» 7. Imaginons, de la sorte, qu’un élément plan quelconque, par exemple celui qui est normal aux 
et sur lequel les composantes de la pression moyenne locale sont 
devienne principal au point de vue des déformations moyennes locales, c’est-à-dire tel, que l’on y ait 
Cela signifiera que les couches fluides de la particule normales aux n’éprouvent aucun glissement moyen local les unes devant les autres, les files de molécules parallèles aux ne s’inclinant pas plus souvent ni en plus d’endroits sur ces couches dans certains sens que dans les sens contraires. Autrement dit, les déformations actuelles se feront, en moyenne, symétriquement de part et d’autre de ces couches ; et les écarts moléculaires auxquels elles donneront lieu, entre la contexture idéale ou
élastique de la particule pour les densité et température 
et sa contexture effective, ne pourront qu’être aussi, en moyenne, symétrique par rapport aux mêmes couches, si le fluide est pareillement constitué en tous sens dans l’état élastique. D’où il suit que les pressions moyennes locales égales et contraires, exercées sur les deux faces d’une couche, ne pourront aussi qu’être symétriques l’une de l’autre et normales à la couche.
» Mais plaçons-nous dans le cas exceptionnel où il s’agirait d’un fluide doué du pouvoir rotatoire, dont l’état élastique serait seulement isotrope et non symétrique, c’est-à-dire serait pareil relativement à tous les systèmes d’axes des 
qui se déduisent de l’un d’eux par une rotation quelconque du trièdre des coordonnées positives (sans échange de nom entre deux d’entre elles), ou pareil relativement à toutes les orientations possibles d’un observateur, auquel il offrirait cependant un aspect non symétrique à sa droite et à sa gauche. Alors on peut toujours remarquer que les déformations moyennes locales seront vues se faire de même, sur un côté quelconque d’une couche normale aux par deux observateurs ayant les pieds sur cette couche et tournés dos à dos, c’est-à-dire ayant deux orientations, autour de la normale, différentes de 180 degrés : en sorte que les écarts moléculaires entre l’état élastique et l’état effectif doivent leur paraître aussi moyennement pareil et, par suite, la pression moyenne locale exercée, à leurs pieds, sur l’élément plan normal aux pareillement située relativement à eux, c’est-à-dire normale à l’élément.
» En résumé, que le fluide soit ou non symétrique, comme il est toujours isotrope dans l’état élastique, l’on est conduit à admettre que tout élément plan principal, au point de vue des déformations moyennes locales, est aussi principal au point de vue des pressions moyennes locales, c’est-à-dire perpendiculaire à la pression exercée sur lui.
» 8. Mais revenons à notre élément normal aux 
Nous voyons que les composantes tangentielles 
de sa pression moyenne locale s’annulent dès que les vitesses de glissement 
s’annulent elles-mêmes. Donc, si l’on considère, par exemple, son développement linéaire suivant les six quantités indépendantes 
comprend tout au plus les deux termes en 
Mais, en considérant également 
comme composante tangentielle de la pression moyenne locale sur l’élément plan normal aux on verrait de même que ce développement de comprend tout au plus les deux termes en Il se réduit, par conséquent, aux terme affecté de 
et l’on a, en désignant par 
un coefficient fonction,
d’une part, des densité et température moyennes locales 
d’autre part,
de l’agitation telle qu’elle se produit autour de 
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» 9. L’agitation étant toujours supposée, autour de la
même que précédemment, faisons varier les six vitesses moyennes locales
de déformation 
de manière que les trois vitesses principales correspondantes de dilatation ou d’extension, auxquelles je donnerai les noms 
aient dans l’espace trois directions rectangulaires quelconques et prennent d’ailleurs, suivant ces directions, toutes
les grandeurs relatives. Les pressions moyennes locales correspondantes 
également principales comme on a vu, pourront être exprimées
dans un système de coordonnées ayant leur direction et puis être développées linéairement suivant les vitesses moyennes locales correspondantes
de déformation, qui se réduisent aux trois dilatations 
Formons
ensuite, pour tenir lieu de d’une part, leur moyenne arithmétique changée de signe (pression moyenne), que nous appellerons 
d’autre part, leurs demi-différences respectives 
Ce seront, avec des coefficients dépendant de et de l’agitation, quatre fonctions linéaires des trois variables ou, encore, de leur somme 
(vitesse de dilatation cubique) et de deux quelconques de leurs différences 
à somme algébrique nulle.
