CHAPITRE IV.
De la question où il s’agit de trouver la résistance que le milieu doit opposer pour que le projectile décrive une courbe donnée. Analyse de la solution que Newton a donnée de ce problème dans la première édition de ses « Principes ». Source de l’erreur de cette solution. Distinction entre la méthode des séries et celle des fonctions dérivées, ou du calcul différentiel.
17. Pour montrer l’usage des formules que nous venons de donner, supposons qu’on demande la résistance du milieu en vertu de laquelle un corps pesant lancé dans ce milieu décrirait une courbe donnée. On regardera la résistance comme une force retardatrice qui agit dans la direction même du corps, c’est-à-dire dans celle de la tangente de la courbe ; ainsi, en nommant
la résistance, c’est-à-dire l’action du milieu résistant sur la surface du corps, divisée par la masse même du corps, on aura
pour les forces accélératrices qui en résultent suivant les directions des axes des
les angles
étant ceux de la tangente avec ces axes. De plus, si l’on nomme
la force accélératrice de la gravité, et qu’on prenne les coordonnées
verticales et dirigées de bas en haut, on aura
pour la force accélératrice provenant de la gravité suivant les coordonnées
Donc les équations du mouvement seront
![{\displaystyle x''=-r\cos \alpha ,\quad y''=-g-r\cos \beta ,\quad z''=-r\cos \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cea8c4e55a47ca82d01c2301bd4a960cd8f1)
Substituant pour
leurs valeurs
(no 11), où
vitesse du corps, est
on aura celle-ci :
![{\displaystyle x''=-{\frac {rx'}{u}},\quad y''=-g-{\frac {ry'}{u}},\quad z''=-{\frac {rz'}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4b97d0344d996836db711be1d098099fd6fee7)
La première et la dernière donnent
![{\displaystyle {\frac {x''}{x'}}={\frac {z''}{z'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b75ece71fa24af04436768e4b465ae2aa442e1)
d’où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,
![{\displaystyle z=mx+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8343b938682ff45149c59150b9e423aa5ca75152)
et
étant des constantes arbitraires. Cette équation, étant celle d’un plan vertical, fait voir que la courbe est nécessairement toute dans ce blan ainsi, en prenant l’axe des
dans ce même plan, on aura
et
et les équations de la courbe se réduiront aux deux premières. Mais, comme dans ces équations les variables
sont supposées fonctions du temps, et que pour avoir l’équation de la courbe on doit regarder
comme fonction de
il faudra chercher ses fonctions dérivées dans cette hypothèse par les formules du numéro précédent.
Supposons, pour abréger,
on aura
![{\displaystyle x''=-qx',\quad y''=-g-qy'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e96c127eb9bcd44ce9d8b7e10e29c236cc35e18)
substituant ces valeurs dans l’expression de
du no 16, on aura
![{\displaystyle (y'')=-{\frac {g}{x'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b24bb72c09c60ae3ec0e87ba0314dd4f29d9dd)
ainsi la valeur de
dépend de
Or on a, par le même numéro,
![{\displaystyle (y''')={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {y'x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3(y'')x''}{x'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0113dde09e9d2d7f577c2c18ce6ea7d6d9d62f6)
mais, connaissant les valeurs de
et
il n’y aura qu’à prendre leurs fonctions primes pour avoir celles de
et
et l’on trouvera, en désignant par
la fonction prime de ![{\displaystyle q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'''=&-qx''-q'x'=\left(q^{2}-q'\right)x',\\y'''=&-qy''\,-q'y'=qg+\left(q^{2}-q'\right)y'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d5864e549469d7b36d8f15c5b9175fd69732b1)
Par ces substitutions, les deux premiers termes de la valeur de
![{\displaystyle (y''')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079337b5675de8e397c069589fdd1a0499224a0b)
donneront
![{\displaystyle {\frac {qg}{x'^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871044bc3dafcc55e38e811c6aed5f3c189cc311)
et le terme
![{\displaystyle -{\frac {3(y'')x''}{x'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d40a5e57102469def82873fc348b04042e81fc9)
donnera
![{\displaystyle {\frac {-3qg}{x'^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc4cd913292cf9cb45a657d6997aa408169255a)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle (y''')=-{\frac {2qg}{x'^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ed1441acdb77dbf5f16fe765b150874e075eea)
