CHAPITRE XII.
Du développement des fonctions de deux variables. de leurs fonctions dérivées. Notation de ces fonctions et conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui règne entre les termes du développement d’une fonction de plusieurs variables et ceux qui résultent du développement de ces termes eux-mêmes.
73. Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable il n’est pas difficile d’étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.
Soit
une fonction quelconque de deux variables
et
qu’on regarde comme indépendantes l’une de l’autre. Si, dans cette fonction, on met à la fois
à la place de
et
à la place de
et
étant deux quantités indéterminées, qu’ensuite on développe la nouvelle fonction
suivant les puissances ascendantes de
et
il est clair que le premier terme, sans
ni
sera
et que les autres seront de nouvelles fonctions de
et de
multipliées successivement par
ces fonctions dérivent de la fonction primitive
et c’est la loi de cette dérivation qu’il s’agit de déterminer.
Pour y parvenir de la manière la plus simple, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable
qui devienne
la variable
demeurant la même. Dans ce cas, désignant, comme on l’a fait jusqu’ici, par
les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à
seul, on aura
![{\displaystyle f(x+i,y)=f(x,y)+if'(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efba4f02af42a7cfcf3231b14d770dbd4c2b780)
Substituons maintenant partout
![{\displaystyle y+o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2184133692198ddc04b43544d20093096124620f)
à la place de
![{\displaystyle y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af3e5c8679b2d5c583b70a6d57362fa85299224)
on aura
![{\displaystyle f(x+i,y+o)=f(x,y+o)+if'(x,y+o)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y+o)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5c3142400271f653b66c15d45f416c55f4808)
Or, si l’on désigne par
les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à
il est clair que la fonction
considérée comme fonction de
et indépendamment de
deviendra
![{\displaystyle f(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a635557a1ea2ee740aae124e08e9c90327fbfff8)
De même, en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre
indiquent les fonctions primes, secondes, etc. relativement à y des fonctions déjà désignées par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'\ (x,y+o)=&f'\ (x,y)+of'_{_{'}}\,(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\\f''(x,y+o)=&f''(x,y)+of''_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f''_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb23d381883559d97120af5d5401e0bbc2419c4)
et ainsi de suite.
Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)\\&+{\frac {i^{2}o}{2}}f''_{_{'}}(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43a5827c3f56181ec190a8f74686ff934b0c06)
où la forme générale des termes est
![{\displaystyle {\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f_{n}^{m}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb375061e0dbe23ce27ed3d628bb7e89facb218)
74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de
nous avons commencé par substituer, dans
pour
et nous avons développé suivant
nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement,
pour
et nous avons développé suivant
Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait par la substitution de
pour y et par le développement suivant
et qu’on fit ensuite la substitution de
pour
et le développemen
suivant
De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, secondes, etc. relativement à
savoir
ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc. de celles-ci relativement à
qui, suivant la notation que nous venons d’établir, seraient représentées par
et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier procédé, la fonction
s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de
relativement à
ce qui donne
et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à
et, dans le second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de
relativement à
ce qui donne
et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à
D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive
à la fonction dérivée
et, eomme on doit dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits placés au haut ou au bas de la caractéristique
on en peut conclure en général que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions primes relativement à
et à
indiquées par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura également la valeur de
en prenant la fonction seconde de
relativement à
et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à
ou en prenant d’abord la fonction prime de
relativement à
et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à
ou bien en prenant la fonction prime de
relativement à
ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à
et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à
et ainsi des autres.
Il est évident que cette conclusion a lieu en général quelles que soient les variables
indépendantes ou non.
75. Soit, par exemple,
![{\displaystyle f(x,y)=x{\sqrt {2xy+y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1673eac0aea260cf3c6027bcca0f679322d58177)
on aura la fonction prime relativement à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f'(x,y)={\sqrt {2xy+y^{2}}}+{\frac {xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c56e5aa54d2c067c6f2ea0d22b9f7faa8bacbb6)
et sa fonction prime relativement à
sera
![{\displaystyle f_{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}+xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34136383e2fc0e6622b6d063970db18705d284b8)
ensuite, la fonction prime de
relativement à
sera
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)={\frac {x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}+{\frac {x^{2}y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1153aa30deda8b9f7c961c336064b29911320a)
et la fonction prime de
relativement à
sera
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)={\frac {2x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {\left(x^{2}+xy\right)y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf176b0c24a2704976deee04016ed266ebf6cbd)
Quoique ces deux expressions de
paraissent différentes, elles sont cependant identiques, car elles se réduisent l’une et l’autre à
![{\displaystyle {\frac {3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a76861fa48c0fc087d4e433247a6e4b816040e)
Ensuite, en prenant la fonction prime de
relativement à
c’est-à-dire la fonction seconde de
relativement à
on aura
![{\displaystyle f''(x,y)={\frac {2y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {xy^{2}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {3xy^{2}+2y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207625163ec2266cda567189ed8c0753bb4c52ec)
et, prenant maintenant la fonction prime de celle-ci relativement à
![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a21d4570cc17de377d73dd0bd712f20d8d7e87)
De même, en prenant la fonction prime de
relativement à
on trouvera
![{\displaystyle f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b97b8b77005922ea6abdb4425e40cdfa04b4e2)
et ainsi de suite.
