Théorie du mouvement des corps célestes/L1S1

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. 1-58).

LIVRE PREMIER.

RELATIONS GÉNÉRALES ENTRE LES QUANTITÉS AU MOYEN DESQUELLES LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES AUTOUR DU SOLEIL SONT DÉTERMINÉS.

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PREMIÈRE SECTION.

RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

1

Nous considérons seulement, dans cet ouvrage, le mouvement des corps célestes en tant qu’ils sont gouvernés par la force attractive du Soleil.

Toutes les planètes secondaires sont donc exclues de notre recherche, ainsi que les perturbations que les plus grosses exercent les unes sur les autres ; tout mouvement de rotation est aussi mis de côté. Nous envisageons les corps en mouvement comme étant même réduits à un point mathématique, et nous supposons tous les mouvements soumis aux lois suivantes, qui doivent donc, dans cet ouvrage, être prises pour base de toutes les recherches :

I. Le mouvement de toute planète se fait perpétuellement dans un même plan passant par le centre du Soleil.

II. La trajectoire décrite par l’astre est une section conique dont le centre du Soleil occupe le foyer.

III. Le mouvement sur cette trajectoire se fait de telle sorte que les aires des espaces décrits autour du Soleil sont proportionnelles à ces intervalles eux-mêmes. Les temps et les espaces décrits étant donc représentés par des nombres, un espace quelconque divisé par le temps pendant lequel il est décrit, fournit un quotient invariable.

IV. Pour différents astres se mouvant autour du Soleil, les carrés de ces quotients sont en raison directe des paramètres des orbites correspondantes, multipliés par la masse du Soleil augmentée de la masse des corps en mouvement.

En désignant donc par $2p$ le paramètre de l’orbite que décrit l’astre, par $\mu$ la quantité de matière de ce corps (la masse du Soleil étant $1$), par ${\tfrac {1}{2}}g$ l’aire qu’il décrit autour du Soleil dans le temps $t$, le nombre constant pour tous les corps célestes sera

${\frac {g}{t{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.$

Puisque peu importe le corps céleste dont nous nous servirions pour obtenir la valeur de ce nombre, déterminons-le d’après le mouvement de la Terre, dont nous adopterons la distance moyenne au Soleil pour unité de distance : l’unité de temps sera toujours pour nous le jour solaire moyen.

Désignant ensuite par $\pi$ le rapport de la circonférence au diamètre, l’aire entière de l’ellipse décrite par la Terre sera évidemment $\pi {\sqrt {\overset {}{p}}}$, que l’on doit donc poser égale à ${\tfrac {1}{2}}g$ si pour $t$ nous prenons l’année sidérale ; d’après cela notre nombre constant devient

${\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}$

Pour déterminer la valeur numérique de cette constante désignée par $k$ dans ce qui suit, prenons, d’après la détermination la plus nouvelle, l’année sidérale $t=365,2563835$, la masse de la Terre $\mu ={\frac {1}{354710}}=0,0000028192$ ; on déduit de là

	$\log 2\pi ..........$		0,7981798684
$\mathrm {comp^{t}}$	$\log t\,...........$		7,4374021852
$\mathrm {comp^{t}}$	$\log {\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}.....$		9,9999993878
	$\log k...........$		8,2355814414
	$\quad \;k...........$	$=$	0,01720209895

2

Les lois des mouvements exposées ci-dessus ne diffèrent de celles découvertes par Képler qu’en ce qu’elles sont données sous une forme s’étendant à tous les genres de sections coniques, et que l’on a égard à l’action du corps en mouvement sur le Soleil, action dont dépend le facteur ${\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}.$ Si nous considérons ces lois comme des phénomènes déduits d’observations aussi nombreuses que certaines, la géométrie apprendra, d’après cela, quelle action doit être exercée sur les corps en mouvement autour du Soleil pour que ces phénomènes se produisent perpétuellement. De cette manière on trouve que l’action du Soleil sur les astres en mouvement s’exerce comme si la force d’attraction, dont l’intensité serait inversement proportionnelle au carré de la distance, poussait les corps vers le centre du Soleil. Réciproquement, si nous établissons comme principe l’hypothèse d’une telle force attractive, les mêmes phénomènes en dérivent comme une conséquence nécessaire. Il suffit ici d’avoir seulement énoncé ces lois, sans qu’il y ait lieu de nous arrêter à leur liaison avec le principe de la gravitation, puisque, après le grand Newton, ce sujet a été traité par plusieurs auteurs, et entre autres par l’illustre Laplace, dans un ouvrage, la Mécanique céleste, tellement parfait qu’on ne peut rien désirer de plus.

3

Les recherches relatives aux mouvements des corps célestes, en tant qu’ils se produisent dans les sections coniques, n’exigent nullement une théorie complète de ces sortes de courbes ; bien plus, il nous suffira même d’une équation unique générale de laquelle tout se déduira. Mais on comprend qu’il est du plus grand intérêt de choisir celle même à laquelle nous sommes conduits comme à l’équation caractéristique, tant que nous cherchons la courbe décrite d’après la loi d’attraction. En déterminant, en effet, la position d’un corps quelconque dans son orbite par les distances $x$ et $y$ à deux droites menées dans le plan de la courbe et se coupant à angle droit au centre du Soleil, c’est-à-dire à l’un des foyers de la courbe, et en désignant, en outre, par $r$ la distance de l’astre au Soleil (considérée toujours comme positive), nous aurons entre $r$, $x$ et $y$ l’équation linéaire

$r+\alpha x+\beta q=\gamma ,$

dans laquelle $\alpha ,$ $\beta$ et $\gamma$ expriment des quantités constantes, et $\gamma$ même, par sa nature, une quantité toujours positive. En changeant la situation, arbitraire par elle-même, des droites auxquelles les distances $x$ et $y$ sont rapportées, pourvu qu’elles continuent à se couper à angle droit, il est évident que la forme de l’équation et la valeur de $\gamma$ ne seront pas changées, mais que $\alpha$ et $\beta$ acquerront des valeurs différentes ; et il est clair que la situation des axes peut être déterminée de telle sorte que $\beta$ devienne zéro, mais $\alpha$ n’étant pas du moins négatif. En représentant, dans ce cas, $\alpha$ et $\gamma$ respectivement par $e$, $p$, notre équation prend la forme $r+ex=p.$ La droite à laquelle les distances $y$ sont alors rapportées est appelée la ligne des apsides, $p$ le demi-paramètre et $e$ l’excentricité ; et enfin, la section conique se distingue par le nom d’Ellipse, de Parabole et d’Hyperbole, selon que $e$ est plus petit, égal ou plus grand que l’unité.

On comprendra du reste facilement que la situation de la ligne des apsides sera entièrement déterminée d’après les conditions données, excepté le seul cas où $\alpha$ et $\beta$ seraient d’eux-mêmes égaux à zéro ; dans ce cas on a toujours $r=p$ à quelques axes que l’on rapporte $x$ et $y$. Puisqu’on a ainsi $e=0,$ la courbe (qui sera un cercle) devra, d’après notre définition, être considérée comme une ellipse, mais il y aura cela de particulier, que la position de l’apside reste entièrement arbitraire, si toutefois il plaît d’étendre aussi cette notion à ce cas.