Or,
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
étant
![{\displaystyle ={\frac {r}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f885a9321d439c57bcd3c229bc06384ad43a7b)
on fera cette substitution, et l’on en chassera
![{\displaystyle x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2)
et
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
au moyen des équations
![{\displaystyle (y')={\frac {y'}{x'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5a94cf665419dba3259ea88dbf8d1faca583ee)
et
![{\displaystyle (y'')=-{\frac {g}{x'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584ad74c2306a8aa4db761c021aa43c53a74d860)
lesquelles donneront
![{\displaystyle x'^{3}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=x'^{4}{\sqrt {1+(y')^{2}}}={\frac {g^{2}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{(y'')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406d5e96c7ff0218094baac8224bd0824f641172)
on aura ainsi
![{\displaystyle (y''')=-{\frac {2r(y'')^{2}}{g{\sqrt {1+(y')^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b223b3e96026b22a6cbd771820bc5d4fe32e06cf)
Comme les fonctions dérivées
se rapportent maintenant à la variable
nous pouvons les représenter simplement par
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{2y''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0f95c8a4280377b726cbc8ed473ba9d966f2bd)
Or, la courbe étant donnée, on a
en fonction de
de là on tirera les fonctions dérivées
et la formule précédente donnera, pour chaque point de la courbe, le rapport de la résistance à la gravité.
La vitesse
sera
![{\displaystyle u={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=x'{\sqrt {1+(y')^{2}}}={\frac {{\sqrt {g}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{\sqrt {-(y'')}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04efe2d4b4babf8a4498352c04d6ca5d593f2688)
c’est-à-dire, en changeant
en ![{\displaystyle y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aad40b1beb229f0301be9a583679828dd1429e)
![{\displaystyle u={\frac {{\sqrt {g}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\sqrt {-y''}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6c434987ffba042c5a08ca94d630cbb7833d45)
Pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il faudra changer
en
et
en
en prenant
constant, parce que ces fonctions dérivées sont ici relatives à la variable
Si l’on suppose la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité du milieu, alors, nommant
cette densité dans un lieu quelconque, on aura
![{\displaystyle r=mu^{2}\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a2885b711e9c9efbad73066bdbeeb1b8880b8)
étant un coefficient constant ; donc, substituant la valeur de ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle r={\frac {mg\left(1+y'^{2}\right)\Delta }{-y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077048e5481daa7a20adcca22aae411c8adf49cb)
et, mettant cette valeur dans l’équation ci-dessus, elle deviendra
![{\displaystyle m\Delta ={\frac {y'''}{2y''{\sqrt {1+y'^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9637fa0b253350fbb76c00afdc4b77a58f91d74d)
par où l’on déterminera la densité du milieu nécessaire pour faire décrire la courbe donnée. Réciproquement, cette équation servira à déterminer la courbe lorsque la densité du milieu sera donnée.
Pour les projectiles lancés dans l’air, on peut supposer la densité du milieu constante ; ainsi, faisant, pour plus de simplicité,
l’équation de la courbe sera
![{\displaystyle {\frac {y'''}{y''}}=k{\sqrt {1+y'^{2}}}=ks',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134edf6532c1b33899e925d93f381206033febe3)
étant l’arc de la courbe, d’où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,
![{\displaystyle y=\mathrm {A} e^{ks},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8574c1852664783b599252cd91b69f35d21dddd8)
étant une constante arbitraire c’est la forme la plus simple sous laquelle puisse être mise l’équation de cette courbe. On peut tirer de ces équations les différentes, approximations qui ont été données jusqu’ici pour la détermination de la courbe décrite par les boulets et les bombes ; mais les bornes de cét écrit nous empêchent d’entrer dans aucun détail sur ce sujet.
