CHAPITRE IV.
Des contacts du second ordre. Théorie et construction des équations primitives singulières dans les ordres supérieurs. Exemple contenant la théorie analytique des développées.
20. Considérons maintenant les contacts du second ordre, et, prenant
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b3d27ad28c3a0ed031005bfa3ec41ee276dec)
pour l’équation de la courbe du contact, supposons qu’il y ait entre les trois éléments
la relation donnée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9343a00f3e8230550acb0d7345827298680d9843)
Comme les valeurs de ces éléments doivent se tirer des trois équations (no 10)
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836606dc2161dc66810ad01bcc7d19b60a15f2d5)
si l’on désigne ces valeurs par
l’équation du problème sera
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602acc4a046576012a9fc803fbcb53a27bf4272c)
qu’on voit être du second ordre. Les trois équations
![{\displaystyle a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbfe0bba974dd777103e57558e128a2e09a5fe5)
donneront, en prenant les fonctions primes dans la supposition de
constantes, la même équation
![{\displaystyle \mathrm {V} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7579492b0afa73b150c28e120e2370c042adad)
du troisième ordre, qui sera le résultat de l’élimination de
![{\displaystyle a,b,c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d)
au moyen des trois équations précédentes, combinées avec l’équation tierce (
no 46, I
re Partie)
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0c50119b0d2f5d7564a67c3561abc073d0df7e)
par conséquent, on aura nécessairement
![{\displaystyle \mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV,\quad R'=LV} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf74aeb74eff3e471922d8e83e12051c9534868)
étant des fonctions de
et
sans
de sorte qu’en prenant les fonctions primes de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602acc4a046576012a9fc803fbcb53a27bf4272c)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)+R'\varphi '(R)=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb89778699e3f3c30a91dae3d346a544874f577d)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)\right]} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b99bfe6d23da709a90232716f80823b7879aeb)
équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,
![{\displaystyle \mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a3b8c099c23896e170b3f0d9091d64d68f7843)
dont la première est du troisième ordre et dont la seconde n’est que du second.
L’équation
a, comme nous l’avons déjà vu, pour équation primitive complète l’équation même
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b3d27ad28c3a0ed031005bfa3ec41ee276dec)
de la courbe du contact, dans laquelle
sont les trois constantes arbitraires ; mais, comme l’équation du problème
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915367263f35fb16fe7a945ba8ee76eed80c9b0c)
n’est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes qui les réduise à deux arbitraires, et cette relation est donnée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac2f886c15b87ada1742c1416fc6f23d1c46fec)
qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de
tirées des équations
![{\displaystyle c=\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4870235e79921867839fe15556c566c4c927595c)
L’autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction
de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602acc4a046576012a9fc803fbcb53a27bf4272c)
et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités
et
au moyen des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836606dc2161dc66810ad01bcc7d19b60a15f2d5)
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb770f38ddc5c0009297ba653d77fc0bd87c7f4f)
Or, en regardant
comme des fonctions de
la fonction prime de
sera
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039ac662e4567c9004eb4f0b31278768b803e464)
en dénotant simplement par
les fonctions primes de
prises relativement à
regardées comme seules variables ; donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9123b5659c46b6e4528e96d7055ec01683c602a7)
emporteront celle-ci :
![{\displaystyle a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f845edbeb9a19e9d73a02e9b31ce495622003d9c)
De plus, la fonction prime de
sera, par la même raison,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,a,b,c)''+a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c831097ba1e895e5b03b1075f7e46da7327b547)
en dénotant de même par
les fonctions primes de
prises relativement à
regardées comme seules variables ; et, comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités
comme indépendantes de
et
il est aisé de prouver, par les principes établis dans la Ire Partie (no 74), que les fonctions ![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764cb627707dcd1139202426805928e08062016b)
seront la même chose que les fonctions
primes des fonctions
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab251327b027df73d2036847e0f17e5136db6ce)
prises relativement à
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a642ac5bbe0de01f7b218a1096b014c8301489d8)
emporteront encore nécessairement cette autre-ci :
![{\displaystyle a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73499fa0f3c043061014ef4ba0c037fd3dd21dee)
Si donc on combine les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {F} '(a)\ +{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)\ +{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)\ =0,\\&\operatorname {F} '(a)'+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)'+{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)'=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaef9c6681bdd8ff5c421971af5dee946eb3f86f)
avec l’équation
![{\displaystyle \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e0519d4381b52702ea05f366ab935c1d1fea18)
qui résulte de
en prenant les fonctions primes, on aura, par l’élimination des quantités
et
une équation en
et
sans
laquelle sera équivalente à celle qu’on aurait déduite des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d650feb5872e8de15e304771f474b7f2f8bf842)
par l’élimination de
Ainsi, il n’y aura plus qu’à éliminer
au moyen des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842fce1eb86a89a90e3543e62c02ff633e185aab)
et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,H} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0bef9ef74abab1d03e36b03d63217b89cc8144)
laquelle, ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires, ne pourra être qu’une équation primitive singulière.