4

Au lieu de la distance $x$, introduisons l’angle $v$ que fait la ligne qui joint l’astre au Soleil (c’est-à-dire le rayon vecteur) avec la ligne des apsides, et comptons même cet angle à partir de la ligne des apsides du côté où les distances $x$ sont positives, en supposant qu’il croît dans le sens suivant lequel a lieu le mouvement de l’astre.

De cette manière, on a

$x=r\cos v,$

et, par suite, notre formule devient

$r={\frac {p}{1+e\cos v}},$

de laquelle dérivent immédiatement les conséquences suivantes :

I. Pour $v=0,$ la valeur du rayon vecteur $r$ devient minimum, c’est-à-dire $={\frac {p}{1+e}}\,;$ ce point est nommé le Périhélie.

II. À deux valeurs de $v$ égales et de signes contraires répondent deux valeurs égales de $r$ ; c’est pourquoi la ligne des apsides partage la section conique en deux parties égales.

III. Dans l’Ellipse, $r$ croît continuellement à partir de $v=0$, jusqu’à ce qu’il atteigne sa valeur maximum ${\frac {p}{1-e}},$ à l’Aphélie, pour $v=180^{\circ }\,;$ après l’aphélie le rayon décroît de la même manière qu’il avait augmenté précédemment, jusqu’à ce qu’il atteigne de nouveau la valeur périhélie pour $v=360^{\circ }.$ La ligne des apsides qui est terminée d’une part au périhélie, de l’autre à l’aphélie, est appelé le grand axe ; par suite, le demi-grand axe que l’on appelle aussi la distance moyenne est égale à ${\frac {p}{1-e^{2}}}\,;$ la distance du milieu de l’axe (du centre de l’ellipse) au foyer sera ${\frac {ep}{1-e^{2}}}=ea,$ en désignant par $a$ le demi-grand axe.

IV. Dans la parabole, au contraire, il n’y a pas à proprement parler d’aphélie, mais $r$ augmente au delà de toute limite à mesure que $v$ approche de plus en plus, soit de $+180^{\circ },$ soit de $-180^{\circ }.$ Pour $v=\pm 180^{\circ },$ la valeur de $r$ devient infinie, ce qui indique que la courbe ne coupe pas la ligne des apsides à l’opposé du périhélie. C’est pourquoi il n’y a pas lieu, dans ce cas, de parler du grand axe ni du centre de la courbe ; mais selon l’usage établi par les analystes, la valeur du grand axe est considérée comme infinie par extension des formules relatives à l’ellipse, et le centre de la courbe est situé à une distance infinie du foyer.

V. Dans l’hyperbole enfin, $v$ est compris entre des limites encore plus étroites, c’est-à-dire entre $v=-(180^{\circ }-\psi )$ et $v=+(180^{\circ }-\psi ),$ en désignant par $\psi$ l’angle dont le cosinus $={\frac {1}{e}}$. Quand $v$ approche en effet de ses limites, $r$ croît jusqu’à l’infini ; mais si l’on prenait pour $v$ l’une même de ces deux valeurs, $r$ deviendrait infini, ce qui indique que l’hyperbole ne peut pas être rencontrée par une droite faisant avec la ligne des apsides, soit au-dessus, soit au-dessous, un angle de $180^{\circ }-\psi .$ En dehors de ces valeurs, c’est-à-dire depuis $180^{\circ }-\psi$ jusqu’à $180^{\circ }+\psi ,$ notre formule assigne à $r$ une valeur négative ; la droite inclinée en effet même sous un tel angle sur la ligne des apsides ne rencontre pas, il est vrai, l’hyperbole, mais prolongée en arrière elle rencontre une autre partie de la courbe qui est entièrement séparée de la première partie et dont la convexité est tournée du côté opposé au foyer que le Soleil occupe. Mais dans notre recherche qui, ainsi que nous l’avons déjà dit, s’appuie sur l’hypothèse que $r$ est pris positivement, nous ne considérerons pas cette autre branche d’hyperbole que pourrait seulement parcourir un astre tel que la force du Soleil s’exerçât sur lui d’après les mêmes lois, non par attraction, mais par répulsion. À proprement parler, l’aphélie n’existe donc pas non plus dans l’hyperbole : on pourra prendre pour point analogue de l’aphélie l’intersection de la seconde branche avec la ligne des apsides, point qui répond aux valeurs $v=180^{\circ }$ et $r=-{\frac {p}{e-1}}.$ Si, de même que dans l’ellipse, on veut appeler aussi demi-grand axe de l’hyperbole l’expression ${\frac {ep}{1-e^{2}}},$ qui devient ici négative, cette quantité indiquera la distance du périhélie au point dont nous venons de parler, et en même temps la position de celui qui dans l’ellipse occupe une place opposée. De même ${\frac {ep}{1-e^{2}}},$ c’est-à-dire la distance du foyer au point situé au milieu de ces deux points (ou au centre de l’hyperbole) acquiert une valeur négative à cause de sa situation opposée.

5

Nous appelons anomalie vraie du corps en mouvement l’angle $v$ qui pour la parabole est compris entre les limites $-180^{\circ }$ et $+180^{\circ },$ pour l’hyperbole entre $-(180-\psi )$ et $+(180-\psi ),$ mais qui parcourt pour l’ellipse un cercle complet par périodes renouvelées perpétuellement. Jusqu’à présent presque tous les astronomes comptaient habituellement l’anomalie vraie, non à partir du périhélie, mais de l’aphélie ; il convient au contraire, par analogie avec la parabole et l’hyperbole dans lesquelles l’aphélie n’existe pas, de commencer à partir du périhélie. Nous craignons d’autant moins de rétablir l’analogie entre tous les genres de sections coniques que les astronomes français les plus récents en ont déjà donné l’exemple.

Il convient assez souvent de changer quelque peu la forme de l’expression $r=-{\frac {p}{1+e\cos v}}\,;$ les formes suivantes sont particulièrement notées :

$r={\frac {p}{1+e-2e\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {p}{1-e+2e\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}},$

$r={\frac {p}{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v+(1-e)\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}.$

Dans la parabole, nous avons par conséquent

$r={\frac {p}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}\ ;$

dans l’hyperbole, l’expression suivante est principalement commode

$r={\frac {p\cos \psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}}.$

6

Nous allons maintenant comparer le mouvement avec le temps. En posant, comme dans l’art. 1, l’espace décrit dans le temps $t$ autour du Soleil $={\frac {1}{2}}g,$ la masse du corps en mouvement $=\mu ,$ celle du Soleil étant supposée $=1,$ nous avons $g=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}.$ Mais la différentielle de l’aire $={\frac {1}{2}}r^{2}\,dv\,;$ on en déduit

$kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}=\int r^{2}\,dv,$

cette intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse pour $t=0.$

Cette intégration doit être traitée de différentes manières suivant les divers genres de sections coniques ; c’est pourquoi nous allons considérer chacun d’eux séparément en commençant par l’ELLIPSE.