18. Nous remarquerons encore qu’on aurait pu déduire tout de suite l’équation de la courbe des équations du mouvement,
![{\displaystyle x''=-{\frac {rx'}{s'}},\quad y''=-g-{\frac {ry'}{s'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf6febd5577d1fef83d1e4d2d1816872ca9cd4)
par l’élimination immédiate du temps
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
En effet,
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
étant fonctions de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on peut réciproquement regarder
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
comme fonctions de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
et, par la règle donnée dans le
no 50 de la première Partie, si l’on regarde, en général,
![{\displaystyle x,y,t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a04fe169d6625eedb4e4db82339863f01f5ef9)
comme fonctions d’une autre variable quelconque
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
il faudra substituer
![{\displaystyle {\frac {x'}{t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49d14ecefdba34bd8977605d4e8e7b6e2538b7d)
et
![{\displaystyle {\frac {y'}{t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd737e87ab512a2c789a47f71429d06d014f824)
à la place de
![{\displaystyle x',y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534a5a0e8e134e5ba7fe77411c829b4e81e34717)
et
![{\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {x'}{t'}}\right)'}{t'}},{\frac {\left({\cfrac {y'}{t'}}\right)'}{t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5194d9f379db4b5a8cf0dc44374936f4ab8052)
à la place de
![{\displaystyle x'',y''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091d24b218bcaef0eaf9f959a8f5a77d3577f8b7)
mais, en prenant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
pour variable principale à la place de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on fera
![{\displaystyle x'=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e17185e34e39d12d0e2b194062a3210644cb51)
et l’on aura à substituer
![{\displaystyle {\frac {1}{t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090c06645331d84cd92014980d4031fccca2bf24)
et
![{\displaystyle {\frac {y'}{t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd737e87ab512a2c789a47f71429d06d014f824)
à la place de
![{\displaystyle x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2)
et
![{\displaystyle y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aad40b1beb229f0301be9a583679828dd1429e)
et
![{\displaystyle -{\frac {t''}{t'^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b6c719cbe81eda4d28c415fa9a5201573a931f)
et
![{\displaystyle {\frac {y''}{t'^{2}}}-{\frac {y't''}{t'^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8570ae644ff077414c2a6c08c9a25146d837314)
à la place de
![{\displaystyle x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30)
et
Les deux équations deviendront donc, à cause de
![{\displaystyle -{\frac {t''}{t'^{3}}}=-{\frac {r}{\sqrt {1+y'^{2}}}},\quad {\frac {y''}{t'^{2}}}-{\frac {y't''}{t'^{3}}}=-g-{\frac {ry'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca955af2d7eba7be8d6277b667dd115713a2b4bc)
d’où il faudra éliminer la fonction
Substituant, dans la seconde équation, la valeur de
tirée de la première, elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {y''}{t'^{2}}}=-g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c74bfb1383172e26dcb8ac0543dc89eafb1941)
divisant par
et prenant de part et d’autre les fonctions primes, on aura
![{\displaystyle -{\frac {2t''}{t'^{3}}}={\frac {gy'''}{y''^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7692506261ce5a771d7f56ca4f9ebb9a567f7a7c)
valeur qui, étant substituée dans la première équation, donnera, comme plus haut,
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258c5a48f481256856d9af6bdd0eb6401a2beeba)
À l’égard de la vitesse
elle deviendra
et, comme on vient de trouver
la vitesse deviendra
comme ci-dessus.
Si la force de la gravité
était variable, alors la valeur de
que l’on vient de trouver ne serait plus exacte, car, en prenant les fonctions primes de l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{t'^{2}}}=-{\frac {g}{y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543e961a8d235164765ea5dd8c1a1cda56062f51)
on aurait
![{\displaystyle -{\frac {2t''}{t'^{3}}}={\frac {gy'''}{y''^{2}}}-{\frac {g'}{y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292433ecc4e95bc69a973ab15efa71450df3c572)
et la substitution de cette valeur donnerait
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}}+{\frac {g'{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2gy''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec38595a555aa1ecb5cc24e69195194d4a75705c)
Cette manière d’éliminer le temps dans les équations du mouvement, pour avoir l’équation de la courbe décrite, est analogue à celle qu’on emploie dans le Calcul différentiel ; mais l’analyse du no 16, fondée sur le développement des fonctions, est, à certains égards, plus directe ; elle nous sera d’ailleurs utile pour découvrir, comme nous l’avons annoncé au commencement de cet écrit, la véritable source de la méprise où Ne\varthetaon est tombé dans la première édition des Principes, en résolvant le problème dont nous venons de nous occuper.
