CHAPITRE XIII.
Où l’on donne la manière de développer les fonctions d’un nombre quelconque de variables en séries terminées, composées d’autant de termes qu’on voudra, et d’avoir la valeur des restes.
78. Par une méthode analogue à celle du Chapitre VI, on peut aussi avoir le développement d’une fonction quelconque de
et
suivant les puissances de
et
et déterminer les restes de la série lorsqu’on veut l’arrêter à des termes quelconques. En changeant, dans la formule du nso 73,
et
en
ensuite
et
en
on aura
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73a1f5c5b5fc99f0a669225f8f8a203465ebd4a)
![{\displaystyle +{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz,y-yz)+xyz^{2}f'_{_{'}}(x-xz,y-yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e03845c454016dc3c350c0046f95601d1f9c54)
![{\displaystyle +{\frac {y^{2}z^{2}}{2}}f_{_{''}}(x-xz,y-yz)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff47d5682b59ffdc727621ca21202b1c4157aae2)
où
sera une quantité quelconque indéterminée qui, étant supposée égale à zéro, rendra l’équation identique, et qui, étant faite égale à
donnera
![{\displaystyle f(x,y)=f+xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d763d2cda79bb3f5b17abf84b1a6b3d19e3daf7)
formule générale du développement de la fonction
suivant les puissances de
et
dans laquelle les quantités désignées par
dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant
et
en faisant
et ![{\displaystyle y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bd6ae8686fc84f378d56cc491c7113fb947cd5)
Supposons maintenant qu’on ne veuille faire ce développementque par parties, et arrêtons-nous d’abord au premier terme ; nous ferons
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe99dc8280dff14f323617261af32c9f3e7d4ca0)
étant une fonction de
qui devra être évidemment nulle lorsque
Puisque la quantité
peut être quelconque, nous pouvons prendre l’équation prime relativement à
et, par les principes et la notation établis, il est facile de voir que la fonction prime de
prise relativement à
sera
![{\displaystyle -xf'(x-xz,y-yz)-yf_{_{'}}\left(x-xz,y-yz\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f8a28d32e2055ab8cc9788e3d0a944aa770520)
donc, désignant par
la fonction prime de
prise aussi relativement à
on aura, pour la détermination de
l’équation du premier ordre
![{\displaystyle \mathrm {P} '=xf'(x-xz,y-yz)+yf_{_{'}}(x-xz,y-yz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1c681fdd71d4af8ea08a81f6f7ffce7055130b)
Considérons, en second lieu, les trois premiers termes du développement de
et faisons
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)+\mathrm {Q} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549c946da05f4597f609313a6f996efad0c6c250)
sera une fonction de
qui devra, par la nature même de cette équation, devenir nulle lorsque
À cause de l’indétermination de
on pourra prendre l’équation prime relativement à
et, désignant par
la fonction prime de
on trouvera, après avoir effacé les termes qui se détruisent dans l’équation prime, cette équation du premier ordre pour la détermination de ![{\displaystyle \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e83ec0e972d08bb4fe22f6d4dd8b65297a6492)
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=x^{2}zf''(x-xz,y-yz)+2xyzf'_{_{'}}(x-xz,y-yz)+y^{2}zf_{_{''}}(x-xz,y-yz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60da14c64c1db4ced5d7f64e2b3c68fddb13121f)
et ainsi de suite.
Pour déduire de ces équations les valeurs de
il faudrait chercher les fonctions primitives des quantités
relativement à
et les prendre telles qu’elles soient nulles lorsque
Mais, comme nous n’avons pas besoin des expressions générales de ces quantités, mais seulement de leurs valeurs relatives à
que même il suffit d’avoir des limites de ces valeurs, on pourra faire usage de la méthode employée dans le Chapitre cité pour parvenir à des conclusions semblables à celles du no 39.
Ainsi, en désignant par
un nombre indéterminé, ou plutôt inconnu, toujours compris entre
et
et qui devra être partout le même dans la même fonction, mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions, on trouvera les expressions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y),\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left[x^{2}f''(\lambda x,\lambda y)+2xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+y^{2}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2a0833a064b1520989f45b0d4146c9c48859ef)
et ainsi des autres.
