Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/VII

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 22-26).

§ vii. — Équations d’un tel régime indispensables pour traiter le cas particulier du régime uniforme.

» 26. Portons l’expression (17) du coefficient de frottement intérieur dans les formules (12) des forces $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T}$ où les $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G}$ ont d’ailleurs les valeurs (2). La petitesse du coefficient $\varepsilon$ rendra négligeables les termes où il multipliera des dérivées de $u,v,w,$ autre que celles de $u$ en $y,z,$ les seules de grandeur notable. Il viendra donc

(19)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {N} _{x}=\mathrm {N} _{y}=\mathrm {N} _{z}=-p,\quad \mathrm {T} _{x}=0,\quad \mathrm {T} _{y}=\varepsilon {\frac {du}{dz}},\quad \mathrm {T} _{z}=\varepsilon {\frac {du}{dy}},\\&{\text{avec}}\quad \varepsilon ={\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}{\frac {\rho }{\chi }}u_{0}\mathrm {F} \left({\frac {\chi y}{\sigma }},{\frac {\chi z}{\sigma }}\right).\end{aligned}}\right.$

» On en déduit d’abord aisément, à raison de la petitesse des angles faits par les normales à la surface-limite avec les plans des $yz$ ou des sections $\sigma ,$ que la pression exercée sur la masse fluide par un élément quelconque de sa couche superficielle ne comprend de sensible, à part une partie principale valant $-p$ et perpendiculaire à la surface, qu’un frottement, dirigé à très peu près suivant les $x$ négatifs, et exprimé par $-\varepsilon {\tfrac {du}{dn}},$ où ${\tfrac {du}{dn}}$ est la dérivée de $u$ suivant une petite normale $dn$ tirée, dans le plan de la section $\sigma ,$ sur son contour, à partir du point intérieur voisin que l’on considère. Si $\beta$ désigne l’angle de cette normale, menée ainsi vers le dehors, avec les $\gamma$ positifs, on a

(20)

${\frac {du}{dn}}={\frac {du}{dy}}\cos \beta +{\frac {du}{dz}}\sin \beta .$

» Près d’une surface libre, le frottement étant nul, la fonction $u$ vérifiera donc la condition ${\tfrac {du}{dn}}=0$ et $p$ égalera la pression constante donnée de l’atmosphère contiguë. Près d’une paroi, où le frottement est régi par la formule (14), il viendra pour $u,$ vu finalement (18), la condition

(21)

$\varepsilon {\frac {du}{dn}}=-\rho g\mathrm {B} u^{2}=\rho g\mathrm {B} _{0}u_{0}^{2}f\left({\frac {\chi y}{\sigma }},{\frac {\chi z}{\sigma }}\right).$

» 27. Voyons maintenant ce que deviennent les équations indéfinies (13) et, d’abord, les deux dernières. Les dérivées en $x$ de $\mathrm {T} _{z},$ $\mathrm {T} _{y},$ qui y figurent, auront, d’après (19), à l’un de leurs deux termes, le facteur $\varepsilon$ en même temps que la dérivée très petite de $u$ en $x$ (différentiée en $y$ ou $z$), et, à l’autre, la dérivée même de $\varepsilon$ en $x,$ d’un ordre de petitesse plus élevé que celui de $\varepsilon$ à raison de la graduelle variation supposée du régime. Ces dérivées de $\mathrm {T} _{z},\mathrm {T} _{y}$ seront donc négligeables, et, comme les accélérations transversales $v',w'$ le sont aussi, les deux dernières équations (13), débarrassées de tout terme rappelant le mouvement, signifieront que la pression moyenne $p$ varie hydrostatiquement sur toute l’étendue de la section normale $\sigma .$ S’il y a une surface libre, où $p$ devra égaler la pressions constante de l’atmosphère, son profil en travers, limite supérieur de $\sigma ,$ sera donc horizontal.