Quoiqu’il puisse paraître peu important de découvrir en quoi et comment Newton a pu se tromper dans une solution qu’il a ensuite lui-même abandonnée, néanmoins, comme tout ce qui a rapport à l’invention et aux premiers développements de l’Analyse infinitésimale mérite l’attention de ceux qui s’intéressent à l’histoire des sciences, j’ai cru que l’on me saurait gré de discuter de nouveau ce sujet, comme un point qui n’a pas été assez éclairci, parce qu’il tient à une distinction subtile entre la méthode différentielle et la méthode des séries, que Newton a employée dans sa première solution (liv. II, prop. X).
19. Voici la construction qui sert de fondement à cette solution. Le mobile étant parvenu à un point quelconque de la courbe, sans la résistance et la gravité il décrirait, dans un temps donné très-petit, une partie très-petite de la tangente que nous désignerons par
soient
le petit espace que la gravité lui ferait décrire dans le même temps perpendiculairement à l’horizon, et
le petit espace dont la résistance diminue l’espace
parcouru sur la tangente ; il est clair que le rapport de
à
sera celui de la résistance à la gravité. Ainsi le corps, dans le temps qu’il aurait parcouru sur la tangente l’espace
serait descendu verticalement de la quantité
par conséquent,
sera la flèche de l’arc
Maintenant, si l’on considère le corps comme partant du même point et rebroussant chemin pour décrire en sens contraire le même arc de courbe qu’il a parcouru, il faudra regarder la résistance comme négative, et par conséquent comme une force qui accélère le mouvement au lieu de le retarder : Le mobile décrira ainsi, dans le même temps très-petit, l’espace
sur la même tangente dans une direction contraire, et descendra verticalement par le même espace
en vertu de la gravité. Par conséquent,
sera la flèche de l’arc
pris de l’autre côté du point de la courbe dont il s’agit. Or les flèches étant, pour les arcs infiniment petits, comme les carrés des arcs ou des tangentes, la flèche de la portion
de l’arc
sera
donc la différence des flèches pour les arcs égaux
pris de part et d’autre du point donné de la courbe, sera
![{\displaystyle \gamma \left[1-{\frac {(\alpha -\rho )^{2}}{(\alpha +\rho )^{2}}}\right]={\frac {4\alpha \gamma \rho }{(\alpha +\rho )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74988ea13a4d334c22a425188b7b2dc1a46dd2fa)
Nommons cette différence
on aura
![{\displaystyle {\frac {4\alpha \gamma \rho }{(\alpha +\rho )^{2}}}=\delta \quad {\text{et}}\quad {\frac {\rho }{\gamma }}={\frac {\delta (\alpha +\rho )^{2}}{4\alpha \gamma ^{2}}}={\frac {\delta \alpha }{4\gamma ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5277a094d59f5195979291905489df43409c0bc8)
à cause que la petite ligne
parcourue d’un mouvement uniformément accéléré, est infiniment plus petite que la ligne
parcourue dans le même temps d’un mouvement uniforme.
Tel est le raisonnement de Newton, présenté de la manière la plus claire, et le résultat que nous venons de trouver s’accorde avec celui du corollaire II du problème cité, où il est visible que les lignes
et
sont ce que nous avons nommé
et
et que la différence
est ce que nous avons nommé
Maintenant, en prenant les abscisses
horizontales et les ordonnées
verticales et dirigées de bas en haut, Newton suppose que, pour l’abscisse
l’ordonnée exprimée en série est
![{\displaystyle y+\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b935a41f6de0b06d70c26e37c2b01c0906b8f88)
et il remarque que la partie de la tangente qui répond à la partie
de l’axe est
et que la flèche, c’est-à-dire la partie de l’ordonnées comprise entre la courbe et la tangente, est
En faisant
négatif, on aura la flèche qui répond à la même partie de la tangente, prise de l’autre côté du point de contact, et qui sera, par conséquent,
et la différence des deux flèches sera
Or il est visible que les quantités
et
répondent à celles que nous avons nommées
et
donc la quantité
qui exprime le rapport de la résistance à la gravité, deviendra, en divisant le haut et le bas par ![{\displaystyle o^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2323beae8a6a27a342007ff10af5b7a539fad32)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2(\mathrm {R+S} o)^{2}}}=\mathrm {\frac {S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04beef1ad9f2b2fe0860e007915686efe8d688c1)
la quantité infiniment petite
s’évanouissant à côté de la quantité
C’est aussi le résultat trouvé par Newton dans l’exemple premier du même problème.
