» 26. Portons l’expression (17) du coefficient de frottement intérieur dans les formules (12) des forces
où les
ont d’ailleurs les valeurs (2). La petitesse du coefficient
rendra négligeables les termes où il multipliera des dérivées de
autre que celles de
en
les seules de grandeur notable. Il viendra donc
(19)
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» On en déduit d’abord aisément, à raison de la petitesse des angles faits par les normales à la surface-limite avec les plans des
ou des sections
que la pression exercée sur la masse fluide par un élément quelconque de sa couche superficielle ne comprend de sensible, à part une partie principale valant
et perpendiculaire à la surface, qu’un frottement, dirigé à très peu près suivant les
négatifs, et exprimé par
où
est la dérivée de
suivant une petite normale
tirée, dans le plan de la section
sur son contour, à partir du point intérieur voisin que l’on considère. Si
désigne l’angle de cette normale, menée ainsi vers le dehors, avec les
positifs, on a
(20)
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» Près d’une surface libre, le frottement étant nul, la fonction
vérifiera donc la condition
et
égalera la pression constante donnée
de l’atmosphère contiguë. Près d’une paroi, où le frottement est régi par la formule (14), il viendra pour
vu finalement (18), la condition
(21)
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» 27. Voyons maintenant ce que deviennent les équations indéfinies (13) et, d’abord, les deux dernières. Les dérivées en
de
qui y figurent, auront, d’après (19), à l’un de leurs deux termes, le facteur
en même temps que la dérivée très petite de
en
(différentiée en
ou
), et, à l’autre, la dérivée même de
en
d’un ordre de petitesse plus élevé que celui de
à raison de la graduelle variation supposée du régime. Ces dérivées de
seront donc négligeables, et, comme les accélérations transversales
le sont aussi, les deux dernières équations (13), débarrassées de tout terme rappelant le mouvement, signifieront que la pression moyenne
varie hydrostatiquement sur toute l’étendue de la section normale
S’il y a une surface libre, où
devra égaler la pressions constante de l’atmosphère, son profil en travers, limite supérieur de
sera donc horizontal.
» 28. Dans tous les cas, la dérivée en
de
ou de
indépendante de
et
se réduit à celle de la pression moyenne
mesurée le long de l’axe des
entre les deux sections normales d’abscisses
Nous supposerons qu’on prenne cet axe, tangent, dans le cas d’un tuyau, à l’élément même
compris entre ces deux sections, de l’axe du tuyau, et, dans le cas d’un canal découvert, à l’élément analogue
d’une coupe longitudinale de la surface libre, telle qu’elle est à l’époque
Alors, si, par analogie avec
l’on appelle
l’altitude des divers points de l’axe du tuyau ou de la coupe longitudinale de la surface libre, la dérivée
sera la pente de l’élément
sinus de son angle avec le plan horizontal[1], et l’on aura, dans la première équation (13),
Par suite, dans cette première équation (13), la somme des deux termes en
et en
divisés par
pourra s’écrire simplement
et, dans le cas d’un canal découvert (où
), elle ne sera autre chose que la pente de superficie, cause unique de l’écoulement lorsqu’il devient uniforme. Donnons, en général, à cette expression, indépendante de
et de
le nom de pente motrice, et désignons-la, suivant l’usage, par
en posant ainsi
(22)
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» La première équation (13), divisée elle-même par
sera l’équation indéfinie en
(23)
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» 29. Pour la rendre, ainsi que les conditions aux limites, indépendante des dimensions absolues de la section, prenons comme variables, au lieu de
les coordonnées
du point homologue de
dans une section de rayon moyen 1, et appelons
la petite normale homologue de
dans cette section. Autrement dit, posons
(24)
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d’où et
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» En même temps, substituons à
sa valeur (19) et divisons chaque équation par le facteur, indépendant de
et
qui lui donne la forme la plus simple. Nous aurons
(25)
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(26)
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» Ces relations sont complètement indépendantes du choix des axes. En effet, leurs deux seuls termes qui paraissent en dépendre, savoir, les deux premiers de (25), si l’on y effectue les différentiations en
puis qu’on y introduise les parmètres différentiels
des deux premiers ordres des fonctions de point qui y figurent, reviennent ensemble à
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où
désigne l’angle des deux normales aux courbes
» Il suffit de supposer
à la surface libre, pour que la condition (26) au contour comprenne celle qui régit
sur une telle surface. L’on voit d’ailleurs que cette dernière condition sera satisfaite d’elle-même, si l’on peut former la solution pour le cas d’un tuyau plein ayant sa section composée de la proposée et de sa symétrique par rapport à son bord supérieur (ou profil en travers horizontal de la surface libre), avec symétrie de structure des parois de part et d’autre ; car la fonction de point
y prendre naturellement mêmes valeurs de part et d’autre de cette droite, sur laquelle s’annulera dès lors sa dérivée suivant le sens normal, continue dans tout l’intérieur du contour total
» 30. La vitesse absolue
au point du contour où
s’obtient en appliquant le principe des quantités de mouvement, suivant les
à la tranche fluide comprise entre les deux sections d’abscisses
ou, ce qui revient au même, en multipliant (25) par
et puis intégrant dans toute l’étendue de la section
sans négliger de convertir les deux premiers termes, à la manière ordinaire, en intégrales sur le contour de
que la relation (26) conduit à ne prendre que pour la partie mouillée
de ce contour. L’introduction sous les signes
des rapports
indépendants des dimensions absolues de
donne enfin, après quelques transformations évidentes,
(27)
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» Le coefficient de
dans le premier terme, est tout connu, puisque la fonction
s’y trouve donnée en
ou
le long du contour mouillé
Cette formule fera donc connaître
dès que la pente motrice
et les accélérations
seront données. Puis le système (25), (26) déterminera complètement le rapport
déjà égal à 1 au point du contour mouillé où
et, par suite, il déterminera la vitesse
pour tous les points de la section. En effet, s’il pouvait admettre deux solutions distinctes, leur différence, que j’appellerai
vérifierait évidemment les deux équations
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Or la première, multipliée par
![{\displaystyle \mu d\eta d\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65fc776093276f1b048739c669889380b41cb62)
et intégrée par parties dans toute l’étendue d’une section, en y détachant à la manière ordinaire des intégrales prises sur le contour, donne, vu la seconde, un premier membre tout composé d’éléments non positifs, et dont l’annulation identique exige que l’on pose
![{\displaystyle \mu ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f57b3b8fc2e77aa941b1ca5c5c563cb9fc4120e)
dans tout l’intérieur de la section. Or cette différence
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
s’annule au point ou
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf141b6d515a800339e53ea4e55f5d0b47dd4641)
et où elle se réduit à 1-1. Donc elle s’annule partout.