» 28. Dans tous les cas, la dérivée en $x$ de $p,$ ou de $-\mathrm {N} _{x},$ indépendante de $y$ et $z,$ se réduit à celle de la pression moyenne $p_{0},$ mesurée le long de l’axe des $x,$ entre les deux sections normales d’abscisses $x,$ $x+dx.$ Nous supposerons qu’on prenne cet axe, tangent, dans le cas d’un tuyau, à l’élément même $ds,$ compris entre ces deux sections, de l’axe du tuyau, et, dans le cas d’un canal découvert, à l’élément analogue $ds$ d’une coupe longitudinale de la surface libre, telle qu’elle est à l’époque $t.$ Alors, si, par analogie avec $p_{0},$ l’on appelle $\beta _{0}$ l’altitude des divers points de l’axe du tuyau ou de la coupe longitudinale de la surface libre, la dérivée $-{\frac {d\beta _{0}}{ds}}$ sera la pente de l’élément $ds,$ sinus de son angle avec le plan horizontal^[1], et l’on aura, dans la première équation (13), $\mathrm {X} =-g{\tfrac {d\beta _{0}}{ds}}.$ Par suite, dans cette première équation (13), la somme des deux termes en $\mathrm {N} _{x}$ et en $\mathrm {X} ,$ divisés par $\rho g,$ pourra s’écrire simplement $\textstyle -{\frac {d}{ds}}\left(\beta _{0}+\int {\tfrac {dp_{0}}{\rho g}}\right)\ ;$ et, dans le cas d’un canal découvert (où $p_{0}={\text{const.}}$), elle ne sera autre chose que la pente de superficie, cause unique de l’écoulement lorsqu’il devient uniforme. Donnons, en général, à cette expression, indépendante de $y$ et de $z,$ le nom de pente motrice, et désignons-la, suivant l’usage, par $\mathrm {I}$ en posant ainsi

(22)

$\mathrm {I} =-{\frac {d}{ds}}\left(\beta _{0}+\int {\frac {dp_{0}}{\rho g}}\right).$

» La première équation (13), divisée elle-même par $\rho g,$ sera l’équation indéfinie en $u,$

(23)

${\frac {d}{dy}}\left({\frac {\varepsilon }{\rho g}}{\frac {du}{dy}}\right)+{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\varepsilon }{\rho g}}{\frac {du}{dz}}\right)+\mathrm {I} ={\frac {u'}{g}}.$

» 29. Pour la rendre, ainsi que les conditions aux limites, indépendante des dimensions absolues de la section, prenons comme variables, au lieu de $y,$ $z,$ les coordonnées $\eta ,\zeta$ du point homologue de $\left(y,z\right)$ dans une section de rayon moyen 1, et appelons $d\nu$ la petite normale homologue de $dn$ dans cette section. Autrement dit, posons

(24)

$\eta ={\frac {\chi y}{\sigma }},\zeta ={\frac {\chi z}{\sigma }}\ ;$ d’où ${\frac {d}{dy}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\eta }},{\frac {d}{dz}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\zeta }}$ et ${\frac {d}{dn}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\nu }}.$

» En même temps, substituons à $\varepsilon$ sa valeur (19) et divisons chaque équation par le facteur, indépendant de $y$ et $z,$ qui lui donne la forme la plus simple. Nous aurons

(25)

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\eta }}\left[\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\eta }}\right]+{\frac {d}{d\zeta }}\left[\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\zeta }}\right]&+{\frac {k}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}{\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{u_{0}^{2}}}\\&={\frac {k}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}{\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {u'}{gu_{0}^{2}}},\end{aligned}}$

(26)

${\text{(sur le contour)}}\quad \mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\nu }}=-k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}f\left(\eta ,\zeta \right).$

» Ces relations sont complètement indépendantes du choix des axes. En effet, leurs deux seuls termes qui paraissent en dépendre, savoir, les deux premiers de (25), si l’on y effectue les différentiations en $\eta ,$ $\zeta ,$ puis qu’on y introduise les parmètres différentiels $\Delta _{1},$ $\Delta _{2}$ des deux premiers ordres des fonctions de point qui y figurent, reviennent ensemble à

