Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 05

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 232-237).

CHAPITRE V.

Des plus grandies et des moindres valeurs des fonctions d’une variable.

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24. Il y a un genre de questions qui, quoique indépendantes de la considération des tangentes, peuvent néanmoins s’y rapporter : ce sont celles qu’on appelle de maximis et minimis, et qui consistent à trouver, pour une fonction donnée d’une variable, la valeur de cette variable qui rend celle de la fonction la plus grande ou la plus petite. Comme les courbes ne sont que la représentation ou le tableau de toutes les valeurs de la fonction de l’abscisse, représentée par l’ordonnée, il est visible que la question de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction donnée d’une variable revient à déterminer la plus grande ou la plus petite ordonnée de la courbe dont cette variable serait l’abscisse et la fonction donnée serait l’ordonnée.

Or l’inspection seule de la courbe suffit pour faire voir que ces ordonnées ne peuvent être que celles qui répondent aux points dont les tangentes seront parallèles à l’axe des abscisses. Si la courbe est convexe à l’axe, l’ordonnée sera alors évidemment un minimum, et, si la courbe est concave, l’ordonnée est un maximum.

Nous avons vu (n^o 7) que la tangente de l’angle que la tangente d’une courbe fait avec l’axe est exprimée en général par $y',$ $y$ étant l’ordonnée que l’on suppose fonction de l’abscisse $x\,;$ donc, pour que cette tangente devienne parallèle à l’axe, il faut que l’on ait $y'=0\,;$ or, si l’on fait $y'=0$ dans les expressions des coordonnées $a$ et $b$ (n^o 9), qui déterminent le lieu du centre du cercle osculateur, on a

$a=x,\quad b=y+{\frac {1}{y''}},$

d’où l’on voit que, si $y''$ est une quantité positive, ce centre tombera au delà de la courbe, qui sera par-conséquent, convexe vers l’axe, et que, si $y''$ est une quantité négative, le même centre tombera en deçà de la courbe, c’est-à-dire du côté de l’axe, et que, par conséquent, la courbe sera alors concave vers l’axe. Donc, la fonction $y$ sera un maximum ou un minimum lorsque sa fonction prime $y'$ sera nulle, et, en particulier, elle sera un minimum lorsque la fonction seconde $y''$ sera en même temps une quantité positive, et un maximum lorsque $y'$ sera une quantité négative c’est en quoi consiste la méthode connue de maximis et minimis.

25. Mais il n’est pas inutile de faire voir comment cette méthode peut se déduire directement de l’analyse des fonctions sans la considération intermédiaire des courbes.

Soit $f(x)$ la fonction de $x$ dont on demande le maximum ou le minimum. Soit $a$ la valeur de $x$ qui répond au maximum ou au minimum il faudra que la valeur de $f(a)$ soit toujours plus grande ou toujours moindre que la valeur de $f(a+i),$ quelle que soit la quantité $i,$ positive ou négative, et quelque petite qu’elle puisse être. Je dis quelque petite que la quantité $i$ puisse être, car une quantité est censée devenir un maximum ou un minimum lorsqu’elle parvient au terme de son accroissement ou de sa diminution, de manière qu’en deçà et au delà de ce terme elle se trouve moindre dans le cas du maximum ou plus grande dans le cas du minimum que dans le même terme. Concevons $x$ à la place de $a\,;$ la condition du maximum sera

$f(x+i)<f(x),\quad {\text{ou}}\quad f(x+i)-f(x)<0,$

et celle du minimum sera

$f(x+i)>f(x),\quad {\text{ou}}\quad f(x+i)-f(x)>0,$

quelque petit que soit $i,$ positif ou négatif.

Développons la fonction $f(x+i)$ en série par nos formules (n^o 40, I^re Partie), et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes ; on aura ainsi

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),$

$j$ étant une quantité renfermée entre les limites $o$ et $i.$ Il faudra donc que l’on ait

$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)<0$ pour le maximum et $>0$ pour le minimum.

Or nous avons déjà vu (n^o 3) que l’on peut prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme $if'(x)$ soit plus grande que celle du terme ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),$ ce qui étant vrai pour une valeur de $i$ aura lieu aussi pour toutes les valeurs de $i$ plus petites. ; donc la quantité

$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)$

deviendra alors positive ou négative, suivant que la quantité $if'(x)$ le sera. Mais celle-ci change de signe avec la quantité $i\,;$ donc il sera, impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins que l’on n’ait $f'(x)=0.$

Prenons maintenant dans le développement de $f(x+i)$ un terme de plus ; nous aurons

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;$

donc, à cause de $f(x)=0,$ il faudra que l’on ait

${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)<0$ pour le maximum et $>0$ pour le minimum.

