Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/X

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 32-34).

§ X. — Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires.

» 37. Passons maintenant aux cas particulièrement intéressants où la vitesse à la paroi peut être supposée constante.

» Le plus simple est celui d’une section rectangulaire large, suivant la profondeur $2h$ ou $h$ de laquelle nous dirigerons vers le bas l’axe des $z,$ à partir du centre s’il s’agit d’un tuyau de hauteur intérieure $2h,$ et à partir de la surface libre s’il s’agit d’un canal découvert de profondeur $h.$ Le premier as, vu la symétrie des vitesses de part et d’autre du diamètre ou de la médiane parallèle aux $y,$ se ramène au second, plus pratique, où $z$ ne varie que de zéro à $h,$ et où la dérivée de $u$ en $z$ s’annule aussi pour $z=0,$ en vertu de la condition spéciale à la surface libre. Bornons-nous donc à ce cas.

» La largeur est supposée assez grande pour que $\mathrm {F} _{1}$ ne dépende pas, dans (30), de la première variable $\eta \ ;$ et l’autre variable, $\zeta ,$ y représente le rapport de $z$ au rayon moyen $h,$ c’est-à-dire la distance des divers points à la surface libre en prenant pour unité la profondeur totale. D’ailleurs, la première formule (15) de $\varepsilon$ donne $\mathrm {F} =1$ dans le système (30), où l’on a déjà $f=1,$ $\mathrm {B} _{0}=\mathrm {B}$ et enfin, pour $\zeta =1,$ $d\nu =d\zeta ,$ $\mathrm {F} _{1}=0.$ Il vient donc immédiatement $\mathrm {F} _{1}={\tfrac {1}{2}}\left(1-\zeta ^{2}\right),$ ${\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {1}{3}}\ ;$ et les formules (32), (34), (35) sont

(37)

${\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} }}}+{\frac {k}{3}},\ {\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}}={\frac {k}{2}}\zeta ^{2}={\frac {k}{2}}{\frac {z^{2}}{h^{2}}},\ {\frac {u_{m}}{\mathrm {U} }}=1+{\frac {k}{6}}{\sqrt {b}}.$

» L’avant-dernière est précisément celle que M. Bazin a obtenue par l’observation des vitesses à diverses profondeurs, sur une verticale équidistante des deux bords, dans un grand nombre de canaux dont la largeur, il est vrai, contenant seulement de 5 à 8 fois la profondeur, était insuffisante pour qu’on pût négliger l’action retardatrice du frottement des bords sur la vitesse maxima $u_{m}$ au milieu de la surface. Le coefficient, 20 environ, qui y affectait $\zeta ^{2},$ est donc moindre que ${\tfrac {1}{2}}k\ ;$ de sorte que le nombre $k$ de nos formules doit excéder assez sensiblement 40.

» 38. Supposons actuellement qu’il s’agisse d’un tuyau circulaire ou, ce qu’on sait revenir au même, d’un canal demi-circulaire coulant à pleins bords, avec $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0},$ c’est-à-dire avec homogénéité des parois dans les deux cas. Appelons $\tau$ le rapport, au rayon $\mathrm {R} ,$ de la distance $r$ à l’axe, ou de ${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\ :$ autrement dit, posons

(38)

$\tau ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}\ ;$ d’où ${\frac {d\tau }{d\eta }}={\frac {\eta }{4\tau }},\quad {\frac {d\tau }{d\zeta }}{\zeta }{4\tau }.$

» Les fonctions $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{1}$ dépendront uniquement de $\tau \ ;$ et la première d’entre elles, $\mathrm {F} ,$ sera, d’après (16), l’inverse de $\tau +\psi (\tau ).$ D’ailleurs, $f$ se réduisant à l’unité, tandis que $d\nu ,$ ou $\textstyle d{\sqrt {\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}$ (à la limite $\tau =1$), ne sera autre chose que $2d\tau ,$ le système (30) deviendra aisément

(39)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{4\tau }}{\frac {d}{d\tau }}\left[{\frac {\tau }{\tau +\psi (\tau )}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau }}\right]+1=0,\\{\frac {1}{1+\psi (1)}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau }}=-2\ ({\text{pour }}\tau =1),\ \mathrm {F} _{1}=0\ ({\text{pour }}\tau =1).\end{aligned}}\right.$

» La première, multipliée par $4\tau d\tau ,$ s’intègre immédiatement, à une constante arbitraire près que détermine la seconde. Après quoi, une nouvelle intégration donne, vu la troisième relation (39),

(40)