Suivant notre notation, lorsque
devient
devient
![{\displaystyle y+oy'+{\frac {o^{2}}{2}}y''+{\frac {o^{3}}{2.3}}y'''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f767dfbbc9f7c961e15f510f401eba2db13583b1)
donc, comparant avec la série de Newton, on a
![{\displaystyle \mathrm {Q} =y',\quad \mathrm {R} =-{\frac {y'''}{2}},\quad \mathrm {S} =-{\frac {y'''}{2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844d50fc7c8a3bf91d003ad63a318f2e8512fef)
substituant ces valeurs dans la formule précédente, le rapport de la résistance la gravité deviendra
au lieu que nous l’avons trouvé ci-dessus (no 17)
D’où il suit que la solution de Newton est fautive.
Il est remarquable que, si l’on substitue simplement
ou
pour
on a un résultat exact : c’est ce qui a fait croire aux Bernoulli, qui ont découvert les premiers l’erreur de Newton, et à tous ceux qui en ont parlé depuis, que cette erreur venait de ce que Newton avait pris les termes de la série
pour les différences premières, secondes et troisièmes de l’ordonnée, tandis que ces termes ne sont égaux qu’à ces différences divisées par
Mais il est facile de voir que la solution de Newton est indépendante de la considération de ces différences et que la substitution des termes
de la série dont il s’agit à la place des quantités
et
dans la formule
est légitime ; ainsi l’erreur doit être dans cette formule même, qui donne le rapport de la résistance à la gravité, et ce qui doit le prouver sans réplique, c’est que, si la gravité était variable, la même formule aurait encore lieu, puisque dans les deux mouvements direct et rétrograde le corps est censé descendre verticalement de la même ligne
Ainsi, dans ce cas, on devrait aussi avoir une solution exacte par la substitution de
à la place de
ce qui n’est pas, comme on le voit par la valeur de
que nous avons trouvée pour ce cas dans le numéro précédent.
20. Pour découvrir la source de l’erreur, nous allons réduire la solution de Newton en analyse. En nommant
la vitesse dans un point de la courbe,
est l’espace que le mobile parcourrait dans la tangente pendant le temps
sans la gravité et la résistance. Nommant
la force absolue de la gravité et
celle de la résistance,
et
seront les espaces parcourus en vertu de ces forces, regardées comme constantes pendant le temps
supposé très-petit. Ainsi le corps aura parcouru, suivant la tangente, l’espace
et, suivant l’ordonnée verticale
l’espace
lequel représente la flèche qui répond à la tangente
Supposons maintenant, comme Newton, que le mobile rebrousse chemin avec la même vitesse
et sur la même tangente, dans le temps
il décrirait l’espace
parce que la résistance doit être prise en sens contraire ; c’est l’espace pris négativement qui répond au temps
et la flèche correspondante serait
et, si l’on veut que les deux espaces décrits de part et d’autre soient égaux, comme Newton le suppose, on aura l’équation
![{\displaystyle u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=u\mathrm {T} +{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce5c55e648d4704630db054b3bdf3e5e720963e)
d’où l’on tire, aux
près,
![{\displaystyle \mathrm {T} =\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9c56632c9a5f53be47b0a9b22e177c11c5980c)
Substituant cette valeur dans la flèche
elle devient
et la différence des deux flèches sera
c’est la quantité que nous avons nommée ci-dessus
D’un autre côté, il est clair qu’on a, suivant les dénominations employées ci-dessus,
![{\displaystyle \alpha =u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}},\quad \gamma ={\frac {g\theta ^{2}}{2}},\quad \rho ={\frac {r\theta ^{2}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df19230185d760e37dd8125833e920a46d7a572)
donc
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}={\frac {\rho }{\gamma }}={\frac {\delta \alpha }{4\gamma ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19d7488d7dd6f06d04b60b4c75e298c87a2d80c)
de là, en faisant
et prenant
pour les deux flèches, ce qui donne
on a
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}={\frac {\rho }{\gamma }}=\mathrm {\frac {S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592f1a38cfb2914eebd2d98226c09b8d018c8a14)
comme Newton l’a trouvé par sa construction.
