CHAPITRE V.
Des plus grandies et des moindres valeurs des fonctions d’une variable.
24. Il y a un genre de questions qui, quoique indépendantes de la considération des tangentes, peuvent néanmoins s’y rapporter : ce sont celles qu’on appelle de maximis et minimis, et qui consistent à trouver, pour une fonction donnée d’une variable, la valeur de cette variable qui rend celle de la fonction la plus grande ou la plus petite. Comme les courbes ne sont que la représentation ou le tableau de toutes les valeurs de la fonction de l’abscisse, représentée par l’ordonnée, il est visible que la question de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction donnée d’une variable revient à déterminer la plus grande ou la plus petite ordonnée de la courbe dont cette variable serait l’abscisse et la fonction donnée serait l’ordonnée.
Or l’inspection seule de la courbe suffit pour faire voir que ces ordonnées ne peuvent être que celles qui répondent aux points dont les tangentes seront parallèles à l’axe des abscisses. Si la courbe est convexe à l’axe, l’ordonnée sera alors évidemment un minimum, et, si la courbe est concave, l’ordonnée est un maximum.
Nous avons vu (no 7) que la tangente de l’angle que la tangente d’une courbe fait avec l’axe est exprimée en général par
étant l’ordonnée que l’on suppose fonction de l’abscisse
donc, pour que cette tangente devienne parallèle à l’axe, il faut que l’on ait
or, si l’on fait
dans les expressions des coordonnées
et
(no 9), qui déterminent le lieu du centre du cercle osculateur, on a
![{\displaystyle a=x,\quad b=y+{\frac {1}{y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae57631db173e9b7fb3a4d9dc310e9e05530f25)
d’où l’on voit que, si
![{\displaystyle y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62)
est une quantité positive, ce centre tombera au delà de la courbe, qui sera par-conséquent, convexe vers l’axe, et que, si
![{\displaystyle y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62)
est une quantité négative, le même centre tombera en deçà de la courbe, c’est-à-dire du côté de l’axe, et que, par conséquent, la courbe sera alors concave vers l’axe. Donc, la fonction
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
sera un maximum ou un minimum lorsque sa fonction prime
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
sera nulle, et, en particulier, elle sera un minimum lorsque la fonction seconde
![{\displaystyle y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62)
sera en même temps une quantité positive, et un maximum lorsque
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
sera une quantité négative c’est en quoi consiste la méthode connue de
maximis et minimis.
25. Mais il n’est pas inutile de faire voir comment cette méthode peut se déduire directement de l’analyse des fonctions sans la considération intermédiaire des courbes.
Soit
la fonction de
dont on demande le maximum ou le minimum. Soit
la valeur de
qui répond au maximum ou au minimum il faudra que la valeur de
soit toujours plus grande ou toujours moindre que la valeur de
quelle que soit la quantité
positive ou négative, et quelque petite qu’elle puisse être. Je dis quelque petite que la quantité
puisse être, car une quantité est censée devenir un maximum ou un minimum lorsqu’elle parvient au terme de son accroissement ou de sa diminution, de manière qu’en deçà et au delà de ce terme elle se trouve moindre dans le cas du maximum ou plus grande dans le cas du minimum que dans le même terme. Concevons
à la place de
la condition du maximum sera
![{\displaystyle f(x+i)<f(x),\quad {\text{ou}}\quad f(x+i)-f(x)<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8025075d5cae5eae6263cb13bf617c132bfcbd5)
et celle du minimum sera
![{\displaystyle f(x+i)>f(x),\quad {\text{ou}}\quad f(x+i)-f(x)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dbf1a2c8a5dde7541e0631e31af20efe24b66f)
quelque petit que soit
positif ou négatif.
Développons la fonction
en série par nos formules (no 40, Ire Partie), et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes ; on aura ainsi
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5a2000e37691ab216a2239bb73c5b686196a07)
étant une quantité renfermée entre les limites
et
Il faudra donc que l’on ait
![{\displaystyle if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e8ffc528ce401f915b0cd1060cc6ba1939e745)
pour le maximum et
![{\displaystyle >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b590bbbcf66fd5a62c56490804db67a445a6548b)
pour le minimum.
Or nous avons déjà vu (no 3) que l’on peut prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
soit plus grande que celle du terme
ce qui étant vrai pour une valeur de
aura lieu aussi pour toutes les valeurs de
plus petites. ; donc la quantité
![{\displaystyle if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3721077a06a5d6ede1a9b1c91a14bf7939b468)
deviendra alors positive ou négative, suivant que la quantité
le sera. Mais celle-ci change de signe avec la quantité
donc il sera, impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins que l’on n’ait ![{\displaystyle f'(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3a2661a8ffede654304a2191880f90fe59a8fd)
Prenons maintenant dans le développement de
un terme de plus ; nous aurons
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301911e6fe6f60ccecfcd6cc5aba7cde4f39ab39)
donc, à cause de
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2e3f951f887a5a24cd0999688d3811a64bf44d)
pour le maximum et
![{\displaystyle >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b590bbbcf66fd5a62c56490804db67a445a6548b)
pour le minimum.
