Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/XIII

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 46-47).

§ XIII. — Conséquences générales qui s’en déduisent, pour le régime uniforme tant dans ces sections que dans les sections rectangulaires larges.

» 50. La dernière de celles-ci (60) garde sa forme de première approximation ; mais, comme $k$ y a grandi de $48,60-44,55=4,05,$ le coefficient de ${\sqrt {b}},$ dans le rapport de $u_{m}-\mathrm {U}$ à $\mathrm {U} ,$ devient 12,96, au lieu de 11,88. En mettant d’ailleurs pour ${\sqrt {b}}$ sa valeur 0,0129 relative au tuyau d’expériences, il vient, pour ce rapport, 0,1672, résultats pratiquement identique à celui de l’observation 0,1675. De plus, la substitution de $\mathrm {U}$ à $u$ et de $12,96{\sqrt {b}}\mathrm {U}$ à $u_{m}-\mathrm {U} ,$ dans (45), donne l’équation $9,164=21\tau ^{3}+\Phi (\tau ),$ dont on trouve, après quelques tâtonnements, que la racine est $\tau =0,7510.$ En d’autres termes, cette formule indique bien, comme nous l’avions annoncé plus haut et conformément à l’expérience, que la vitesse moyenne se réalise aux trois quarts des rayons $\mathrm {R} .$

» Quand à la première formule (60), comparée à la première (37), elle donne pour l’écart des deux inverses respectifs de ${\sqrt {b}},$ dans les sections circulaire ou demi-circulaire et rectangulaire large, non plus ${\tfrac {1}{13}}k,$ mais $\left({\tfrac {1}{13}}+0,0215\right)k=0,0882k,$ où $k$ est maintenant plus grand de 4,05. Aussi cet écart devient-il 4,29 environ, au lieu de 2,97 ; et il est voisin de 5, ou d’accord avec ce que suggère l’observation, comme on l’a vu^[1].

» Enfin, le coefficient, ${\tfrac {1}{2}}k,$ de la seconde formule (37) représentant la distribution des vitesses dans la section rectangulaire large, a maintenant la valeur 24,30, sensiblement égale à celle, 24, que diverses inductions basées sur l’expérience avaient indiquée comme probable à M. Bazin.

» 51. Quand on prend, avec Tadini, $b=0,0004$ dans la section rectangulaire large, la première équation (37), où ${\tfrac {1}{3}}k=16,2,$ donne, pour l’inverse de ${\sqrt {B}},$ $50-16,2=33,8\ ;$ et il vient $\mathrm {B} =0,0008753.$ Alors le coefficient ${\tfrac {\sqrt {B}}{k}},$ dans les expressions (15) à (17) de $\varepsilon ,$ est 0,0006088. Quand à $b$ dans la section circulaire, il a pour valeur 0,0003393, ou 0,00034 en nombre rond. Enfin, d’après la relation $\mathrm {B} u_{0}^{2}=b\mathrm {U} ^{2}$ et les dernières formules (37), (60), les quotients de la vitesse moyenne $\mathrm {U}$ et de la vitesse à la paroi $u_{0}$ par la vitesse maxima $u_{m}$ sont alors, respectivement, 0,86 et 0,58 pour la section rectangulaire large, 0,81 et 0,50 pour la section circulaire ou demi-circulaire.

1. Il serait encore plus grand si, posant, dans (45), $k\Psi (\tau )={\sqrt {2}}\Phi (\tau ),$ on gardait le coefficient $k$ de première approximation, c’est-à-dire $k=44,55\ ;$ il aurait justement alors sa valeur expérimentale, 5,64, obtenue plus haut, mais non pas précisément pour le cas limite où la section rectangulaire devient infiniment large.