21. Maintenant il est aisé de voir que ce résultat vient des équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=&o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad &-u\mathrm {T} -{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&-o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\\{\frac {g\theta ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},&{\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1782a8ac125263309043dc5c7494db62de448b4)
ou bien simplement de celles-ci,
![{\displaystyle u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad {\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a6904b3b10592f391d56862e6c040872ae311f)
en prenant
et
positivement et négativement, ce qui revient à vérifier ces équations indépendamment de la valeur de
qui en effet doit demeurer indéterminée, étant supposée très-petite.
La première équation donne, aux termes du troisième ordre près,
et
étant du premier,
![{\displaystyle \theta ={\frac {o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{u}}+{\frac {r\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd4b45b0a48c4cd6c403c895cdb56be4c04d6e9)
Cette valeur étant substituée dans la seconde, on a, au quatrième ordre près,
![{\displaystyle {\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}o^{3}}{2u^{4}}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2815bece1e55d34005bbc1ef251ba78f9a15a030)
et la comparaison des termes homogènes en
donne
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},\quad \mathrm {S} ={\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2u^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f51d54a4622ca52fa1f51792241636410511ccd)
De la première on tire
et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on a le résultat de Newton :
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}={\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2\mathrm {R} ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31afd10348fae036cb0505fd24736dc8e2da51b)
Mais nous devons remarquer que ce dernier résultat, étant tiré de la comparaison des termes affectés de
dans la transformée de l’équation
ne saurait être exact, parce que le premier membre cette équation, qui est l’expression de la flèche en temps, n’est luimême exact qu’aux
près, de sorte qu’à la rigueur il n’y a d’exact que le résultat
tiré de la comparaison des termes du second ordre. Pour avoir de cette manière la valeur exacte de
en la déduisant des termes affectés de
il faudrait que l’expression de la flèche en
fût elle-même exacte jusqu’aux
mais, le terme qui devrait suivre
n’étant pas donné immédiatement par les principes de la Mécanique, on ne peut le trouver que par la loi de la dérivation, de la manière suivante.
22. Puisque, suivant l’hypothèse de Newton (no 19),
croissant de
croît de
et que
et
(numéro précédent),
étant l’accroissement du temps
correspondant à l’accroissement
de l’abscisse
il s’ensuit que,
devenant
devient
![{\displaystyle x+{\frac {u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}\theta -{\frac {r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e062e014a92fd1f0e158a6f45fc77853b47a7b)
et
devient
![{\displaystyle y+{\frac {\mathrm {Q} u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}\theta -\left({\frac {\mathrm {Q} r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}+g\right){\frac {\theta ^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543fc5e38e550ba66804698c1664321422dd4df3)
Or, en rapportant à
les fonctions dérivées
lorsque
devient
et
deviennent en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+x'\theta +&x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\y+y'\theta +&y''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+y'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30eeeae96090a980645b98a57781e9b52faa03b)
donc, comparant avec les formules précédentes, on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'=&{\frac {u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},\qquad &x''=&-{\frac {r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},\\y'=&{\frac {\mathrm {Q} u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},&y''=&-{\frac {\mathrm {Q} r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}-g.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4ba14c230d9a65d94ff4c40b6d9c2a37bfe335)
D’un autre côté, puisque