En effet, si, pour simplifier la solution, on commence par tirer la valeur
de l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac2f886c15b87ada1742c1416fc6f23d1c46fec)
et qu’on la représente par
![{\displaystyle \psi (a,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0df45a159fc1d7987641515bdbcc569b4266c55)
alors la solution se réduira à éliminer
![{\displaystyle a,b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8)
et
![{\displaystyle {\frac {b'}{a'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a46b3b0b99798aacbb110383626039cbc1cdf1)
entre les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,a,b,\psi (a,b)\right]=0,\quad \operatorname {F} [x,y,a,b,\psi (a,b)]'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8247904d9077f2e75ec4e1bd36c4a3a68e75f9)
et les deux équations primes de celles-ci, prises relativement à
et
seuls, et divisées par
procédé analogue à celui du no 18.
21. En général, si l’on a une équation en
et deux constantes arbitraires
et
que nous représenterons par
![{\displaystyle f(x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c256e57ee685eb79949f726b68a99656b7f216b8)
en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées
![{\displaystyle f(x,y,a,b)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,a,b)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1182b98cc184b0640382084891a948d1b1a660)
on aura une équation du second ordre
![{\displaystyle \mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d781e3dfb5560765464cdd08522d56007d28972c)
qui appartiendra à toutes les courbes représentées par l’équation
![{\displaystyle f(x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c256e57ee685eb79949f726b68a99656b7f216b8)
en donnant à
et
des valeurs quelconques, et dont, par conséquent, celle-ci sera l’équation primitive complète.
Donc elle appartiendra aussi à la courbe ou aux courbes formées par toutes ces courbes, et qui les envelopperont de manière qu’elles aient avec chacune d’elles un contact du second ordre, c’est-à-dire dans lequel les
et
soient les mêmes. Mais, les quantités
et
étant constantes dans chaque courbe enveloppée et variables dans les courbes enveloppantes, pour que les
et
soient les mêmes dans les deux hypothèses, il faudra que les équations d’où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or, dans la supposition de
et
variables, l’équation
![{\displaystyle f(x,y,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f2c8653a6bef7a7707e02184fd66aa23e4a1fd)
donne l’équation prime
![{\displaystyle f(x,y,a,b)'+a'f'(a)+b'f'(b)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b60bfdd9851425788674c5f0162dc3a3e98796)
donc, pour que cette équation se réduise à
![{\displaystyle f(x,y,a,b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a5488be2ae38c09abb7d26ab7f7e1f27f586b2)
comme dans le cas de
et
constantes, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle a'f'(a)+b'f'(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9283ba6f275bfaf16bb905a16601eb179f99fea6)
De la même manière, l’équation
![{\displaystyle f(x,y,a,b)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b42ec5c3b63f7906dcaac8f2e6a93c4ce34f299)
donne, dans le cas de
et
variables, cette équation dérivée
![{\displaystyle f(x,y,a,b)''+a'f'(a)'+b'f'(b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797821fe60e16b6e87d0cb1399947528e953aacf)
laquelle ne peut se réduire à
![{\displaystyle f(x,y,a,b)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38c909d3bea68fcb90ef9b20da07c1483536d48)
comme dans le cas de
et
constantes, qu’en supposant
![{\displaystyle a'f'(a)'+b'f'(b)'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8c3f258c79a5ab7488d6f9b3cdd05ae4591551)
Ayant ainsi les quatre équations
![{\displaystyle f(x,y,a,b)=0,\quad f(x,y,a,b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baed54ec3f75470680ec0cd7520155e1c36c8377)
![{\displaystyle f'(a)\ +{\frac {b'}{a'}}f'(b)\ =0\quad {\text{et}}\quad f'(a)'+{\frac {b'}{a'}}f'(b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9070daf400dfe98419dc0f13cd7da782533f8f)
il n’y aura qu’à éliminer
et
et l’on aura une équation du premier ordre entre
et
qui sera celle des courbes enveloppantes et qui sera en même temps l’équation primitive singulière de la même équation ![{\displaystyle \mathrm {V} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf545b2ff4771b0a551918d57b4b9778347bef6)
On voit par là comment la théorie des équations primitives singulières peut s’étendre au second ordre et aux ordres supérieurs. On voit en même temps que ces équations représentent toujours des courbes enveloppantes et qui ont des contacts d’un ordre donné avec les courbes enveloppées, représentées par les équations primitives complètes, dans lesquelles les constantes arbitraires varient d’une courbe à l’autre. Ceci peut servir de supplément et de complément à la théorie des équations primitives exposée dans la première Partie (no 60).