Il résulte de là que, afin que des fonctions données de
et
puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.
Ainsi, si
et
représentent des fonctions données de
pour qu’on puisse supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1245c290389d8ea7e52e6d6f928e8a5dc5e529)
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)=\varphi '(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b57c5676b7a68d399c3d68d6375863bd8484b4a)
Et, en général, pour qu’on puisse supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f_{n}^{m}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{q}^{p}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7797b18391978f79ec3cb8c9040d33a39595c1)
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f_{n+q}^{m+p}(x,y)=\operatorname {F} _{q}^{p}(x,y)=\varphi _{n}^{m}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b72a30e5d46fc58656597425e5f8a51dd9887a7)
Par exemple, si
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\quad \varphi (x,y)=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7ed44a162d92b2f1105ea913d0a44ecc6f4b65)
on pourra supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1245c290389d8ea7e52e6d6f928e8a5dc5e529)
car on trouve
![{\displaystyle \operatorname {F} _{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}=\varphi '(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ea8ec4263c25c91e0248f71e1e1c8e0cb3f29a)
mais on ne pourrait pas supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'_{_{'}}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f''(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e885522ee73dfaa997cb4641dd7b831eda03192)
car alors il faudrait que
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735f218d207dacffa95c9ca5d118905b2b74e2e9)
ce qui n’est pas.
76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l’on donne un accroissement à chacune de ces variables, et qu’on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces différents accroissements, qu’on développe ensuite de la même manière les fonctions produites par le premier développement, et ainsi de suite, il règne entre ces différents développements une loi que nous allons exposer d’une manière générale, parce qu’elle peut être utile dans quelques occasions.
Soit
une fonction de plusieurs variables indépendantes
supposons que, par la substitution de
à la place de
et par le développement suivant les puissances et les produits de
cette fonction devienne
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ecca0e798b740575e04a4190f8ee9211ceadd8)
Je dénote par
la somme de tous les termes où les quantités
seront à la première dimension, par
la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et ainsi de suite.
Supposons, de plus, qu’en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1)+f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+\ldots ,\\&f(2)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+\ldots ,\\&f(3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3)+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4703e6210abf8637852b323efda8718b2095dd7)
où je dénote par
![{\displaystyle f(1,1),f(1,2),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771c2078a97c22eb281229dd2927af7aed2fba42)
les rangs successifs des termes du développement de
![{\displaystyle f(1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ffd64acd63f5a708fa98e83d455d533304bc40)
de manière que, puisque les quantités,
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6)
sont à la première dimension dans
![{\displaystyle f(1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ffd64acd63f5a708fa98e83d455d533304bc40)
elles formeront deux dimensions dans
![{\displaystyle f(1,1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5c093ad77a285c169b4003a461ca36866045e7)
trois dimensions dans
![{\displaystyle f(1,2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16214f8011bcdacc90fae3e85ae14d196df530d0)
et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu’en général la quantité désignée par
![{\displaystyle f(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67985ded4099a0309bcfda2dbaaa350d90149406)
renfermera tous les termes du développement de
![{\displaystyle f(m),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c45a6f61def7244e4886df31567f946b7d82e49)
où les quantités
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6)
formeront
![{\displaystyle m+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88528fefcfac1b22d2df9b71d0f4fc9e758f65ad)
dimensions.