$\mathrm {F} _{1}={\frac {2}{3}}\left(1+\tau ^{3}\right)+2\int _{\tau }^{1}\psi (\tau )\tau d\tau$ ou $\mathrm {F} _{1}={\frac {2}{3}}\left(1+\tau ^{3}\right)+\Psi (1)-\Psi (\tau ),$

en posant, pour abréger,

(41)

$\Psi (\tau )=2\int _{\tau }^{1}\psi (\tau )\tau d\tau .$

» Telle est la valeur qu’il faudra substituer à $\mathrm {F} _{1}(\eta ,\zeta )$ dans les relations (32) à (35), et dont la moyenne ${\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}$ s’obtiendra, comme celle de toute autre fonction de $\tau$ aux divers points d’un cercle $\textstyle \int \pi d\tau ^{2}$ de rayon $\tau =1,$ en multipliant par $d\tau ^{2}=2\tau d\tau$ et intégrant de zéro à 1. Si l’on observe que la vitesse maxima $u_{m}$ se produit, par raison de symétrie, sur l’axe $\tau =0,$ les formules (32), (34), (35) deviendront

(42)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} }}}+k\left[{\frac {2}{5}}+\Psi (1)-2\int _{0}^{1}\Psi (\tau )\tau d\tau \right],\\&{\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}}=k\left[{\frac {2}{3}}\tau ^{3}+\Psi (\tau )\right],\ {\frac {u_{m}}{\mathrm {U} }}=1+k\left[{\frac {4}{15}}+2\int _{0}^{1}\Psi (\tau )\tau d\tau \right]{\sqrt {b}}.\end{aligned}}\right.$

binôme $1+\beta {\tfrac {\chi }{\sigma }},$ augmentation inverse du rayon moyen et fortement croissante avec le degré de rugosité. L’introduction de ce facteur binôme s’explique donc autrement et mieux que par une tendance lointaine, dès lors vague, de l’écoulement vers les lois de Poiseuille. On observe vraiment une tendance vers ces lois, bien accusée, c’est-à-dire une diminution assez notable de l’agitation pour amener un régime intermédiaire entre celui des grandes sections et celui des petits tubes, quand, dans l’hypothèse de parois polies ou modérément rugueuses, on a des rayons moyens de quelques centimètres seulement et des vitesses allant environ de 0^m, 1 à 1^m. Mais alors le produit $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}$ garde à peu près, comme dans les deux régimes extrêmes considérés, la forme $\gamma \left({\tfrac {\chi }{\sigma }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}\right)^{m},$ avec un coefficient constant $\gamma$ et un exposant $m$ égal à ${\tfrac {1}{2}},$ c’est-à-dire justement moyen entre les deux valeurs 0 et 1 qui correspondent à ces deux régimes. Les variables ${\tfrac {1}{\mathrm {U} }},$ ${\tfrac {\chi }{\sigma }},$ au lieu de s’y séparer comme dans la formule (36), continuent donc à n’y figurer que par leur produit, ou à peu près. Et l’on a

$\mathrm {I} {\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}=\gamma {\sqrt {{\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}}},$ ou $\mathrm {I} \left({\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}\right)^{\frac {3}{2}}=\gamma ,\quad \mathrm {U} =\gamma ^{-{\frac {2}{3}}}{\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} ^{\frac {2}{3}}.$

La vitesse moyenne est proportionnelle au rayon moyen et à la puissance ${\tfrac {2}{3}}$ de la pente motrice. Ce cas intermédiaire s’est présenté, dans les Recherches hydrauliques de M. Bazin, pour les quatre séries d’expériences 28, 29, 30, 31 (p.  103 à 106), faites sur un petit canal rectangulaire de O^m, 1 de largeur, poli dans les deux premières séries, rendu rugueux par un revêtement en forte toile dans les deux dernières. Le coefficient $\gamma$ y était très sensiblement 0,00004 dans le premier cas (où les expériences ont donnée en moyenne $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000193$ pour $\mathrm {I} =0,0047,$ $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000290$ pour $\mathrm {I} =0,0152$), et environ, mais d’une manière moins précise, 0,000115 dans le second cas (où elles ont donné $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000421$ pour $\mathrm {I} =0,0081,$ et $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000656$ pour $\mathrm {I} =0,0152$). Le quotient $\gamma ^{\frac {2}{3}}$ de l’expression $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }},$ que considère M. Bazin, par $\mathrm {I} ^{\frac {1}{3}},$ était donc 0,00117 dans le canal poli et environ 0,00236, ou le double, dans le canal rugueux.