Comme $r$ est déterminé d’après $v$ au moyen d’une expression fractionnaire dont le dénominateur contient deux termes, débarassons-nous avant tout de cette incommodité, en substituant une nouvelle quantité à la place de $v.$

Posons, dans ce but,

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1-{\overset {}{e}}}{1+e}}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} .$

La dernière formule de l’article précédent, relative à $r$ devient, d’après cela,

${\begin{aligned}r&={\frac {p\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}=p\left({\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+e}}+{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1-e}}\right)\\&={\frac {p}{1-e^{2}}}(1-e\cos \mathrm {E} ).\end{aligned}}$

On a ensuite

${\frac {d\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {dv}{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}},$

et, par suite,

$dv={\frac {p\,d\mathrm {E} }{r{\sqrt {1-e^{2}}}}}\,;$

d’où

$r^{2}dv={\frac {r.p\,d\mathrm {E} }{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} ,$

et, en intégrant,

$kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} )+$ constante.

Mais si nous considérons le moment où l’astre est à son périhélie, on a $v=0,\,\mathrm {E} =0$ et par suite la constante nulle ; il vient ainsi, à cause de ${\frac {p}{1-e^{2}}}=a,$

$\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ={\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}\cdot$

Dans cette équation, l’angle auxiliaire $\mathrm {E}$, que l’on nomme Anomalie excentrique, doit être exprimé en parties du rayon^(*)[1]. Mais il est évident que l’on peut conserver cet angle en degrés si $e\sin \mathrm {E}$ et ${\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}$ sont aussi exprimés de la même manière ; ces quantités seront exprimées en secondes d’arc si elles sont multipliées par le nombre $206264,81.$ Nous pouvons ne pas effectuer cette multiplication relativement à la dernière quantité, si nous exprimons d’abord la quantité $k$ en secondes, c’est-à-dire si à la place de la valeur donnée ci-dessus nous posons $k=3548''\!,18761$ dont le logarithme $=3,5500065746.$ De cette manière la quantité exprimée par ${\frac {kt(1+\mu )}{a^{\frac {3}{2}}}}$ est appelée l’Anomalie moyenne ; laquelle augmente donc proportionnellement au temps, et en réalité chaque jour de l’accroissement ${\frac {k(1+\mu )}{a^{\frac {3}{2}}}}$ qu’on nomme le Mouvement moyen diurne. Nous désignerons l’anomalie moyenne par $\mathrm {M} .$

7

Au périhélie, l’anomalie vraie, l’anomalie excentrique et l’anomalie moyenne sont par conséquent nulles ; l’anomalie vraie augmente ensuite, ainsi que les anomalies excentrique et moyenne, de telle sorte cependant que l’anomalie excentrique reste plus petite que la vraie, et la moyenne plus petite que l’excentrique jusqu’à l’aphélie ou toutes trois deviennent ensemble égales à $180^{\circ }\,;$ mais de là jusqu’au périhélie, l’excentrique est toujours plus grande que la vraie et la moyenne plus grande que l’excentrique, puis toutes les trois deviennent égales à $360^{\circ }$ au périhélie, ou ce qui revient au même, toutes trois reprennent la valeur zéro. Mais, d’une manière générale, il est évident que si l’anomalie vraie $v$ correspond à l’anomalie excentrique $\mathrm {E}$ et à l’anomalie moyenne $\mathrm {M} ,$ à l’anomalie vraie $360^{\circ }-v$ correspondront l’anomalie excentrique $360^{\circ }-\mathrm {E}$ et l’anomalie moyenne $360^{\circ }-\mathrm {M} .$ La différence $v-\mathrm {M}$ entre l’anomalie vraie et l’anomalie moyenne est appelée Équation du centre, laquelle, comme on le voit, positive du périhélie à l’aphélie, est négative de l’aphélie au périhélie, mais devient nulle au périhélie et à l’aphélie. Puisque $v$ et $\mathrm {M}$ parcourent donc dans le même temps un cercle entier depuis $0^{\circ }$ jusqu’à $360^{\circ },$ le temps d’une révolution que l’on nomme temps périodique s’obtient exprimé en jours, en divisant $360^{\circ }$ par le mouvement diurne ${\frac {k{\sqrt {(1+{\overset {}{\mu }})}}}{a^{\frac {3}{2}}}},$ d’où l’on voit clairement que pour divers corps célestes tournant autour du Soleil, les carrés des temps périodiques sont proportionnels aux cubes de leurs distances moyennes, en tant qu’il soit permis de négliger leurs masses ou plutôt leur différence de masses.

8

Récapitulons maintenant les relations entre les anomalies et le rayon vecteur qui sont principalement dignes d’attention et dont la détermination ne pourra présenter de difficultés même à quelqu’un médiocrement versé dans l’analyse trigonométrique. On donnera plus d’élégance à plusieurs de ces formules en introduisant à la place de $e$ l’angle dont le sinus $=e$ ; en désignant cet angle par $\varphi$, nous avons

${\begin{aligned}{\sqrt {1-e^{2}}}&=\cos \varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&=\cos \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}}.\\{\sqrt {1-{\overset {}{e}}\,}}&=\cos \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}},&{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}&=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right).\\{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}\,&+{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&-{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\sin {\frac {1}{2}}\varphi .\end{aligned}}$

Voici maintenant les principales relations entre $a,$ $p,$ $r,$ $e,$ $\varphi ,v,\,\mathrm {E} ,\,\mathrm {M} .$

I.

$p=a\cos ^{2}\varphi .$

II.

$r={\frac {p}{1+e\cos v}}.$

III.

$r=a(1-e\cos \mathrm {E} ).$

IV.

$\cos \mathrm {E} ={\frac {\cos v+e}{1+e\cos v}},$ou$\cos v={\frac {\cos \mathrm {E} -e}{1-e\cos \mathrm {E} }}.$

V.

${\begin{alignedat}{5}\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} &={\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\cos \mathrm {E} )}}&{}={}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1-e}{1+e\cos v}}}\\&=\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r(1-e)}{p}}}&{}={}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{a(1+e)}}}.\end{alignedat}}$

VI.

${\begin{alignedat}{5}\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} &={\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\cos \mathrm {E} )}}&{}={}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1+e}{1+e\cos v}}}\\&=\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r(1+e)}{p}}}&{}={}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{a(1-e)}}}.\end{alignedat}}$

VII.

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v.\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right).$

VIII.

$\sin \mathrm {E} ={\frac {r\sin v\cos \varphi }{p}}={\frac {r\sin v}{a\cos \varphi }}.$

IX.

${\begin{aligned}\qquad r\cos v&=a(\cos \mathrm {E} -e)\\&=2a\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {E} +{\frac {1}{2}}\varphi +45^{\circ }\!\right)\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {E} -{\frac {1}{2}}\varphi -45^{\circ }\!\right).\end{aligned}}$

X.

$\sin {\frac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )=\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{p}}}=\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}.$

XI.

$\sin {\frac {1}{2}}(v+\mathrm {E} )=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{p}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}.$

XII.

$\mathrm {M} =\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} .$

9

Si par un point quelconque de l’ellipse on abaisse une perpendiculaire sur la ligne des apsides et qu’on la prolonge jusqu’à ce qu’elle rencontre le cercle décrit du centre de l’ellipse avec le rayon $a$, l’angle formé par le rayon qui correspond à ce point d’intersection avec la ligne des apsides (angle conçu de la même manière que l’anomalie vraie) sera égal à l’anomalie excentrique, ainsi qu’on peut le déduire de l’équation IX de l’article précédent. Il est ensuite évident que $r\sin v$ est la distance de ce point de l’ellipse à la ligne des apsides ; cette distance qui, d’après l’équation VIII, $=a\cos \varphi \sin \mathrm {E}$, sera maximum pour $\mathrm {E} =90^{\circ },$ c’est-à-dire au centre de l’ellipse. Cette distance maximum qui est égale à $a\cos \varphi ={\sqrt {{\overset {}{a}}p}}$ est appelée le demi petit axe. Au foyer de l’ellipse, c’est-à-dire pour $v=90^{\circ },$ cette distance est évidemment égale à $p$ ou égale au demi-paramètre.