Cela posé, si l’on substitue d’abord
dans la fonction
elle deviendra
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e4b155f8f223ef03ff662ef9902f15bf92f885)
et, si l’on substitue ensuite, dans cette quantité,
à la place de
il est clair qu’elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z,\ldots )&+\quad f(1)\ \ \,+\quad \ \ f(2)\ \ \ +\quad \ \ f(3)\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1)\,\ \ \ +m^{2}f(2)\,\ \ \ +m^{3}f(3)\,\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1,1)+m^{2}f(1,2)+m^{3}f(1,3)+\ldots ,\\&+mf(2,1)+m^{2}f(2,2)+m^{3}f(2,3)+\ldots ,\\&+mf(3,1)+m^{2}f(3,2)+m^{3}f(3,3)+\ldots ,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3dea4d8a76f55d2740f960c6537b9ba6ddecc3)
D’un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique qu’on ferait dans la fonction
en mettant
![{\displaystyle x+(1+m)\alpha ,\quad y+(1+m)\beta ,\quad z+(1+m)\gamma ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b86c385804b0777c477501c36dc61771d9e1c)
à la place de
et qui donnerait, par le développement,
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+(1+m)f(1)+(1+m)^{2}f(2)+(1+m)^{3}f(3)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fb42ec8ae20c59ead7e564b974917b34bb72ee)
Ainsi, il faudra que ces deux développements soient identiques et que, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions
soient égaux de part et d’autre, quelle que soit d’ailleurs la quantité
On aura donc les comparaisons suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1)+m\ \ f(1)=(1+m)f(1),\\&f(2)+m^{2}f(2)+m\ \ f(1,1)=(1+m)^{2}f(2),\\&f(3)+m^{3}f(3)+m^{2}f(1,2)+m\ \ f(2,1)=(1+m)^{3}f(3),\\&f(4)+m^{4}f(4)+m^{3}f(1,3)+m^{2}f(2,2)+mf(3,1)=(1+m)^{4}f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35587e843e881ed1d4cc48a8b5703fb9838732a0)
Et, comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de
on tirera ces valeurs :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1,1)=2f(2),\\&f(1,2)=3f(3),\quad f(2,1)=3f(3),\\&f(1,3)=4f(4),\quad f(2,2)=6f(4),\quad f(3,1)=4f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5778850e1589e5b53926007f5d9895cd5efd3e)
Donc, par les termes du premier développement général, on pourra avoir immédiatement ceux de tous les développements partiels suivants.
77. À l’imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d’une seule variable, si l’on regarde
comme une fonction de
et
on pourra dénoter par
ces différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre
les mêmes traits qu’on appliquerait à la caractéristique
de la fonction
qu’on suppose représenter la valeur de
et l’on nommera ces fonctions de la même manière.
Ainsi,
devenant
et
devenant
la quantité
fonction de
deviendra (no 73)
![{\displaystyle z+iz'+oz_{_{'}}+{\frac {i^{2}}{2}}z''+ioz'_{_{'}}+{\frac {o^{2}}{2}}z_{_{''}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+{\frac {i^{2}o}{2}}z''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}z'_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}z_{_{'''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c501ec62c349b819ee95d7af0250f0f887b8b20b)
le terme général, de cette série étant, comme dans l’endroit cité,
![{\displaystyle {\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}z_{n}^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fdeacba6e3c075b2f92ddd0cd6105c7db47484)
À l’égard de la manière de trouver ces différentes fonctions, il est clair qu’il n’y a qu’à suivre les mêmes règles que pour les fonctions d’une seule variable, les traits supérieurs de la caractéristique indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à
seul et les traits inférieurs indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à
seul.
Ainsi, en prenant les fonctions primes de
selon
et
on aura les valeurs de
et
et de là, en prenant encore les fonctions primes relativement à
et à
on aura les fonctions dérivées du second ordre
et ainsi de suite.
Il est bon de remarquer ici que, pour les fonctions de deux variable, il y a deux fonctions dérivées du premier ordre
et
trois du second ordre
de sorte que, pour l’ordre
ième, il y aura un nombre
de fonctions dérivées.
Comme nous distinguons ces fonctions dérivées par des traits supérieurs qui se rapportent à l’une des variables
et par des traits inférieurs qui se rapportent à l’autre variable
nous nommerons fonctions primes, secondes, etc., selon
ou
les fonctions marquées par de seuls traits supérieurs ou inférieurs, et nous nommerons simplement fonctions primo-primes, secundo-primes, primo-secondes les fonctions marquées à la fois par des traits supérieurs et inférieurs, en énonçant le trait supérieur le premier et l’inférieur le second.
On trouvera plus de détails sur ce sujet dans la Leçon XIX du Calcul des fonctions[1].