Au reste, de même que les quatre équations ci-dessus
![{\displaystyle f(x,y,a,b)=0,\quad f(x,y,a,b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baed54ec3f75470680ec0cd7520155e1c36c8377)
![{\displaystyle f'(a)+{\frac {b'}{a'}}f'(b)=0\quad {\text{et}}\quad f'(a)'+{\frac {b'}{a'}}f'(b)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec4b8059df2297b2be2c996ccc7c7e7175d7fce)
donnent, par l’élimination de
et
une équation du premier ordre en
et
ces équations donneront également, par l’élimination de ces trois dernières quantités, une équation en
et
qui renfermera les relations que doivent avoir entre elles les deux variables
et
d’où l’on voit que ces quantités, qui sont indépendantes entre elles dans chacune des courbes enveloppées, ne le sont plus lorsqu’elles se rapportent à la courbe enveloppante. On trouvera des résultats semblables pour les équations et les courbes des ordres supérieurs.
22. Supposons qu’on demande la courbe qui aura dans chacune de ses points un contact du second ordre avec un cercle représenté par l’équation
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650feb13db80e13125713b92ece2ec78f61c7094)
et dont les éléments du contact
aient entre eux la relation déterminée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9343a00f3e8230550acb0d7345827298680d9843)
La marche naturelle pour résoudre ce problème serait de substituer dans cette équation les valeurs des éléments
trouvées plus haut (no 11), ce qui donnerait une équation du second ordre, d’où il faudrait remonter à l’équation primitive.
Mais, sans chercher cette équation du second ordre, on peut d’abord conclure, de ce que nous venons de démontrer, que l’on aura son équation primitive complète en-supposant les quantités
constantes, ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre, qu’on obtiendra en faisant varier les quantités
de manière que les équations primes et secondes de l’équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes, et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés par la même équation, c’est-à-dire qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.
Cette équation sera donc, par les principes établis ci-dessus, le résultat de l’élimination des quantités
et
entre les trois équations
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},\quad x-a+y'(y-b)=0,\quad \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af398625fe92f4a94c048a8478eb55c6b46a224)
et les équations primes de celles-ci, prises relativement aux seules variables
savoir
![{\displaystyle (x-a)+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2881de0dd7e7d23502a2968cd7ecf89dd588468e)
Mais, comme cette équation en
et
pourrait se présenter sous une forme assez compliquée, il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de
et
par une troisième variable.
Pour cela, on éliminera d’abord
au moyen des deux équations
![{\displaystyle (x-a)+y'(y-b)=0\quad {\text{et}}\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad005a1edf8243435c767bb44c404d9ce2140c6f)
on aura celle-ci,
![{\displaystyle x-a-{\frac {a'(y-b)}{b'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc10828d8fa302df978ab544e33dd7dad3ef349e)
qui, étant combinée avec la première,
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650feb13db80e13125713b92ece2ec78f61c7094)
donnera sur-le-champ
![{\displaystyle x=a+{\frac {ca'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},\quad y=b+{\frac {cb'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56bd1b6160e16cd4f1e1ee734dc7f64caab2c85)
De plus, si l’on substitue ces mêmes valeurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle x-a+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18884e5dd2c2aca134d371bbcfa1bd64ffd87001)
on aura celle-ci,
![{\displaystyle c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb434eade7c781080ae63c7210f0761ec39ce8a)
laquelle, étant combinée avec l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31def72976b77006e0c04d1e9c07a96e22c0c3fb)
donnée par le problème, servira à déterminer deux des trois variables
par la troisième, moyennant quoi les valeurs de
et
seront aussi exprimées par cette seule variable.