10

Les équations de l’article 8 contiennent toutes les relations qui servent à calculer les anomalies excentrique et moyenne au moyen de la vraie, ou les anomalies excentrique et vraie par la moyenne. Pour déduire l’anomalie excentrique de l’anomalie vraie, on emploie ordinairement la formule VII ; le plus souvent, cependant, il est préférable d’employer la formule X, principalement toutes les fois que l’excentricité n’est pas trop grande, cas dans lequel l’anomalie excentrique $\mathrm {E}$ peut être calculée avec plus de précision par la formule X que par la formule VII. De plus, en se servant de l’équation X, on a le logarithme-sinus $\mathrm {E}$ dont on a besoin pour l’équation XII, qui est d’abord obtenu par l’équation VIII ; en employant l’équation VII, il faudrait l’obtenir au moyen des tables ; si donc on cherche, d’après cette méthode, ce logarithme dans les tables, on obtiendra par là en même temps une confirmation de l’exactitude du calcul. On effectue de cette manière les contrôles et les confirmations d’un long calcul, contrôles auxquels il faudra donc avoir égard, dans toutes les méthodes enseignées dans cet ouvrage, où il peut en vérité être avantageux de mettre partout du soin et de l’exactitude.

Pour plus d’éclaircissements, donnons un exemple complet du calcul.

Soient donnés $v={}$310° 55′ 29,64″, $\varphi ={}$14° 12′ 1,87″, $\log r={}$0,3307640 ; on demande $p,\,a,\,\mathrm {E}$ et $\mathrm {M}$.

$\log \sin \varphi ........$	9,3897262
$\log \cos v........$	9,8162877
	9,2060139		d’où  $e\cos v={}$0,1606993
$\log(1+e\cos v)..$	0,0647197
$\log r............$	0,3307640
$\log p............$	0,3954837
$\log \cos ^{2}\varphi .......$	9,9730448
$\log a............$	0,4224389
$\log \sin v.........$	9.8722740 $n$	[2]
$\log {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{r}}}.........$	0,0323598.5
	9,8459141.5	$n$
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi .......$	9,0920395
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {V} -\mathrm {E} )$	8,9379536.5	$n$

De là

${\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )=-$4° 58′ 22,94″ ; $v-\mathrm {E} =-$9° 56′ 45,88″ ;

$\mathrm {E} ={}$320° 52′ 15,52″.

On a ensuite

Calcul du $\log \sin \mathrm {E}$ par la formule VIII.
$\log e\,..........$	9,3897262	$\log {\frac {r}{p}}\sin v$	9,8135573 $n$
$\log$ 206264,8 $...$	5,3144251	$\log \cos \varphi ..$	9,9865224	
$\log e$ en secondes	4,7041513	$\log \sin \mathrm {E} ..$	9,8000767 $n$
$\log \sin \mathrm {E} .......$	9,8000767 $n$	 De là
	4,5042280 $n.$	$\;e\sin \mathrm {E}$ en secondes$=$31932″,4$=$8° 52′ 12,14″

et	$\mathrm {M} ={}$	329° 44′ 27,66″		Par la formule VII le calcul de $\mathrm {E}$ se fait ainsi:
${\tfrac {1}{2}}v={}$		155° 27′ 44,82″		$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v........$	9,6594579 $n$
$45-{\tfrac {1}{2}}\varphi ={}$		137° 53′ 59,065″		$\log \operatorname {tang} (45^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\varphi )$	9,8912427
				$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} ........$	9,5507006 $n$	;

d’où

${\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} ={}$160° 26′ 7,76″ et $\mathrm {E} ={}$320° 52′ 13,52″ comme ci-dessus.

11

Le problème inverse, célèbre sous le nom de problème de Képler et qui a pour but de déterminer, d’après l’anomalie moyenne, l’anomalie vraie, et le rayon vecteur est d’un usage beaucoup plus fréquent. Les astronomes déterminent habituellement l’équation du centre au moyen d’une série développée suivant les sinus des angles $\mathrm {M} ,\,2\mathrm {M} ,\,3\mathrm {M} ,$ etc., dont les coefficients eux-mêmes forment des séries convergentes, selon les puissances croissantes de l’excentricité. Nous pensons qu’il est d’autant moins nécessaire de s’arrêter ici à cette formule relative à l’équation du centre, développée par plusieurs auteurs, que, d’après notre opinion, elle est beaucoup moins convenable dans la pratique, surtout si l’excentricité n’est pas très-petite, que la méthode indirecte que nous expliquerons pour cette raison un peu en détail dans la forme qui nous paraît la plus commode.

L’équation XII, $\mathrm {E} =\mathrm {M} +e\sin \mathrm {E} ,$ qui se rapporte à la classe des transcendantes et qui ne donne pas de solution par des opérations finies, est résolue par tâtonnements en commençant par une certaine valeur approchée de $\mathrm {E} .$ Cette valeur est corrigée par des méthodes convenables répétées jusqu’à ce qu’elle satisfasse exactement à cette équation, c’est-à-dire avec toute la précision que permettent les tables de sinus, ou avec celle au moins qui suffit au but proposé. Si ces corrections ne sont pas effectuées inconsidérément, mais d’après une règle sûre et certaine, à peine existe-t-il quelque différence essentielle entre une telle méthode indirecte et la solution au moyen des séries, si ce n’est que dans celle-là la première valeur de l’inconnue est en quelque sorte arbitraire ; ce qui est plutôt un avantage, puisque la valeur judicieusement choisie permet d’accélérer notablement les corrections. Supposons que $e$ soit une valeur approchée de $\mathrm {E}$ et $x$ la correction qu’il faut lui ajouter (cette correction étant exprimée en secondes), pour que la valeur $\mathrm {E} =\varepsilon +x$ satisfasse exactement à notre équation.

En faisant le calcul de $e\sin \varepsilon ,$ obtenu en secondes au moyen des logarithmes, qu’on note en même temps, d’après les tables, la variation de $\log \sin \varepsilon$, pour une seconde de variation dans $\varepsilon$, et la variation de $\log e\sin \varepsilon$, pour une unité de variation dans le nombre $e\sin \varepsilon \,;$ soient respectivement, sans avoir égard à leurs signes, $\lambda$ et $\mu$ ces variations pour lesquelles il est à peine besoin d’avertir que l’un et l’autre logarithme sont supposés contenir également un grand nombre de décimales. Si $\varepsilon$ approche déjà si près de la vraie valeur de $\mathrm {E} ,$ qu’il soit permis de considérer les variations de logarithme sinus depuis $\varepsilon$ jusqu’à $\varepsilon +x$ et les variations du logarithme nombre depuis $e\sin \varepsilon$ jusqu’à $e\sin(\varepsilon +x)$ comme uniformes, on pourra poser d’une manière évidente :

$e\sin(\varepsilon +x)=e\sin \varepsilon \pm {\frac {\lambda x}{\mu }},$

le signe supérieur s’appliquant au premier et au quatrième quadrants, le signe inférieur au second et au troisième.