Donc enfin, substituant ces valeurs de
dans les développements de
et faisant
on aura ces formules générales, qui renferment une extension du théorème du no 40
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)=f+&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''(\lambda x,\lambda y)\\&+xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\\\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}\\+&{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(\lambda x,\lambda y)+{\frac {x^{2}y}{2.3}}f''_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\+&{\frac {xy^{2}}{2}}f'_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(\lambda x,\lambda y)\\=\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb57c64def499d3878297c5598031ced9b664d85)
Donc, si l’on a la fonction
à développer suivant les puissances de
et de
il n’y aura qu’à mettre
et
à la place de
et
dans les formules précédentes, et les quantités
deviendront
où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à
et
puisque la fonction
est telle, que ses dérivées relativement à
et
sont les mêmes que les dérivées relativement à
et
Ainsi, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i,y+o)=f(x,y)\ +&if'(x+\lambda i,y+\lambda o)+of_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {i^{2}o}{2.3}}f''_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2535f34079e068866e98b86bfaa3bc331616011b)
La quantité
répond, comme l’on voit, à la quantité que nous avons désignée par
dans le no 40 ; nous préférons ici l’expression
parce que le même coefficient
se trouve dans la quantité
De ces formules, qu’il serait maintenant aisé d’étendre aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, on peut déduire la conclusion suivante :
Lorsque, dans le développement d’une fonction suivant les puissances et les produits de certaines quantités, on veut s’arrêter aux termes d’un ordre donné, c’est-à-dire dans lesquels ces quantités forment des dimensions d’un degré égal à l’exposant de cet ordre, on peut supposer le reste du développement égal aux seuls termes de l’ordre suivant, mais en y conservant ces mêmes quantités sous les fonctions, et les multipliant toutes par un coefficient
dont la valeur sera entre les limites
et
et qui sera là même dans la même fonction, mais qui pourra être différente dans les différentes fonctions.
79. Au reste, on pourrait aussi appliquer au développement de la fonction
la méthode du no 37, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
et
En effet, soit
![{\displaystyle f(x+i,y+o)=f(x,y)+i\mathrm {P} +o\mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678610cefbb9d4ca10df16a1875b616bf861fd07)
En prenant d’abord les fonctions dérivées par rapport à
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&f'(x,y)+i\mathrm {P} '+o\mathrm {Q} ',\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&f_{_{'}}(x,y)+i\mathrm {P} _{_{'}}+o\mathrm {Q} _{_{'}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab04acb5f7eed3f3caed2ad5ee25d1ff0c1184)
Ensuite, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à
et
et qu’on les désigne par des traits placés au haut et au bas, mais en arrière des lettres, on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&\mathrm {P} +i'\mathrm {P} +o'\mathrm {Q} ,\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&\mathrm {Q} +i_{_{'}}\mathrm {P} +o_{_{'}}\mathrm {Q} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1fde4d87700221d9b974fc1e4bc4e2373b1ba3)
puisqu’il est évident que les fonctions dérivées de
sont les mêmes par rapport à
et
et par rapport à
et
De là on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&f'(x,y)+i(\mathrm {P'-'\!P} )+o(\mathrm {Q'-'\!Q} ),\\\mathrm {Q} =&f_{_{'}}(x,y)+i(\mathrm {P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P} )+o(\mathrm {Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37abe0f87129b8b50805e0dd410cc9a59671122c)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {R=P'-'\!P,\quad S=Q'-'\!Q+P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P,\quad T=Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23296f4319c2b7489912dcd968836663cff63f5)
on aura, en substituant ces valeurs,
![{\displaystyle f(x+i,y+o)=f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+i^{2}\mathrm {R} +io^{2}\mathrm {S} +o^{2}\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43401d7bcabbc954fb0e692d88a90dbbee3bee91)
et l’on pourra de la même manière pousser le développement aussi loin qu’on voudra, de sorte qu’en connaissant les expressions analytiques des premiers restes
on trouvera tous les suivants par les simples fonctions dérivées de ces restes.
80. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d’une seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement, il s’ensuit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d’une seule variable peut s’appliquer de même aux fonctions de deux variables.
Ainsi, il sera facile d’étendre aux fonctions de deux variables les remarques que nous avons faites dans le Chapitre V, sur le développement des fonctions lorsqu’on donne aux variables des valeurs déterminées, et d’en déduire des conséquences et des résultats semblables.
Enfin, il est visible qu’on pourra traiter aussi par les mêmes principes les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, puisqu’il ne s’agira que de répéter les mêmes opérations séparément pour chaque variable.