$\mathrm {F} \Delta _{2}{\frac {u}{u_{0}}}+\Delta _{1}\mathrm {F} \Delta _{1}{\frac {u}{u_{0}}}\cos \lambda ,$

où $\lambda$ désigne l’angle des deux normales aux courbes $\mathrm {F} ={\text{const.}},$ ${\tfrac {u}{u_{0}}}={\text{const.}}$

» Il suffit de supposer $f(\eta ,\zeta )=0$ à la surface libre, pour que la condition (26) au contour comprenne celle qui régit $u$ sur une telle surface. L’on voit d’ailleurs que cette dernière condition sera satisfaite d’elle-même, si l’on peut former la solution pour le cas d’un tuyau plein ayant sa section composée de la proposée et de sa symétrique par rapport à son bord supérieur (ou profil en travers horizontal de la surface libre), avec symétrie de structure des parois de part et d’autre ; car la fonction de point $u$ y prendre naturellement mêmes valeurs de part et d’autre de cette droite, sur laquelle s’annulera dès lors sa dérivée suivant le sens normal, continue dans tout l’intérieur du contour total $2\chi .$

» 30. La vitesse absolue $u_{0},$ au point du contour où $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0},$ s’obtient en appliquant le principe des quantités de mouvement, suivant les $x,$ à la tranche fluide comprise entre les deux sections d’abscisses $x,x+dx,$ ou, ce qui revient au même, en multipliant (25) par $d\sigma ={\tfrac {\sigma ^{2}}{\chi ^{2}}}d\eta d\zeta$ et puis intégrant dans toute l’étendue de la section $\sigma ,$ sans négliger de convertir les deux premiers termes, à la manière ordinaire, en intégrales sur le contour de $\sigma ,$ que la relation (26) conduit à ne prendre que pour la partie mouillée $\chi$ de ce contour. L’introduction sous les signes $\textstyle \int$ des rapports ${\tfrac {d\chi }{\chi }},$ ${\tfrac {d\sigma }{\sigma }},$ indépendants des dimensions absolues de $\sigma ,$ donne enfin, après quelques transformations évidentes,

(27)

$\mathrm {B} _{0}u_{0}^{2}\int _{\chi }f\left(\eta ,\zeta \right){\frac {d\chi }{\chi }}={\frac {\sigma }{\chi }}\left(1-\int _{\sigma }{\frac {u'}{g}}{\frac {d\sigma }{\sigma }}\right).$

» Le coefficient de $u_{0}^{2},$ dans le premier terme, est tout connu, puisque la fonction $f\left(\eta ,\zeta \right)$ s’y trouve donnée en $\eta$ ou $\zeta$ le long du contour mouillé $\chi .$ Cette formule fera donc connaître $u_{0}$ dès que la pente motrice $\mathrm {I}$ et les accélérations $u'$ seront données. Puis le système (25), (26) déterminera complètement le rapport ${\tfrac {u}{u_{0}}},$ déjà égal à 1 au point du contour mouillé où $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}\ ;$ et, par suite, il déterminera la vitesse $u$ pour tous les points de la section. En effet, s’il pouvait admettre deux solutions distinctes, leur différence, que j’appellerai $\mu \left(\eta ,\zeta \right),$ vérifierait évidemment les deux équations

${\frac {d}{d\eta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\eta }}\right)+{\frac {d}{d\zeta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\zeta }}\right)=0,\quad {\text{sur le contour}}\quad \mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\nu }}=0.$

Or la première, multipliée par $\mu d\eta d\zeta ,$ et intégrée par parties dans toute l’étendue d’une section, en y détachant à la manière ordinaire des intégrales prises sur le contour, donne, vu la seconde, un premier membre tout composé d’éléments non positifs, et dont l’annulation identique exige que l’on pose $\mu ={\text{const.}}$ dans tout l’intérieur de la section. Or cette différence $\mu$ s’annule au point ou $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}$ et où elle se réduit à 1-1. Donc elle s’annule partout.

1. En Hydraulique c’est ce sinus, non la tangente correspondante, qu’il y a lieu de considérer, et auquel il convient de réserver le nom de pente : il reste le mot inclinaison pour désigner la tangente.