C’est pourquoi, comme on a $\varepsilon +x=\mathrm {M} +e\sin(\varepsilon +x),$ on obtient, $x={\frac {\mu }{\mu \mp \lambda }}(\mathrm {M} +e\sin \varepsilon -\varepsilon ),$ et la valeur de $\mathrm {E}$ ou $\varepsilon +x=$ $\mathrm {M} +e\sin \varepsilon \pm {\frac {\lambda }{\mu \pm \lambda }}(\mathrm {M} +e\sin \varepsilon -\varepsilon )$ dont les signes sont déterminés de la manière que nous avons indiquée. Au reste, il est facile de s’apercevoir que l’on a, sans avoir égard au signe

${\frac {\mu }{\lambda }}={\frac {1}{e\cos \varepsilon }},$

et par suite que $\mu >\lambda \,;$ d’où l’on conclut que dans le premier et dans le dernier quadrants, $\mathrm {M} +e\sin \varepsilon$ est toujours compris entre $\varepsilon$ et $(\varepsilon +x),$ mais que dans le second et le troisième $(\varepsilon +x)$ est compris entre $\varepsilon$ et $\mathrm {M} +e\sin \varepsilon ,$ règle qui peut venir en aide aux signes.

Si la valeur supposée $\varepsilon$ s’écartait encore trop de la vraie, pour qu’il fût impossible d’admettre l’hypothèse énoncée plus haut, comme suffisamment exacte, on trouvera certainement par cette méthode une valeur beaucoup plus approchée, à l’aide de laquelle on recommencera la même opération, que l’on peut répéter même de nouveau plusieurs fois si l’on trouve cela nécessaire. On voit facilement que si l’on considère la différence de la première valeur $\varepsilon$ avec la véritable, comme une quantité du premier ordre, l’erreur de la nouvelle valeur devra être considérée comme du second ordre, et sera abaissée, en répétant l’opération, au quatrième ordre, au huitième, etc.

De plus, ces corrections successives diminuent d’autant plus rapidement, que l’excentricité est plus petite.

12

La valeur approchée de $\mathrm {E}$, au moyen de laquelle on peut commencer le calcul, sera le plus souvent suffisamment indiquée, surtout lorsque le problème doit être résolu pour plusieurs valeurs de $\mathrm {M} ,$ pour lesquelles certaines valeurs de $\mathrm {E}$ sont déjà obtenues. Tout autre moyen manquant, il est au moins constant que $\mathrm {E}$ doit être compris entre les limites $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} \pm e$ (l’excentricité étant exprimée en secondes, et prenant le signe supérieur dans le premier et le second quadrants et le signe inférieur pour le troisième et le quatrième) ; c’est pourquoi l’on pourra adopter pour la valeur initiale de $\mathrm {E} ,$ soit $\mathrm {M} ,$ soit ce nombre augmenté ou diminué de $e,$ d’après une estimation quelconque. Il est à peine besoin de prévenir que toutes les fois que l’on commence la première opération avec une valeur peu approchée, une précision minutieuse est inutile, et que les petites tables semblables à celles que l’illustre Lalande a publiées suffisent pleinement. De plus, pour faire les calculs commodément, les valeurs de $\varepsilon$ doivent toujours être choisies de manière que leur sinus puisse être trouvé dans les tables mêmes sans interpolation, c’est-à-dire en minutes ou en dizaines de secondes rondes, selon que les tables donnent les angles de minutes en minutes ou de dix en dix secondes. Au reste, chacun pourra, de soi-même, imaginer des modifications, d’après les règles précédentes, si les angles sont exprimés selon la nouvelle division décimale.

13

Exemple. Supposons l’excentricité la même que dans l’exemple de l’art. 10. $\mathrm {M} ={}$332° 28′ 54,77″. On a donc ici $\log e$ (en secondes) $=$ 4,7041513, par suite $e\!=$50600″$=$14° 3′ 20″. Comme ici $\mathrm {E}$ doit être moindre que $\mathrm {M} ,$ posons, pour le premier calcul, $\varepsilon =$326°, d’où l’on a, au moyen des petites tables :

$\log \sin \varepsilon$	9,74756$n$		changement pour 1′…	19 d’où $\lambda ={}$0,32
$\log e$ en secondes..	4,70415
	4,45171$n$	;

de là $\;e\sin \varepsilon =-$28295′${}=-$7° 51′ 35″			Changement du logarithme pour une unité de la table, laquelle ici est de $10^{\prime \prime }\dots 16,$           d’où $\mu =1,6\,;$
$\mathrm {M} +e\sin \varepsilon =..........$	324° 37′ 20″
différ. avec $\varepsilon ............$	331° 22′ 40″	$=$	4960″ d’où ${\frac {0,32}{1,28}}\times 4960^{\prime \prime }=1240^{\prime \prime }$
			 $=20^{\prime }\,40^{\prime \prime }.$

La valeur corrigée de $\mathrm {E}$ devient donc 324° 37′ 20″—20′ 40″ $=$ 324° 16′ 40″, avec laquelle nous faisons un second calcul en nous servant des grandes tables :

$\log \sin \varepsilon \dots$	9,7663058 $n$	$\lambda ={}$29,25
$\log e\dots \dots$	4,7041513
	4,4704571 $n$	$\mu ={}$147
$e\sin \varepsilon =-{}$29543,18′		$=-$8° 12′ 23,18″
$\mathrm {M} +e\sin \varepsilon .........$		324° 16′ 31,59″
différence avec $\varepsilon ......$		8,41″	;

Cette différence multipliée par ${\frac {\lambda }{\mu -\lambda }}={\frac {29,25}{117,75}}$ donne 2,09″, d’où la valeur de $\mathrm {E}$, corrigée de nouveau, $=$ 324° 16′ 31,59″—2,09″ $=$ 324° 16′ 29,50″ exacte à 0,01″ près.

14

Pour la détermination de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, au moyen de l’anomalie excentrique, les équations de l’art. 8 fournissent plusieurs méthodes dont nous expliquerons les meilleures.

I. On détermine habituellement $v$ au moyen de l’équation VII et ensuite $r$ par l’équation II ; par cette méthode, l’exemple de l’article précédent donne, en conservant à $p$ la valeur calculée dans l’art. 10,

	${\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} \dots \dots .$	162° 8′ 14,75″		$\log e\dots \dots .....$	9,3807262
$\log \operatorname {tang}$	${\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} \dots \dots .$	9,5082198 $n$		$\log \cos v\dots ....$	9,8496597
$\log \operatorname {tang}$	$\left(45-{\tfrac {1}{2}}\varphi \right).$	9,8912427			9,2393859
$\log \operatorname {tang}$	${\tfrac {1}{2}}v\dots \dots$	9,6169771 $n$		$e\cos v={}$	0,1735345
	${\tfrac {1}{2}}v=$	157° 30′ 41,5″		$\log p\dots \dots .....$	0,3954837
	$v=$	315° 01′ 23,00″		$\log(1+e\cos v)..$	0,0694959
				$\log r\dots \dots .....$	0,3259878

II. La méthode suivante est plus courte, surtout si l’on doit calculer plusieurs positions pour lesquelles il suffit de calculer, une fois seulement, les logarithmes des quantités constantes ${\sqrt {a(1+e)}},$ ${\sqrt {a(1-e)}}.$

D’après les équations V et VI, on a :

${\begin{aligned}\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1+e)}}\\\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1-e)}}\end{aligned}}$

d’où l’on obtient immédiatement ${\frac {1}{2}}v$ et $\log {\sqrt {\overset {}{r}}}$.