On peut aussi prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)$ soit plus grande que celle de ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;$ alors la quantité

${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)$

sera positive ou négative, suivant que celle de ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)$ le sera. Donc,

puisque la valeur de $i^{2}$ est toujours positive, il faudra que l’on ait

$f''(x)<0$ pour le maximum et $f''(x)>0$ pour le minimum.

Si l’on fait $f''(x)=0,$ alors, reprenant le développementde $f(x+i)$ et employant un terme de plus, on aurait

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;$

donc, puisqu’on suppose $f'(x)=0$ et $f''(x)=0,$ on aurait pour le maximum la condition

${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)<0,$

et pour le minimum la condition opposée. Or on peut prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)$ surpasse celle du terme ${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;$ alors la valeur de

${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)$

sera positive ou négative, suivant celle de ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x).$ Mais celle-ci change de signe avec la quantité $i$ donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins qu’on n’ait $f'''(x)=0.$

Employons encore le terme suivant dans le développement de $f(x+i)\,;$ on aura

$f(x+i)=$

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j),$

et les conditions du minimum ou du maximum deviendront

${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j)<0$ ou $>0,$

à cause de $f'(x)=0,\ f''(x)=0$ et $f'''(x)=0.$ On prouvera ici, comme

plus haut, que l’on pourra prendre $i$ assez petit pour que le terme affecté de $i^{4},$ pris absolument, c’est-à-dire abstraction faite du signe, devienne plus grand que l’autre terme affecté de $i^{5},$ et que, par conséquent, la somme des deux termes soit nécessairement positive ou négative, selon que le terme ${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)$ le sera. D’où il est aisé de conclure, à cause que il est toujours une quantité positive, qu’il faudra que l’on ait

$f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)>0$ pour le minimum,

et ainsi de suite.

26. Donc, en général, si $y$ est une fonction quelconque de $x,$ on aura d’abord, pour le maximum ou le minimum, la condition $y'=0,$ laquelle donnera la valeur de $x,$ ensuite $y''<0$ ou $>0,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus (n^o 24). Mais nous venons de trouver de plus que, si $y''=0,$ il faudra que l’on ait aussi en même temps $y'''=0,$ ensuite

$y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>0$ pour le minimum ;

et ainsi de suite. En général, si une fonction dérivée d’un ordre quelconque pair disparaît, il faudra que la fonction de l’ordre impair suivant disparaisse aussi, et que la suivante de l’ordre pair soit négative pour le maximum et positive pour le minimum.

Si la fonction $y$ n’est donnée que par une équation

$\operatorname {F} (x,y)=0,$

il n’y aura qu’à prendre l’équation prime

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$

et faire $y'=0,$ ce qui la réduira à celle-ci,

$\operatorname {F} '(x)=0,$

laquelle, combinée avec $\operatorname {F} (x,y)=0,$ servira à déterminer les valeurs

de $x$ et $y$ répondant au maximum ou au minimum. Ensuite on prendra l’équation seconde, et, faisant de même $y'=0,$ on aura la valeur de $y'',$ dans laquelle on substituera les valeurs trouvées de $x$ et $y,$ et l’on pourra juger, par cette valeur, du maximum ou du minimum ; et ainsi de suite.

Si la fonction $y''$ ou $f''(x)$ devenait infinie, c’est-à-dire si ${\frac {1}{y''}}=0,$ ce serait une marque que le développement de $f(x+i)$ contiendrait, pour la valeur trouvée de $x,$ un terme de la forme $\mathrm {A} i^{m},$ $m$ étant entre $1$ et $2$ (n^o 30, I^re Partie) ; et, en considérant la courbe de l’équation $y=f(x),$ on pourrait connaître, par la forme de son cours dans le point donné, si la fonction $y$ est un maximum ou un minimum (n^o 24). On pourrait même donner pour cela des règles générales, mais qui nous écarteraient trop de notre objet.

Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples des règles précédentes pour la détermination des maxima et minima ; comme elles s’accordent en tout avec celles que l’on connaît d’après le Calcul différentiel, on pourra en faire les mêmes applications. Il n’y aura qu’à changer les symboles

$y',y'',y''',\ldots \quad {\text{en}}\quad {\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad \ldots .$