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Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section IX

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IX

PRINCIPE D’EXTENSION

35. Soit une fonction d’un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas, d’après les § 32, 33, 34, pour , , , ). Un point , rationnel ou non, peut avoir la propriété d’être intérieur à un champ dans lequel est définie. [Cette condition est remplie par tout point dans le cas des fonctions , ,  ; par tout point pour lequel , dans le cas de ]. Nous allons définir une fonction qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à en tout point rationnel où est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.

Soit un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné auquel est intérieur, et tel que est définie et uniformément continue dans .

On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers , soit,

(1)

.

Du fait que est intérieur au champ résulte que, quand dépasse une certaine valeur, le point appartient au champ  ; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).

1o Je dis que la suite de nombres

(2)

a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à correspond tel que, pour deux points rationnels du champ  : , les conditions

(3)

,,

entraînent

(4)

.

On a

,,

Appliquant le Théorème I (1o) (§ 23) aux suites (en nombre fini) , on voit qu’à correspond un entier , tel que, pour , , on a

,,

et par suite, d’après (4),

.

D’après le Théorème I (2o), comme est arbitraire, cela signifie que a une limite .

2o Je dis que la limite n’est pas changée si on remplace la suite de points (1) par une autre suite de points rationnels du champ tendant aussi vers , soit

.

En effet, d’après le Théorème II (1o) (§ 24), des conditions

on déduit que, quand dépasse une certaine valeur , on a

,,

et par suite

.

D’après le Théorème II (2o), cela signifie que tend vers la même limite que , c’est-à-dire vers .

Ainsi ne dépend que de .

3o Quand est un point rationnel, on a . Il suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont identiques à  ; la limite de (2) est alors .

On reconnaît ainsi qu’une fonction devant remplir les conditions imposées à doit nécessairement, au point , avoir pour valeur . Nous poserons donc .

Je dis que a la propriété suivante :

4o  et ayant la même signification que plus haut, pour deux points quelconques du champ , les conditions

(5)

,,

entraînent

(6)

.

Si , prenons une suite de nombres rationnels compris entre et et tendant vers  ; prenons de même une suite de nombres rationnels compris entre et et tendant vers . Si , prenons une suite de nombres rationnels tendant vers et tous contenus dans l’intervalle de variation de relatif au champ  ; prenons . On a ainsi dans tous les cas

.

En opérant de même pour chacune des autres variables , on obtient deux suites de points rationnels appartenant au champ  :

ayant respectivement pour limites les points et , et tels que
,,….

On a donc, quel que soit ,

.

D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre , c’est-à-dire . Donc

(6)

.

Cela étant, la fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques

ayant pour limite le point . Supposons définie en tous ces points. Prenons un champ auquel soit intérieur. Soit  ; déterminons de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand dépasse une certaine valeur , le point est intérieur à , et d’autre part on a

,,…,

d’où, par suite,

.

ce qui montre que a pour limite .

On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction est la fonction étendue, et le procédé qui permet, en partant de de définir , sera appelé principe d’extension.


36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels : , , , est uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie, le principe d’extension est applicable à ces fonctions, et donne naissance à des fonctions d’arguments quelconques, que nous désignerons encore par , , , et que nous appellerons somme, différence, produit, quotient ; les trois premières sont définies en tout point , la dernière en tout point pour lequel  ; chacune d’elles est continue dans tout champ où elle se trouve définie. Cette définition est nouvelle pour , ,  ; en ce qui concerne , nous avons déjà défini sous ce nom (Section V) une certaine fonction qui se réduit, quand et sont rationnels, à la différence définie en arithmétique et algèbre élémentaire, et qui est continue (§ 30) : cette double propriété montre l’identité de la définition de de la Section V avec la définition actuelle.

Le nombre (qui est défini si ) est dit l’inverse de .


37. De la définition de résulte la propriété suivante : Si un point est intérieur à un champ , et si les valeurs de aux points rationnels de sont comprises entre des nombres , , le nombre est aussi compris entre et .

En particulier, on déduit de là que, si et sont positifs, , , sont aussi positifs, car, en prenant des nombres rationnels , tels que

,,

les fonctions d’arguments rationnels , , dans le champ  :

,,

ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs

,, ;

il en est donc de même des fonctions de variables quelconques , , considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que, étant positif, est positif.


38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue. Soient des variables, des fonctions de ces variables, chacune des fonctions pouvant être fonction, soit de toutes les variables , soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction , qu’on peut alors considérer comme une fonction des premières variables , par l’intermédiaire des fonctions  ; on dit que c’est une fonction composée de ou, dans le cas d’une seule variable et d’une seule fonction intermédiaire , une fonction de fonction. C’est ainsi que, étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles, , sont des fonctions de , par l’intermédiaire de et . On a, à ce sujet, le théorème suivant :

Si sont fonctions continues de et si est fonction continue des variables , la fonction est fonction continue de

Soit, en effet, une suite de points

tendant vers un point . On suppose que se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour et

,,…,

est définie pour tous les points .

Puisque sont continues, on a

,,…,

et étant continue en tant que fonction de on a

 ;

ce qui s’écrit,

.

La proposition est donc démontrée.


39. Si une égalité de la forme

,

et sont des fonctions continues des variables est démontrée quand le point est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel et sont définies. En effet, soit un tel point ; il y a une suite de points rationnels tendant vers et en chacun desquels et sont définies. On a, pour ,

,

d’où

,

c’est-à-dire, à cause de la continuité de et ,

.