Toutes les fois, en général, qu’on a $\mathrm {P\sin \mathrm {Q} =\mathrm {A} }$, $\mathrm {P\cos \mathrm {Q} =\mathrm {B} }$, on trouve assurément $\mathrm {Q}$ par la formule $\mathrm {\operatorname {tang} \mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}}$ et ensuite $\mathrm {P}$ par la relation $\mathrm {P={\frac {\mathrm {A} }{\sin \mathrm {Q} }}}$ ou par $\mathrm {P={\frac {\mathrm {B} }{\cos \mathrm {Q} }}}$ ; on doit préférer la première quand $\sin \mathrm {Q}$ est plus grand que $\cos \mathrm {Q}$, et la seconde quand $\cos \mathrm {Q}$ est plus grand que $\sin \mathrm {Q}$.

Le plus souvent, les problèmes dans lesquels on parvient à de semblables équations (ils se présentent fréquemment dans cet ouvrage), impliquent la condition que $\mathrm {P}$ doit être une quantité positive ; de là naît immédiatement le doute de savoir s’il faut prendre $\mathrm {Q}$ entre 0 et 180° ou entre 180° et 360°. Mais si une telle condition n’existe pas, cette détermination est laissée à notre choix.

Dans notre exemple, nous avons $e={}$0,2453162.

$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......$	9,4867632		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......$	9,9785434 $n$
$\log {\sqrt {a(1+e)}}....$	0,2588593		$\log {\sqrt {a(1-e)}}....$	0,1501020

De là

$\log \sin {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....$	9,7456225	$\left.{\begin{array}{c}\\[1ex]\\\end{array}}\right\}$	d’où $\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v=$	9,6169771 $n$
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....$	0,1286454 $n$		${\tfrac {1}{2}}v=$	157° 30′ 41,5″
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}v.......$	9,9656515 $n$		$v=$	315° 01′ 23″
$\log {\sqrt {\overset {}{r}}}..........$	0,1629939
$\log {r}...........$	0,3259878.

III. À ces méthodes nous ajoutons une troisième qui également est presque aussi prompte que la seconde, mais qui, le plus souvent, doit être préférée si l’on désire une précision extrême. On détermine d’abord $r$ par l’équation III et ensuite $v$ par l’équation X.

Voici notre exemple traité de cette manière :

$\log e............$	9,3897262		$\log \sin \mathrm {E} ..........$	9,7663366 $n$
$\log \cos \mathrm {E} ........$	9,9094637		$\log {\sqrt {1-{\overset {}{e}}\cos \mathrm {E} }}...$	9,9517744
	9,2991899			9,8145622 $n$
$e\cos \mathrm {E} =$	0,1991544		$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi .........$	9,0920395
			$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )...$	8,9066017
$\log a............$	0,4224389		${\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )=-$ 4° 37′ 33,24″
$\log(1-e\cos \mathrm {E} )..$	9,9035488		$(v-\mathrm {E} )=-$ 9° 15′ 36,48″
$\log r............$	0,3259877		$v={}$ 315° 31′ 23,02″		.

Pour vérifier le calcul, la formule VIII ou la formule IX est très-commode, surtout si $v$ et $r$ ont été déterminés par la troisième méthode.

Voici le calcul :

$\log {\frac {a}{r}}\sin \mathrm {E} ....$	9,8627878 $n$		$\log \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}....$	9,8145622 $n$	
$\log \cos \varphi ......$	9,9865224 $n$		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ........$	9,9966567
	9,8493102 $n$			9,8112189 $n$	
$\log \sin v.......$	9,8493102 $n$		$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {E} +v)....$	9,8112189 $n$	

15

Puisque l’anomalie moyenne $\mathrm {M}$, d’après ce que nous venons de voir, doit être complètement déterminée à l’aide de $v$ et $\varphi$, de même que $v$ doit l’être au moyen de $\mathrm {M}$ et de $\varphi$, il ne sera pas superflu de rechercher, dans le cas où ces trois quantités sont considérées comme variables, l’équation de condition qui doit exister entre leurs variations différentielles.

En différentiant d’abord l’équation VII, art. 8, on obtient

${\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }}={\frac {dv}{\sin v}}-{\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}$ ;

différentiant ensuite l’équation XII, on trouve

$d\mathrm {M} =(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} \cos \varphi \,d\varphi$.

Éliminant $d\mathrm {E}$ de ces équations différentielles, nous obtenons

$d\mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {E} (1-\mathrm {E} \cos \mathrm {E} )}{\sin v}}dv-\left(\sin \mathrm {E} \cos \varphi +{\frac {\sin \mathrm {E} (1-e\cos \mathrm {E} )}{\cos \varphi }}\right)d\varphi$

ou, en substituant à la place de $\sin \mathrm {E}$ et de $(1-\cos \mathrm {E} )$ leurs valeurs tirées des équations VIII et III,

$d\mathrm {M} ={\frac {r^{2}}{a^{2}\cos \varphi }}\,dv-{\frac {r(r+p)\sin v}{a^{2}\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi$

ou enfin, en exprimant l’un et l’autre coefficient par $r$ et $\varphi$ seulement

$d\mathrm {M} ={\frac {\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,dv-{\frac {(2+e\cos v)\sin v\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,d\varphi .$

Réciproquement, en considérant $v$ comme fonction des quantités $\mathrm {M}$ et $\varphi$ l’équation prend la forme suivante :

$dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {(2+e\cos v)\sin v}{\cos \varphi }}\,d\varphi$

ou, en introduisant $\mathrm {E}$ à la place de $v,$

$dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {a^{2}}{r^{2}}}(2-e\cos \mathrm {E} -e^{2})\sin \mathrm {E} \,d\varphi .$

16

Le rayon vecteur n’est pas encore complètement déterminé au moyen de $v$ et de $\varphi$ ou de $\mathrm {M}$ et de $\varphi ,$ mais dépend en outre de $p$ ou de $a\,;$ sa différentielle se composera donc de trois parties.

En différentiant l’équation II art. 8, on trouve

${\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+{\frac {e\sin v}{1+e\cos v}}\,dv-{\frac {\cos \varphi \cos v}{1+e\cos v}}\,d\varphi .$

En ayant égard à

${\frac {dp}{p}}={\frac {da}{a}}-2\operatorname {tang} \varphi \,d\varphi$

(qui résulte de l’équation I) et en exprimant, d’après l’article précédent, $dv$ en fonction de $d\mathrm {M}$ et de $d\varphi$, on trouve, après toutes réductions,

${\frac {dr}{r}}={\frac {da}{a}}+{\frac {a}{r}}\operatorname {tang} \varphi \sin v\,d\mathrm {M} -{\frac {a}{r}}\cos \varphi \cos v\,d\varphi$

ou

$dr={\frac {r}{a}}\,da+a\operatorname {tang} \varphi \sin v\,d\mathrm {M} -a\cos \varphi \cos v\,d\varphi .$

Ces formules, ainsi que celles développées dans l’article précédent, s’appuient sur l’hypothèse que $v,\,\varphi$ et $\mathrm {M}$ ou plutôt $dv,\,d\varphi$ et $\mathrm {M}$ sont exprimées en parties du rayon^(*). Si donc il plaît d’exprimer en secondes les variations des angles $v,\,\varphi$ et $\mathrm {M} ,$ il faudra, ou bien diviser par 206264,8 les termes de ces formules qui contiennent $dv,\,d\varphi$ et $d\mathrm {M} ,$ ou multiplier par le même nombre ceux qui contiennent $dv,\,dp$ ou $da.$ Les formules de l’article précédent, qui, d’après cela sont donc homogènes, n’auront besoin d’aucun changement.

