VIII
FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS
31. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour des systèmes de valeurs rationnelles attribuées aux variables : nous les appellerons fonctions d’arguments rationnels.
Une fonction d’arguments rationnels
supposée définie en tous les points rationnels d’un champ
est dite définie dans ce champ. Elfe est dite uniformément continue dans
si, à tout nombre positif
, correspond un nombre positif
tel que, pour deux points rationnels
,
du champ
satisfaisant aux conditions
on a
(2)
|
.
|
|
Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de
si elle est remplie pour toute valeur positive rationnelle attribuée à
.
32. Les fonctions d’arguments rationnels
,
sont uniformément continues dans le champ
![{\displaystyle -\infty <x<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1b15a77c8468b935711e435c81685ac7597c91)
,
![{\displaystyle -\infty <y<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6e29adca6d6a3b554ceacfa41611d8bfe82835)
.
En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici
![{\displaystyle |(x+y)-(x'+y')|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae91271924076404f8b9969a9f0013be17276327)
,
![{\displaystyle |(x-y)-(x'-y')|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c461a5e7b44169444f5e549cb0d8fc0b6e708127)
,
étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux suivantes :
![{\displaystyle |x-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c366d0aff7f1a4c8fb80cae4b10e430bd094d2a3)
,
![{\displaystyle |y-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f9a489d2b810f44a3e4d8615eeaf477505b298)
.
On prendra donc
.
33. La fonction d’arguments rationnels
, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné
![{\displaystyle a\leqslant x\leqslant a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aae5c5820211414306eefa1c7832e513844054)
,
![{\displaystyle b\leqslant y\leqslant b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3101d62cbd0fe02f7aea2bb57b60447c35492f76)
,
étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel
supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres
; on aura, pour tout point du champ
,
(1)
|
, .
|
|
Il s’agit de satisfaire,
étant positif et rationnel, à la condition
(2)
|
,
|
|
qui peut s’écrire
![{\displaystyle |(x-x')y+(y-y')x'|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a4d0cd624134f0d58b3767707acd1b1c493bc2)
.
Cette condition sera vérifiée si l’on vérifie les suivantes :
![{\displaystyle |x-x'|\cdot |y|<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3de68fe21ae5b2f037fe22b7d783e93bad412c)
,
![{\displaystyle |y-y'|\cdot |x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9318879c666885b5a8eb2dcf4174842c486c27e1)
,
que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par
![{\displaystyle |x-x'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f009d335f35bee97538ff218f2c519198cc9a76)
,
![{\displaystyle |y-y'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531e48949308cb95ba445ff908c34d983a2b7466)
.
On satisfait donc à (2) en prenant
.
34. La fonction
est définie en tout point rationnel pour lequel
. Si donc on considère le champ borné
![{\displaystyle a\leqslant x\leqslant a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aae5c5820211414306eefa1c7832e513844054)
,
![{\displaystyle b\leqslant y\leqslant b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3101d62cbd0fe02f7aea2bb57b60447c35492f76)
,
pour que
soit définie dans ce champ, il faut et il suffit que
et
soient deux nombres différents de 0 et de même signe.
Cette condition étant supposée remplie, je dis que
est uniformément continue dans le champ
.
Prenons un nombre positif rationnel
supérieur aux valeurs absolues de
,
, et un nombre positif rationnel
inférieur aux valeurs absolues de
et
; on aura, pour tout point du champ
,
![{\displaystyle |x|<\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c245c386f4d9e217d75aff785b7899732ef21c)
,
![{\displaystyle \mu <|y|<\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2369e20d6eb77b14b939e422baf0472d2563f4)
.
Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
![{\displaystyle \left\vert {\frac {x}{y}}-{\frac {x'}{y'}}\right\vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aecf691ccb8743de0366e8c2a0b7badaa46179)
,
qui se transforme en
![{\displaystyle {\frac {|xy'-x'y|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854ae2c15c0ed94cc267f0a4db974bd3a0357c58)
,
ou
![{\displaystyle {\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66471acbbd508aeb42ba2fc0196dfabe348b058b)
.
Nous remplaçons cette inégalité par la suivante :
![{\displaystyle {\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{\mu ^{2}}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0888bf0766550abf772d8954560aa3fa118564e)
,
et cette dernière par les deux suivantes :
![{\displaystyle {\frac {|x-x'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888ccf1e16853c2bca4d1e4d66ab1f7ed11343ca)
,
![{\displaystyle {\frac {|y-y'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a7fb8f68dffa570b8a0b4c582569a3a93fdd04)
.
La question sera donc résolue en prenant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {\varepsilon \mu ^{2}}{2\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f155ff73322176335ea9815473097d1de8ab7c2b)
.