Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/XVIII

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 61-62).

ADDITION À LA NOTE DES PAGES 37 À 39.

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Si l’on n’avait à considérer que des écoulements bien continus, il y aurait une variable meilleure encore que le rayon moyen, pour exprimer tout à la fois l’influence, sur la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ de la grandeur et de la forme de la section ; ce serait le quotient de la section $\sigma$ du tube par le rayon de gyration de celle-ci autour d’un axe normal à son plan et issu de son centre de gravité, c’est-à-dire par la longueur $\mathrm {J}$ que définit la formule $\sigma \mathrm {J} ^{2}=\int _{\sigma }r^{2}\ d\sigma =\int _{\sigma }\left(y^{2}+z^{2}\right)\ d\sigma .$

Des quadratures assez faciles donnent pour ce rayon de gyration $\mathrm {J} ,$ dans les quatre cas du triangle équilatéral, du carré, du cercle et du rectangle infiniment large, des valeurs égales au contour $\chi$ divisé respectivement par les quatre nombres

$6{\sqrt {3}}=10,392,\quad 4{\sqrt {6}}=9,978,\quad 2\pi {\sqrt {2}}=8,886,4{\sqrt {3}}=6,928.$

En introduisant, d’après ces valeurs, $\mathrm {J}$ au lieu de $\chi$ dans la formule de $\mathrm {U} ,$ qui est ${\tfrac {1}{\gamma }}{\tfrac {\rho g\sigma ^{2}}{\varepsilon \chi ^{2}}}\mathrm {I} ,$ il vient :

$\mathrm {U} ={\frac {1}{\gamma '}}{\frac {\rho g}{\varepsilon }}\left({\frac {\sigma }{\mathrm {J} }}\right)^{2}\mathrm {I} ,$

avec les quatre valeurs respectives suivantes du nouveau paramètre $\gamma '\ :$

${\begin{aligned}\gamma '=36.5=180,\quad \gamma '=(1,778\ldots )(96)=170,69,\\\gamma '=16\pi ^{2}=157,91,\quad \gamma '=36.4=144.\end{aligned}}$

On voit que l’inverse de $\gamma ',$ ou le coefficient auquel la nouvelle formule fait la vitesse $\mathrm {U}$ proportionnelle, grandit seulement dans le rapport de 4 à 5, quand la section devient rectangulaire large, de triangulaire équilatérale, en passant par les formes carrée et circulaire. Et l’on trouve que ce coefficient serait même absolument constant dans les sections elliptiques, qui, toutes, donnent $\gamma '=16\pi ^{2}$ comme le cercle. Il est donc bien moins variable que l’inverse de $\gamma ,$ et l’on pourrait, avec quelque approximation, le prendre, pour toutes les formes usuelles de la section, égal à la moyenne arithmétique de ses deux valeurs extrêmes obtenues ${\tfrac {1}{36.5}},$ ${\tfrac {1}{36.4}},$ moyenne qui est ${\tfrac {1}{160}},$ ou qui revient à poser $\gamma '=160.$ M. de Saint-Venant avait déjà indiqué, dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences (t. LXXXVIII, p. 142 ; 27 janvier 1879), une formule approximative analogue pour le moment de torsion d’un prisme élastique isotrope. Or, la détermination d’un tel moment de torsion constitue un problème analytique revenant justement à celui de l’écoulement uniforme bien continu dans un tube de même section que le prisme dont il s’agit, comme je l’ai établi aux pages 70 à 76 de mon premier Mémoire Sur l’équilibre et le mouvement des tiges élastiques, inséré en 1871 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, de Liouville (2^e série, t. XVI).

Malheureusement, la nouvelle variable ${\tfrac {\sigma }{\mathrm {J} }}$ perd en majeure partie ses avantages quand l’écoulement devient tourbillonnant. Alors, en effet, le rapport $b={\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {\mathrm {I} }{\mathrm {U} ^{2}}},$ sensiblement constant pour chaque forme de section, vaut, par exemple (—51, p. 47), 0,00034 dans le cercle, quand il égale environ 0,0004 dans le rectangle large et un peu plus que 0,0004 dans le carré^[1]. Or si, éliminant $\chi$ de ce rapport, on considère, à la place, le nouveau rapport ${\tfrac {\sigma }{\mathrm {J} }}{\tfrac {\mathrm {I} }{\mathrm {U} ^{2}}},$ sa valeur, $b{\tfrac {\chi }{\mathrm {J} }},$ devient supérieure à $(0,0004)(4{\sqrt {6}})=0,00392$ dans le carré, égale à $(0,00034)(2\pi {\sqrt {2}})=0,00302$ dans le cercle et seulement à $(0,0004)(4{\sqrt {3}})=0,00277$ dans le rectangle large. Elle change sans doute très peu, quand on passe du rectangle large au cercle ; mais, en revanche, elle croît beaucoup, environ de moitié, quand on passe du rectangle large au carré, et elle ne varierait peut-être pas moins si l’on passait du même rectangle large aux formes trapézoïdale étroite et triangulaire, assez usuelles, qui laissent au contraire le coefficient $b$ sensiblement invariable.

Donc, le rayon moyen ${\tfrac {\sigma }{\chi }}$ évalue mieux, en Hydraulique, l’influence combinée de la grandeur et de la forme de la section sur la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ que ne le fait le rapport, d’ailleurs plus compliqué, ${\tfrac {\sigma }{\mathrm {J} }}.$

1. D’aprés la série 18, paraissant assez régulière, des anciennes expériences de M. Bazin (Recherches hydrauliques, p. 93, 97, 409), où dans un canal rectangulaire en planches de 1^m,2 de largeur, la profondeur de l’eau a varié de zéro aux ${\tfrac {3}{4}}$ environ de la demi-largeur, et le rayon moyen de zéro à 0^m,2557, $b$ croîtrait, du moins pour celle nature de parois et pour un rayon moyen comme ${\tfrac {1}{4}}$ de mètre, d’environ 5 ou 6 pour 100 de sa valeur primitive, dans un tuyau prismatique dont la section, d’abord rectangulaire très aplatie, finirait par acquérir une hauteur égale aux ${\tfrac {3}{4}}$ de sa base et approcherait ainsi de la forme carrée. Pour un rayon moyen moitié moindre, l’augmentation irait à 7 pour 100 environ, d’après la série 20, paraissant assez régulière aussi, où la profondeur a égalé et même dépassé la demi-largeur, 0^m, 24.