17

Il n’est pas inutile d’ajouter quelque chose relativement à la recherche du maximum de l’équation du centre. On voit d’abord immédiatement que la différence entre l’anomalie excentrique et l’anomalie moyenne devient maximum pour $\mathrm {E} =90^{\circ }\,;$ cette différence est alors égale à $e$ (exprimé en degrés, etc…) ; en ce point, le rayon vecteur est égal à $a,$ d’où $v=90+\varphi ,$ et par suite l’équation du centre $=\varphi +e,$ laquelle n’est pas cependant sa valeur maximum, puisque la différence entre $v$ et $\mathrm {E}$ peut encore croître au delà de $\varphi .$

Cette différence-ci devient maximum pour $d(v-\mathrm {E} )=0,$ ou pour $dv=d\mathrm {E} \,;$ relation dans laquelle il faut évidemment considérer l’excentricité comme constante.

D’après cette hypothèse, comme on a généralement

${\frac {dv}{\sin v}}={\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }},$

il est évident qu’au point où la différence entre $v$ et $\mathrm {E}$ doit être maximum on doit aussi avoir $\sin v=\sin \mathrm {E} \,;$ d’où l’on déduira, d’après les équations VIII et III,

$r=a\cos \varphi ,\quad e\cos \mathrm {E} =1-\cos \varphi ,\quad$ou$\quad \cos \mathrm {E} =+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .$

On trouvera de même, $\cos v=-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,$ c’est pourquoi l’on aura^[3]

$v=90^{\circ }+\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,\quad \mathrm {E} =90^{\circ }-\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .$

De là, on a ensuite,

$\sin \mathrm {E} ={\sqrt {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }}={\frac {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}{\cos {\dfrac {1}{2}}\varphi }},$

de telle sorte que toute l’équation du centre, en ce point devient

$2\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi +2\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}},$

le second terme est exprimé en secondes.

Enfin, dans ce point où toute l’équation du centre est maximum on doit avoir $dv=d\mathrm {M} ,$ et même, d’après l’article 15, $r=a{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}\,;$ de là on obtient

${\begin{aligned}\cos v&=-{\frac {1-\cos ^{\frac {3}{2}}\varphi }{e}},\\\cos \mathrm {E} &=-{\frac {1-{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}{e}}={\frac {1-\cos \varphi }{e(1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}})}}={\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\varphi }{1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}},\end{aligned}}$

formule à l’aide de laquelle on peut déterminer $\mathrm {E}$ avec la plus grande précision.

$\mathrm {E}$ étant déterminé, on aura, d’après les équations X et XII,

Équation du centre $=2\arcsin {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} }{\sqrt[{4}]{\cos {\overset {}{\varphi }}}}}+e\sin \mathrm {E} .$

Nous ne nous arrêterons pas ici, à l’expression du maximum de l’équation du centre en série développée suivant les puissances croissantes de l’excentricité, série que plusieurs auteurs ont donnée. Pour avoir un exemple, nous ajoutons un tableau des trois maxima que nous avons considérés, relativement à Junon dont l’excentricité, d’après les éléments les plus récents, est supposée égale à 0,2554996.

MAXIMUM.	$\mathrm {E}$	$\mathrm {E-M}$	$v-\mathrm {E}$	$v-\mathrm {M}$
$\mathrm {E-M}$	90° 00′ 00″	14° 38′ 20,57″	14° 48′ 11,48″	29° 26′ 32,05″
$v-\mathrm {E}$	82° 32′ 09″	14° 30′ 54,01″	14° 55′ 41,79″	29° 26′ 35,80″
$v-\mathrm {M}$	86° 14′ 40″	14° 36′ 27,39″	14° 53′ 49,57″	29° 30′ 16,96″

18

Dans la Parabole, l’anomalie excentrique, l’anomalie moyenne et le mouvement moyen deviennent $=0\,;$ ces relations du mouvement comparé au temps ne peuvent donc ici servir. Mais, dans ce cas, nous n’avons pas besoin d’un angle auxiliaire pour intégrer complètement $r^{2}dv\,;$ on a en effet,

$r^{2}dv={\frac {p^{2}dv}{4\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {p^{2}.d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {1}{2}}p^{2}\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v,$

et, par suite,

$\int r^{2}dv={\frac {1}{2}}p^{2}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right)$ + constante.

En prenant pour origine du temps le passage de l’astre au périhélie, la constante $=0\,;$ on a donc

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v={\frac {2tk{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{p^{\frac {3}{2}}}},$

formule par laquelle on peut déduire $t$ de $v$ ou $v$ de $t,$ dès que $p$ et $\mu$ sont connus. Pour obtenir $p$, qui est un des éléments paraboliques, on déterminera le rayon vecteur au périhélie qui est égal à ${\frac {1}{2}}p,$ et la masse $\mu$ sera ordinairement entièrement négligée. Il ne sera certainement jamais possible de déterminer la masse d’un corps dont l’orbite est trouvée parabolique ; toutes les comètes en effet, d’après les plus récentes observations, paraissent avoir une densité et une masse si faibles que celle-ci peut être considérée comme inappréciable et entièrement négligée.

19

La solution du problème ayant pour but de déduire le temps de l’anomalie vraie, et encore bien plus celle du problème inverse peuvent être considérablement abrégées par l’emploi d’une table auxiliaire que l’on trouve dans plusieurs ouvrages d’astronomie. Mais celle de beaucoup la plus commode est la table Barkérienne qui est aussi annexée à l’excellent ouvrage du célèbre Olbers (Abhandlung über die leichteste und bequemste Methode die Bahn eines Cometen zu berechnen : Weimar, 1797). Cette table contient, sous le nom de mouvement moyen, la valeur de l’expression $75\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+25\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v$ pour toutes les valeurs de l’anomalie vraie comprises depuis $0$ jusqu’à $180^{\circ },$ et de cinq en cinq minutes. Si donc on demande le temps qui correspond à une anomalie vraie $v$, il faudra diviser le mouvement moyen extrait de la table, d’après l’argument $v$, par ${\frac {150k}{p^{\frac {3}{2}}}},$ quantité que l’on nomme le mouvement moyen diurne ; si, au contraire, le temps étant donné, on veut calculer l’anomalie vraie, on devra multiplier par ${\frac {150k}{p^{\frac {3}{2}}}}$ ce temps exprimé en jours, afin d’avoir le mouvement moyen, à l’aide duquel on extraira de la table l’anomalie correspondante. Il est au reste évident, que pour une valeur négative de $v$ le mouvement moyen et le temps ont la même valeur que pour $v$ positif, mais doivent être pris négativement ; la même table peut donc servir aussi bien aux anomalies négatives qu’aux anomalies positives. Si à la place de $p$ nous préférons employer la distance périhélie $q={\frac {1}{2}}p$, le mouvement moyen diurne sera exprimé par ${\frac {k{\sqrt {2812,5}}}{q^{\frac {3}{2}}}},$ où le facteur constant $k{\sqrt {2812,5}}=0,912279061,$ dont le logarithme est $9,9601277069.$ L’anomalie vraie étant déterminée, on calculera le rayon vecteur par la formule, déjà considérée, $r={\frac {q}{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}.$