On peut aussi prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
soit plus grande que celle de
alors la quantité
![{\displaystyle {\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11e12bd44be27acf5b8972c8d004b278a4a853a)
sera positive ou négative, suivant que celle de
le sera. Donc,
puisque la valeur de
![{\displaystyle i^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbdba3a6ca89c9c3e3eeb0cc8a7c6e3f2a0d822)
est toujours positive, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f''(x)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afc130bd9e57a213dbbd456b8ac44cc2b80f03)
pour le maximum et
![{\displaystyle f''(x)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242d6e86d1b65eddd578b3a58f08635e32361cf)
pour le minimum.
Si l’on fait
alors, reprenant le développementde
et employant un terme de plus, on aurait
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee504267149cae8aa477da313d1c0040b1d4a1b2)
donc, puisqu’on suppose
et
on aurait pour le maximum la condition
![{\displaystyle {\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33620856040c3c915da6da3e7c25fed16d87c1c)
et pour le minimum la condition opposée. Or on peut prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
surpasse celle du terme
alors la valeur de
![{\displaystyle {\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b082f360245f66766fadfee908f9db609347c4b)
sera positive ou négative, suivant celle de
Mais celle-ci change de signe avec la quantité
donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins qu’on n’ait ![{\displaystyle f'''(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94db3ca885666a654a78db864bd389d37d9b1a5c)
Employons encore le terme suivant dans le développement de
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f4a8aa6fe25e1804f9d0f381ad65a09db3ae40)
![{\displaystyle f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e694f8423b139c33836a6c92d008431a9396998)
et les conditions du minimum ou du maximum deviendront
![{\displaystyle {\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56da4c64af4938b7647ee428e38e3377dfa1bf5)
ou
![{\displaystyle >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5450e50f536f1929be473a57bf7f1203b68a00e)
à cause de
et
On prouvera ici, comme
plus haut, que l’on pourra prendre
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
assez petit pour que le terme affecté de
![{\displaystyle i^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d69e9e5099b2e22a8963d7a723eea1ddbba7a6)
pris absolument, c’est-à-dire abstraction faite du signe, devienne plus grand que l’autre terme affecté de
![{\displaystyle i^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151f947011aecf2fe77065c2ede51d28f144cf12)
et que, par conséquent, la somme des deux termes soit nécessairement positive ou négative, selon que le terme
![{\displaystyle {\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6954bd229192602eb8e0d964417a7aa62c2c860)
le sera. D’où il est aisé de conclure, à cause que il est toujours une quantité positive, qu’il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ef7e73c9e28dcc8bb96f122818250e6c4f321b)
pour le maximum
![{\displaystyle \quad {\text{et}}\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42231f8ac065824a744f4d25d8bccaea8caa406a)
pour le minimum,
et ainsi de suite.
26. Donc, en général, si
est une fonction quelconque de
on aura d’abord, pour le maximum ou le minimum, la condition
laquelle donnera la valeur de
ensuite
ou
ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus (no 24). Mais nous venons de trouver de plus que, si
il faudra que l’on ait aussi en même temps
ensuite
![{\displaystyle y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2faefe269603309b22b8ba8458395c1b06185661)
pour le maximum
![{\displaystyle \quad {\text{et}}\quad y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234ebc8cdff9bb73e24063f7a06ee96ccc8056a7)
pour le minimum ;
et ainsi de suite. En général, si une fonction dérivée d’un ordre quelconque pair disparaît, il faudra que la fonction de l’ordre impair suivant disparaisse aussi, et que la suivante de l’ordre pair soit négative pour le maximum et positive pour le minimum.
Si la fonction
n’est donnée que par une équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a0609194014788bcc4fd48e4584a51d78a4384)
il n’y aura qu’à prendre l’équation prime
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07b4754b3166bcf0c1d743809bde7f2f514b8d5)
et faire
ce qui la réduira à celle-ci,
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50c76b4e97d77001d4eb310eb79632b10f29196)
laquelle, combinée avec
servira à déterminer les valeurs
de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
répondant au maximum ou au minimum. Ensuite on prendra l’équation seconde, et, faisant de même
![{\displaystyle y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8c2cd6b1a4a4ff795ba54e876e15a794dcdc72)
on aura la valeur de
![{\displaystyle y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8172ec5a6b1f8aa18ec8442dac39d61552a70d22)
dans laquelle on substituera les valeurs trouvées de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
et l’on pourra juger, par cette valeur, du maximum ou du minimum ; et ainsi de suite.
Si la fonction
ou
devenait infinie, c’est-à-dire si
ce serait une marque que le développement de
contiendrait, pour la valeur trouvée de
un terme de la forme
étant entre
et
(no 30, Ire Partie) ; et, en considérant la courbe de l’équation
on pourrait connaître, par la forme de son cours dans le point donné, si la fonction
est un maximum ou un minimum (no 24). On pourrait même donner pour cela des règles générales, mais qui nous écarteraient trop de notre objet.
Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples des règles précédentes pour la détermination des maxima et minima ; comme elles s’accordent en tout avec celles que l’on connaît d’après le Calcul différentiel, on pourra en faire les mêmes applications. Il n’y aura qu’à changer les symboles
![{\displaystyle y',y'',y''',\ldots \quad {\text{en}}\quad {\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c18dffaffacc5a03773290d870bc5ce3e6791f6)