CHAPITRE II.
Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme.
8. Nous avons vu que le développement de donne naissance à différentes autres fonctions toutes dérivées de la fonction principale et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.
Pour cela, reprenons la formule générale
et supposons que l’indéterminée devienne étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de il est visible que deviendra et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat en mettant simplement à la place de dans Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu’on mette, dans la série à la place de soit qu’on y mette au lieu de .
La première substitution donnera
savoir, en développant les puissances de et n’écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,
Pour faire l’autre substitution, soient ce que deviennent les fonctions en y mettant pour et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de il est clair que la même formule deviendra
Comme ces deux résultats doivent être identiques quelles que soient les valeurs de et de on aura, en comparant les termes affectés de de de etc.,
Maintenant, de même que est la première fonction dérivée de il est clair que est la première fonction dérivée de que est la première fonction dérivée de la première fonction dérivée de et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par la première fonction dérivée de par la première fonction dérivée de par la première fonction dérivée de et ainsi de suite, on aura
donc
donc
donc
et ainsi de suite.
Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction on aura
Cette nouvelle expression a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.
9. Nous appellerons la fonction fonction primitive par rapport aux fonctions qui en dérivent, et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première fonction dérivée fonction prime, la seconde fonction dérivée fonction seconde, la troisième fonction dérivée fonction tierce, et ainsi de suite.
De la même manière, si est supposée une fonction de nous dénoterons ses fonctions dérivées par de sorte que, étant une fonction primitive, sera sa fonction prime, en sera la fonction seconde, la fonction tierce, et ainsi de suite.
De sorte que, devenant deviendra
Ainsi, pourvu qu’on ait un moyen d’avoir la fonction prime d’une fonction primitive quelconque, on aura, par la simple répétition des mêmes opérations, toutes les fonctions dérivées, et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.
Au reste, pour peu qu’on connaisse le Calcul différentiel, on doit voir que les fonctions dérivées relatives à coïncident avec les expression