23. Comme les quantités
et
sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles osculateurs (no 9), si l’on suppose cette courbe donnée, on aura une équation entre
et
par laquelle on pourra déterminer
en
Soit donc
![{\displaystyle b=\varphi (a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64106fb84bc4c2e9212f69423115049956419599)
on aura
![{\displaystyle b'=a'\varphi '(a),\quad {\text{et de là}}\quad c'=a'{\sqrt {1+\left[\varphi '(a)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecec99e73dcb1a0274324f1485e4f097c90dcfa)
Ainsi, en désignant par
la fonction primitive de
on aura
![{\displaystyle c=\mathrm {A} +h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b854a6faedb2dea00f2350dd9a1120304293eac3)
étant une constante arbitraire ; ces valeurs de
et
étant substituées dans les expressions de
on aura la courbe cherchée.
Nous remarquerons maintenant que, quelle que soit la courbe des centres, l’équation
![{\displaystyle c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262efba3a4efe33385d8e62c38f389135cbeb15b)
fait voir que le rayon
est égal à l’arc de cette courbe (voir ci-après le no 29), de sorte que, si l’on nomme
cet arc, on aura
![{\displaystyle c=s+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3529b895899baac2141daa5b50597a058e32144f)
Nous remarquerons, de plus, que le rayon
sera nécessairement tangent à la même courbe, car l’angle que la tangente de cette courbe fait avec l’axe a pour tangente la quantité
(no 7), et, comme le rayon du cercle osculateur est perpendiculaire à la courbe dont les coordonnées sont
et
(no 8), la tangente de l’angle qu’il fait avec l’axe sera (no 7)
en vertu de l’équation
et par conséquent la même que celle de la tangente à la courbe.
Mais, quoique cette propriété soit démontrée de cette manière, il est bon de faire voir qu’elle est une conséquence nécessaire de l’analyse employée dans la solution de la question. Pour cela, nous reprendrons les deux premières équations
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x-a+y'(y-b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8662e474e39f05056d101feaa0fd6a3d479042a4)
lesquelles donnent
![{\displaystyle a=x-{\frac {cy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad b=y+{\frac {c}{\sqrt {1+y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd7f2da06569f49f7d876d8c7e2da37c113fbc9)
et nous observerons que ces expressions de
et
peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la courbe dont
et
sont les coordonnées, en regardant
et
comme constantes et
comme une variable, ainsi qu’on l’a vu dans le no 8, et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant
et
comme variables et
comme donnée en
et
(no 9).
Donc la perpendiculaire dont il s’agit sera tangente de cette dernière courbe si la fonction prime de
regardée comme fonction de
est la même pour la droite et pour la courbe (no 10), ou, en général, si les valeurs de
et de
regardées comme fonctions d’une troisième variable, sont les mêmes, et par conséquent aussi, si les valeurs de
et
sont les mêmes, soit que les quantités
et
soient traitées comme variables ou non, c’est-à-dire si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de
et
sont nulles ; or c’est ce qui a lieu en effet, comme on le voit par les équations de l’article précédent,
![{\displaystyle a'(x-a)+b'(y-b)=cc'\quad {\text{et}}\quad a'+b'y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277fc40651c4ac450836c039f135d44be58a8796)
qui servent à la détermination de
et de
et qui sont les équations primes de
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x+a-y'(y-b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c107d8ce746fbefd882666a6da8d29b5d9d37fe)
en y traitant
et
comme constantes, et
comme seules variables.
Donc, puisque le rayon osculateur d’une courbe est partout tangent à la courbe des centres et est en même temps égal à l’arc de cette courbe, il s’ensuit qu’il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite, et qu’ainsi toute courbe peut être regardée comme formée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles osculateurs. C’est en quoi consiste la théorie des développées d’Huygens, qui n’avait été démontrée que par des considérations géométriques. L’analyse précédente fournit en même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente lorsqu’on cherche, par les formules connues, la courbe formée par le développement d’une courbe donnée.
Si l’on substitue dans l’équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées
et
en
et
on a évidemment une équation du second ordre, d’où il paraît s’ensuivre que l’équation en
et
de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires, tandis que la génération de cette courbe par le développement de la courbe donnée n’admet qu’une seule constante arbitraire dépendant du point où commence le développement.
La raison de cette différence consiste, comme nous venons de le démontrer, en ce que l’équation de la courbe engendrée par le développement est proprement l’équation primitive complète d’une équation du premier ordre qui n’est elle-même que l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre, donnée par les conditions du problème et qui, par sa nature, ne peut point avoir de constante arbitraire, de sorte qu’il ne peut y avoir qu’une constante arbitraire, à raison de la première équation primitive.