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
deviennent en même temps
![{\displaystyle x+o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60b2cfc0cf78aad627cd97dec1e90fb23983513)
et
![{\displaystyle y+\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c80c83c5c704669bd6b898736c128341836f49a)
on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots =&y'\,\theta +y''\,{\frac {\theta ^{2}}{2}}+y'''\,{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3682c17a2e3d5ac9ec324e00594bf9601a7bf521)
Donc, comme la flèche est exprimée en général par
son expression en
sera
![{\displaystyle \mathrm {Q} \left(x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)-y'\theta -y''{\frac {\theta ^{2}}{2}}-y'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e904a18adc952671a8d0acc00d713ee3432ff7b8)
ou
![{\displaystyle (\mathrm {Q} x'-y')\theta +(\mathrm {Q} x''-y''){\frac {\theta ^{2}}{2}}+(\mathrm {Q} x'''-y'''){\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a68d2b300c70d38374728299eab878a9f4f0804)
Les deux premiers termes se réduisent à
par la substitution des valeurs de
pour avoir le terme suivant, il n’y aura qu’à chercher les valeurs de
d’après celles de
Or on a
![{\displaystyle y''=\mathrm {Q} x''-g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5df785fa5cb00035f5bb7e9b50e9a65d5865ef)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y'''=\mathrm {Q} x'''+\mathrm {Q} 'x'',\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=-\mathrm {Q} 'x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f24e29943dd5064c8ba7cb9270bdd42d790de)
Pour avoir
je prends l’équation
![{\displaystyle y'=\mathrm {Q} x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c345d79432489726197536533a3bae0074801b8)
qui résulte des valeurs
et
trouvées ci-dessus, d’où l’on tire
![{\displaystyle y''=\mathrm {Q} x''+\mathrm {Q} 'x'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd6a04b0ac077c10b9717f3e269381f61202187)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} '={\frac {y''-\mathrm {Q} x''}{x'}}=-{\frac {g}{x'}},\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=g{\frac {x''}{x'}}=-{\frac {gr}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fff5cf234b32802d8839d74b0a504d6c643d10)
Il résulte de là que l’expression de la flèche, au lieu d’être simplement
sera
Ainsi, au lieu de l’équation
![{\displaystyle {\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f9932107f94a7ee586865a86a40927d4f3928f)
on aura celle-ci,
![{\displaystyle {\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {gr\theta ^{3}}{6u}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1969d2f21f9d7eae59762213851aa35db791e573)
qui est exacte jusqu’aux quantités du troisième ordre. En y substituant la valeur de
du numéro précédent, qui est exacte jusqu’aux quantités du second ordre, on aura, au quatrième ordre près,
![{\displaystyle \mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+\left[{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2u^{4}}}-{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{6u^{4}}}\right]o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fe4b9c28edd99db417016254b2d73660817485)
savoir,
![{\displaystyle \mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}o^{3}}{3u^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ef1df11141a5f7c1a458f0902cd9be44ca8eed)
d’où l’on tire, par la comparaison des termes,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},\quad \mathrm {S} ={\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3u^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4118ad891b5bcdd1c28eb2cfd1698ef14da77b18)
Substituant dans la seconde équation la valeur de
tirée de la première, et qui est la même qu’on avait trouvée plus haut, on en déduira
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=\mathrm {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{4R^{2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b2d978e8498fd257761053fa75cd82e1f1ffc8)
C’est la valeur que Newton a donnée ensuite dans la seconde édition de ses Principes (liv. II, prob. III), et l’on voit qu’en mettant dans cette valeur
à la place de
comme dans le no 19, elle devient
![{\displaystyle -{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046942608bab3baf2f6605665b54fe814e5a9e8f)
telle que nous l’avons trouvée dans le no 17.