» Or, quand une de ces différences, celle de 
et 
par exemple, s’annule, on sait que toutes les directions comprises dans le plan des dilatations correspondantes sont principales au point de vue des déformations ; ce qui entraîne qu’elles le soient aussi pour les pressions et que l’ellipsoïde d’élasticité, devenu de révolution autour de 
ou de donne 
Donc la demi-différence que l’on peut concevoir exprimée en fonction linéaire de et de se réduit au terme affecté de math>\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3\ ;</math> et, en considérant aussi les deux autres demi-différences analogues, l’on a des formules comme
| (7)
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où 
sont trois coefficients indépendants de
» La somme des formules (7) donne
» Comme cette relation a lieu quels que soient les rapports mutuels des deux différences arbitraires il en résulte
et les trois formules (7) reviennent à poser l’égalité continue
| (8)
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» 10. Si l’on appelle 
les cosinus directeurs de 
ceux de 
ceux de les formules connues, pour exprimer soit les six déformations 
soit les six pressions 
relatives aux axes des 
en fonction des déformations ou pressions analogues, relatives aux directions principales correspondantes et réduites à ou à donnent, d’une part, comme on sait,
| (9)
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d’une part, avec presque autant de facilité,
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» Il en résulte immédiatement, vu l’égalité des rapports (8),
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» 11. La valeur commune 
des six premiers rapports (11), étant en particulier celle du sixième d’entre eux, se confond avec le coefficient de la formule (6), et elle se trouve dès lors complètement indépendante de la manière dont sont orientées les trois vitesses principales de dilatation dans le mouvement moyen local. Mais on voit, par les formules (8) et (10), appliquées (avec d’autres valeurs des cosinus 
) au passage du système des directions principales à un système quelconque d’axes rectangulaires, que ce coefficient serait encore le même si l’on rapportait le mouvement à des coordonnées rectangles arbitraires, de sorte qu’il constitue un coefficient de frottement intérieur dépendant des déformation d’agitation au point considéré 
sans dépendre nu de leurs valeurs à un instant 
plus qu’aux instants voisins, ni des angles de leurs directions ou de leurs plans avec aucuns autres. Et il resterait encore le même, par suite de l’isotropie du fluide à l’état élastique, si le système de déformations constituant l’agitation était autrement orienté dans l’espace.
» Il exprime d’ailleurs le rapport de quantités graduellement variables en 
comme 
et etc., et il est par suite, graduellement variable lui-même, très différent en cela des déformations d’agitation qui cependant le constituent. Il n’est donc fonction de celles-ci qu’à la manière d’une moyenne locale, où se confondent leurs détails tant de direction que de grandeur ; et l’on peut dire qu’il dépend uniquement (à part les variables de l’état élastique moyen local) du degré actuel moyen d’intensité de l’agitation au point considéré, comme les coefficients évaluant les propriétés physiques d’un corps dépendent en général du degré de son imperceptible agitation calorifique appelé température. Le degré de l’agitation sera comme une sorte de température de l’écoulement, plus grossière que la température proprement dite, et englobant peut-être les deux principaux attributs du pouls d’un cours d’eau, amplitude et fréquence, comme la température implique à la fois, par son élévation, l’amplitude du mouvement calorifique et la période de ses vibrations, du moins les plus multipliées.
» L’agitation paraît donc devoir à son extrême irrégularité la propriété d’influer sur les qualités mécaniques d’une particule fluide sans altérer en moyenne son isotropie, et elle se comporte comme si, en un court moment, elle présentait les mêmes circonstances générales par rapport à tous les systèmes d’axes qu’une rotation quelconque déduit d’un premier système rectangulaire des 
» 12. Cela étant admis, le développement linéaire de la pression moyenne suivant 
et ne peut contenir les termes en et qui changent de signe, tandis que 
reste invariable, quand on permute et ou et c’est-à-dire quand on fait tourner de 90°, autour de la dilatation principale ou de la dilatation principale le système d’axes rectangulaires constitué par les
directions de Donc la pression moyenne c’est-à-dire 
ne dépendra des vitesses moyennes locales de déformation que pour un terme proportionnel au trinôme 
c’est-à-dire à la vitesse actuelle avec laquelle se dilate, dans le mouvement moyen local, le volume des particules fluides considérées. Et le coefficient de ce terme sera d’ailleurs, tout comme la partie de indépendante du mouvement moyen local, fonction des deux variables et du degré d’agitation.
» Mais, vu l’ordinaire petitesse (du moins dans les fluides sans viscosité appréciable) des parties non élastiques des pressions, comparativement à la pression élastique ou normale de repos, la pression moyenne ne différera que peu de la pression élastique pour mêmes densité et température moyennes locales 
et l’on n'aura à peu près jamais besoin de l’en distinguer.
» 13. Si l’agitation s’affaiblissait au point que les déformations effectives ou totales devinssent seulement de l’ordre des le coefficient du frottement intérieur, et celui qui affecte 
dans ne dépendraient plus que de 
En effet, nos raisonnements s’appliquent évidemment à ce cas limite, où l’agitation s’élimine, comme nous avons vu, des dormules des pressions moyennes locales. Le coefficient en particulier, se réduirait donc alors à sa valeur déduite des expériences de Poiseuille sur l’écoulement dans les tubes fins et qui est, pour l’eau à 10°C., 
les unités de temps et de longueur étant la seconde et le mètre.
» 14. La comparaison des six premiers membres de (11) au septième fait connaître les formules définitives de 
et si l’on observe d’ailleurs que les trois composantes normales de pression 
s’expriment immédiatement en fonction linéire de leur moyenne arithmétique 
et du tiers de leurs différences respectives 
il vient, pour représenter les pressions moyennes locales au moyen de du coefficient de frottement intérieur et des vitesses moyennes locales de déformation, les triples formules
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» Le second terme de 
en 
s’y trouvera évidemment négligeable, à côté des autres termes en dans les mouvements où les changements de forme des particules seront incomparablement plus grands que ceux de leur volume, notamment dans tous les écoulements de liquides, et même dans les écoulements de gaz sous des différences de pressions assez petites par rapport à la pression elle-même.
» Après avoir substitué, dans (12), les valeurs (2) des vitesses de déformation, on portera ces expressions des forces 
dans les équations indéfinies du mouvement moyen local,
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où 
sont les composantes de la pesanteur 
et 
celles de l’accélération moyenne locale, exprimables en 
et leurs dérivées à la manière ordinaire. L’on aura ainsi, sous forme explicite en 
les trois équations indéfinies du mouvement, si l’on parvient à connaître le mode de variation de en fonction des données du problème.
