CHAPITRE II.
Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme.
8. Nous avons vu que le développement de
donne naissance à différentes autres fonctions
toutes dérivées de la fonction principale
et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.
Pour cela, reprenons la formule générale
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b73ca232f7e471edfafafac14c93b81f1310203)
et supposons que l’indéterminée
devienne
étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de
il est visible que
deviendra
et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat en mettant simplement
à la place de
dans
Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu’on mette, dans la série
à la place de
soit qu’on y mette
au lieu de
.
La première substitution donnera
![{\displaystyle f(x)+p(i+o)+q(i+o)^{2}+r(i+o)^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b306d83565b8473b38ff942e46b56952eae382fb)
savoir, en développant les puissances de
et n’écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,
![{\displaystyle f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+si^{4}+\ldots +po+2qio+3ri^{2}o+4si^{3}o+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee3a9f86f42619b3d72539bb12bb32bea2f8591)
Pour faire l’autre substitution, soient
ce que deviennent les fonctions
en y mettant
pour
et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de
il est clair que la même formule deviendra
![{\displaystyle f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+si^{4}+\ldots +f'(x)+p'io+q'i^{2}o+r'i^{3}o+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9debcf44cb47dfe603249903b3ed5effee62f2c0)
Comme ces deux résultats doivent être identiques quelles que soient les valeurs de
et de
on aura, en comparant les termes affectés de
de
de
etc.,
![{\displaystyle p=f'(x),\quad 2q=p',\quad 3r=q',\quad 4s=r',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527a841c80b4b9c1643e3b570904374bf7f137cb)
Maintenant, de même que
est la première fonction dérivée de
il est clair que
est la première fonction dérivée de
que
est la première fonction dérivée de
la première fonction dérivée de
et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par
la première fonction dérivée de
par
la première fonction dérivée de
par
la première fonction dérivée de
et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle p=f'(x),\quad {\text{et de là}}\quad p'=f''(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c79f6aa61cf4f2080442eb81c09c97da8d0499a)
donc
![{\displaystyle q={\frac {p'}{2}}={\frac {f''(x)}{2}},\quad {\text{et de là}}\quad q'={\frac {f'''(x)}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca02c2d5ff79f62ef12f5136ec6bebfc032f7898)
donc
![{\displaystyle r={\frac {q'}{3}}={\frac {f'''(x)}{2.3}},\quad {\text{et de là}}\quad r'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23db4bbb1a8a8fff18659c35f5162b19f1d95ed3)
donc
![{\displaystyle s={\frac {r'}{4}}={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}},\quad {\text{et de là}}\quad s'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x)}{2.3.4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2406823d157697bef95f79d09285b9bc164688)
et ainsi de suite.
Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+f'(x)i+{\frac {f''(x)}{2}}i^{2}+{\frac {f'''(x)}{2.3}}i^{3}+{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}}i^{4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ee1a1734a47b47669961be947e912f04e2c2c5)
Cette nouvelle expression a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.
9. Nous appellerons la fonction
fonction primitive par rapport aux fonctions
qui en dérivent, et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première fonction dérivée
fonction prime, la seconde fonction dérivée
fonction seconde, la troisième fonction dérivée
fonction tierce, et ainsi de suite.
De la même manière, si
est supposée une fonction de
nous dénoterons ses fonctions dérivées par
de sorte que,
étant une fonction primitive,
sera sa fonction prime,
en sera la fonction seconde,
la fonction tierce, et ainsi de suite.
De sorte que,
devenant
deviendra
![{\displaystyle y+y'i+{\frac {y''i^{2}}{2}}+{\frac {y'''i^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2142a3fa5354e4d61fbf3cc828ab7cb3bad004a)
Ainsi, pourvu qu’on ait un moyen d’avoir la fonction prime d’une fonction primitive quelconque, on aura, par la simple répétition des mêmes opérations, toutes les fonctions dérivées, et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.
Au reste, pour peu qu’on connaisse le Calcul différentiel, on doit voir que les fonctions dérivées
relatives à
coïncident avec les expression