23. Si l’on voulait suivre la première marche de Newton, mais en prenant pour la flèche qui répond au temps très-petit
l’expression plus exacte
que nous venons de trouver, on aurait, pour la flèche qui répond au temps
substituant pour
sa valeur en
elle deviendrait
et la différence des deux flèches serait alors
qu’il faudrait prendre pour
les valeurs de
et
seraient également, aux
près,
et l’on aurait, par la substitution,
![{\displaystyle {\frac {\alpha \delta }{4\gamma ^{2}}}={\frac {2r}{3g}}\,;\quad {\text{donc}}\quad {\frac {r}{g}}={\frac {3\alpha \delta }{8\gamma ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d40e302d26e440100ee6c2e6fae2d42a7fddf0d)
Prenant maintenant, comme Newton,
![{\displaystyle \alpha =o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad \gamma =\mathrm {R} o^{2},\quad \delta =2\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbaf2b3683fa85f64135357282730e3f6de7c79)
on aurait le résultat exact
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=\mathrm {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{4R^{2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b2d978e8498fd257761053fa75cd82e1f1ffc8)
Comme Newton n’est parvenu à ce second résultat qu’en suivant une marche analogue à celle du Calcul différentiel et en considérant deux tangentes successives ou deux côtés successifs de la courbe, au lieu que, dans la première solution, il n’avait considéré qu’une seule tangente prolongée de part et d’autre du point de contact, nous avons cru devoir montrer comment, sans s’écarter de l’esprit de cette solution, mais en la rectifiant par la méthode des séries, on pouvait aussi arriver à un résultat exact. En effet, on peut toujours trouver, par cette méthode, les premiers termes de l’ordonnée en série d’une courbe, ou en général du développement d’une fonction, lesquels satisfassent aux conditions mécaniques ou géométriques du problème proposé, et la loi de ces termes donnera l’équation du problème. C’est en quoi consiste la méthode qu’on peut appeler, d’après Newton, méthode des séries, pour la distinguer de la méthode des différences ou des fonctions dérivées, par laquelle on arrive directement à cette équation sans le circuit des séries et sans employer d’autres termes que ceux qui doivent y entrer, comme on le voit par l’analyse du no 18.
24. Il est à remarquer, au reste, que la construction employée par Newton dans sa seconde solution mène à une formule semblable à celle de la première, que nous avons représentée par
et que nous avons vue n’être pas exacte, mais avec cette différence que la quantité
au lieu d’exprimer, comme dans la première solution, la différence des flèches qui répondent à des portions égales de la même tangente, prises de part et d’autre du point de contact, et dont les parties correspondantes de l’axe des
sont
et
doit exprimer, au contraire, la différence des flèches de deux tangentes consécutives, prises du même côté et répondantes à des parties de l’axe égales à
Pour avoir ces flèches, Newton représente l’ordonnée qui répond à l’abscisse
par la série
![{\displaystyle \mathrm {P} +\mathrm {Q} o+\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b1ed215f765b2389b81ced991bfddbd173fe38)
mais il les détermine par la méthode différentielle, en prenant la différence d’une ordonnée intermédiaire et de la demi-somme des deux ordonnées adjacentes. Ainsi, en considérant les trois, ordonnées qui répondent aux abscisses
il a la flèche
et les ordonnées qui répondent aux abscisses
donnent la flèche
et la différence des deux flèches est
Cette valeur étant prise pour
et faisant, comme dans la première solution (no 19),
on a
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\gamma }}=\mathrm {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{4R^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6868e3e8fac773f82a4ad6b189a3c2b4c57f17cb)
expression exacte, comme on l’a vu plus haut.
Suivant nos dénominations, lorsque
devient
devient
![{\displaystyle y+oy'+{\frac {o^{2}y''}{2}}+{\frac {o^{3}y'''}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a28a43844800ed17c075a0956947309ef03b96)
La partie de la tangente qui répond à
![{\displaystyle o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d)
est
![{\displaystyle o{\sqrt {1+y'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4534da420c2b1e98fcab8ae81543cc672e7d344c)
c’est la valeur de
![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
La partie interceptée entre la tangente et la courbe, ou la flèche, est
![{\displaystyle {\frac {o^{2}y''}{2}}+{\frac {o^{3}y'''}{2.3}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2faac50e0941679c28bf93c4c18922090a99d2)
c’est la valeur de
![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Ainsi l’on a, dans les deux solutions,
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{4\gamma ^{2}}}={\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{o^{3}y''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dfc50187be60f6ea38782ffedd19b763f3bde7)
À l’égard de
dans la première solution, c’est la différence des flèches qui répondent à
et à
laquelle est
mais, dans la seconde solution, c’est la différence des flèches qui répondent à
et à
Or,
devenant
devient
donc, négligeant les
la seconde flèche sera
et la différence des flèches sera
Substituant dans
la première valeur de
ou la seconde
on a les deux résultats
![{\displaystyle {\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{3y''^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377618798de841a43652f870a45ba9d6ccc0eb30)
dont le premier est fautif et le second exact (no 19).