tant de leurs moyennes que de leurs excédents à chaque instant sur leurs moyennes (sous la seule condition que ceux-ci aient dès lors leurs propres moyennes nulles), les déformations d’agitation sont complètement indépendantes des déformations moyennes locales $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ dans les formules des pressions.

» Cette indépendance subsiste même quand, supposant le fluide incompressible (ce qui n’est nullement obligé, même pour un liquide), on s’impose de ne choisir que des déformations compatibles avec la conservation parfaite des volumes aux divers instants. En effet, celle-ci revient, comme on sait, à établir, entre les vitesses effectives de dilatation dans les sens des axes, la relation linéaire

(3)

${\frac {d.u+u_{1}}{dx}}+{\frac {d.v+v_{1}}{dy}}+{\frac {d.w+w_{1}}{dz}}=0.$

» Prenons, pour l’en retrancher ensuite, la valeur moyenne locale des termes, qui donne évidemment

(4)

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0\ ;$

il vient

(5)

${\frac {du_{1}}{dx}}+{\frac {dv_{1}}{dy}}+{\frac {dw_{1}}{dz}}=0.$

» Or ces formules expriment que les vitesses moyennes locales $(u,v,w),$ prises séparément, et les vitesses d’agitation $(u_{1},v_{1},w_{1}),$ prises aussi séparément, vérifient, tant les unes que les autres, cette condition de conservation des volumes, si on les suppose se produisant aux divers points $(x,y,z)$ de l’espace, comme elles s’y produisent ensemble dans le mouvement effectif. Donc la relation (3) se dédouble en deux autres (4), (5), où les déformations d’agitation ne sont pas mêlées à celles du mouvement moyen local : en sorte que l’indépendance mutuelle de ces deux catégories de déformation subsiste.

» Nous pourrons ainsi, dans un petit espace entourant le point $(x,y,z),$ faire correspondre successivement toutes sortes de déformations moyennes locales $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G}$ à un même système de déformations d’agitation, entraînant par suite les mêmes petites parties accidentelles $\rho _{1},$ $\tau _{1},$ nulles en moyenne, de la densité et de la température.