Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/XVII

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 60).

ADDITION À LA NOTE DE LA PAGE 28.

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» J’ai démontré, à la page 28, l’impossibilité, pour une fonction ayant la forme simple $\varphi \left({\tfrac {y}{b}},{\tfrac {z}{c}}\right),$ d’exprimer dans le cas de mouvements bien continus le mode de distribution des vitesses, c’est-à-dire le quotient ${\tfrac {u_{m}-n}{\mathrm {U} }},$ à l’intérieur de sections non elliptiques dont la figure changerait avec le rapport ${\tfrac {c^{2}}{b^{2}}}.$ Mais j’ai supposé que ce rapport dût pouvoir varier de zéro à l’infini. Or la démonstration subsiste, et établit la même impossibilité, dès qu'on demande seulement que la formule $\varphi \left(\eta ,\zeta \right)$ convienne pour deux formes distinctes de la section, ou pour deux valeurs du rapport ${\tfrac {c^{2}}{b^{2}}}.$

» En effet, les relations aux dérivées partielles troisièmes de $\varphi ,$ que donne la différentiation de l’équation indéfinie $\Delta _{2}\varphi ={\text{const.}},$ peuvent s’écrire

${\frac {c^{2}}{b^{2}}}{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta }}{d\zeta ^{2}}=0,\quad {\frac {c^{2}}{b^{2}}}{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{2}d\zeta }}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\zeta ^{3}}}=0.$

Admettons que chacune d’elles doive être vérifiée pour deux valeurs distinctes de ${\tfrac {c^{2}}{b^{2}}},$ et soient, par exemple, $\lambda ,$ $\mu$ celles-ci pour la première équation. Nous aurons

$\lambda {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0,\quad \mu {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0\ ;$ d’où $\left(\lambda -\mu \right){\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}=0.$

Il vient, dès lors,

${\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0\ ;$ et, de même, ${\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{2}d\zeta }}=0,\quad {\frac {d^{3}\varphi }{d\zeta ^{3}}}=0.$

Les dérivées partielles troisièmes de $\varphi$ sont donc tenues de s’annuler identiquement, tout comme si les paramètres $b,$ $c$ étaient, tous les deux, arbitraires. »

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