20

Si toutes les quantités $v$, $t$, $p$ sont traitées comme variables, en différentiant l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v=2tkp^{-{\frac {3}{2}}}$,

on trouve

${\frac {dv}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}=2kp^{-{\frac {3}{2}}}\,dt-3tkp^{-{\frac {5}{2}}}\,dp,$

ou

$dv={\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3tk}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\,dp.$

Si l’on veut exprimer, en secondes, les variations de l’anomalie vraie $v,$ les deux termes de $dv$ devant aussi être exprimés de la même manière, on devra prendre pour $k$ la valeur $3548''\!,188$ donnée dans l’art. 6. Si à la place de $p$ on introduit en outre ${\frac {1}{2}}p=q$ la formule devient alors

$dv={\frac {k{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3kt}{r^{2}{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}}\,dq.$

dans laquelle les logarithmes constants dont on devra faire usage, sont $\log k{\sqrt {2}}=3,7005215724,$ et $\log 3k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=3,8766128315.$

La différentiation de l’équation $r={\frac {p}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}$ fournit ensuite,

${\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,dv,$

ou, en exprimant $dv$ en fonction de $dt$ et de $dp,$

${\frac {dr}{r}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {3kt\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\right)dp+{\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{r^{2}}}\,dt.$

En substituant à $t$ sa valeur en fonction de $v$, le coefficient de $dp$ se change en

${\begin{aligned}{\frac {1}{p}}-{\frac {3p\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}&-{\frac {p\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v-{\frac {3}{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\right.\\&-\left.{\frac {1}{2}}v\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)={\frac {\cos v}{2r}}\,;\end{aligned}}$

mais le coefficient de $dt$ devient $={\frac {k\sin v}{r{\sqrt {\overset {}{p}}}}}.$

On déduit de là

$dr={\frac {1}{2}}\cos v\,dp+{\frac {k\sin v}{\sqrt {\overset {}{p}}}}\,dt,$

ou, en introduisant $q$ à la place de $p,$

$dr=\cos v\,dq+{\frac {k\sin v}{\sqrt {2q}}}\,dt.$

Le logarithme constant à employer ici est

$\log k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=8,0850664436.$

21

Dans l’Hyperbole, $\varphi$ et $\mathrm {E}$ deviennent des quantités imaginaires ; si nous voulons les éviter, il faut introduire à leur place d’autres quantités auxiliaires. Nous avons déjà désigné par $\psi$ l’angle dont le cosinus $={\frac {1}{e}}$ et nous avons trouvé le rayon vecteur

$r={\frac {p}{2e\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.$

Les facteurs $\cos {\frac {1}{2}}(v-\psi )$ et $\cos {\frac {1}{2}}(v+\psi )$ du dénominateur de cette fraction deviennent égaux pour $v=0,$ le second s’annule pour la valeur maximum positive de $v$, et le premier pour la valeur maximum négative.

En posant donc ${\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}{\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}=u,$ on aura $u=1$ au périhélie ; il croîtra vers l’infini à mesure que $v$ approchera de sa limite $180^{\circ }-\psi ,$ et décroîtra au contraire indéfiniment, à mesure que $v$ s’approchera de son autre limite $-(180^{\circ }-\psi )\,;$ de manière qu’aux mêmes valeurs opposées de $v$ répondent des valeurs réciproques de $u,$ ou, ce qui est la même chose, telles que leurs logarithmes sont complémentaires.

Ce quotient $u$ est fort utilement employé comme quantité auxiliaire dans l’hyperbole ; il peut, avec presque autant de justesse, remplacer l’angle dont la tangente $=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}},$ et que nous désignerons par ${\frac {1}{2}}\mathrm {F} ,$ afin de conserver l’analogie avec l’ellipse. De cette manière, nous recueillons les relations suivantes entre les quantités $v,\,r,\,u,\,\mathrm {F} ,$ où nous posons $a=-b,\,b$ représentant ainsi une quantité positive :

I.

$b=p\operatorname {cotang} ^{2}\psi .$

II.

$r={\frac {p}{1+e\cos v}}={\frac {p\cos \psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.$

III.

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\psi ={\frac {u-1}{u+1}}$

IV.

$u={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}{\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}={\frac {1+\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {F} }{1-\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {F} }}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right).$

V.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {1}{\cos \mathrm {F} }}&&={\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1+\cos \psi \cos v}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}\\&&&={\frac {e+\cos v}{1+e\cos v}}\end{alignedat}}\right.$

En retranchant 1 aux deux membres de l’équation V, on trouve

VI.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e-1)\cos \mathrm {F} }}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {(e+1)b}{\cos \mathrm {F} }}}\\&&&={\frac {1}{2}}(u-1){\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e-1)u}}}={\frac {1}{2}}(u-1){\sqrt {\frac {(e+1)b}{u}}}.\end{alignedat}}\right.$

Ajoutant maintenant 1 aux deux membres de la même équation, il vient

VII.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e+1)\cos \mathrm {F} }}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {(e-1)b}{\cos \mathrm {F} }}}\\&&&={\frac {1}{2}}(u+1){\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e+1)u}}}={\frac {1}{2}}(u+1){\sqrt {\frac {(e-1)b}{u}}}.\end{alignedat}}\right.$

En divisant VI par VII, nous retrouvons III ; on obtient, en les multipliant,

VIII.

$\left\{{\begin{aligned}\quad r\sin v&=p\operatorname {cotang} \psi \operatorname {tang} \mathrm {F} =b\operatorname {tang} \psi \operatorname {tang} \mathrm {F} \\&={\frac {1}{2}}p\operatorname {cotang} \psi \left(u-{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1}{2}}b\operatorname {tang} \psi \left(u-{\frac {1}{u}}\right).&&\end{aligned}}\right.$

En combinant les équations II et V, on déduit ensuite facilement,

IX.

$r\cos v=b\left(e-{\frac {1}{\cos \mathrm {F} }}\right)={\frac {1}{2}}b\left(2e-u-{\frac {1}{u}}\right).$

X.

$r=b\left({\frac {e}{\cos \mathrm {F} }}-1\right)={\frac {1}{2}}b\left[e\left(u+{\frac {1}{u}}\right)-2\right].$

22

En différentiant la formule IV, on trouve (en regardant $\psi$ comme une quantité constante),

${\frac {du}{u}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v+\psi )-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\psi )\right)dv={\frac {r\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv\,;$

et par suite,

$r^{2}dv={\frac {pr}{u\operatorname {tang} \psi }}\,du,$

ou, en substituant pour $r$ sa valeur donnée dans l’équation X,

$r^{2}dv=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du.$

Intégrant cette équation de telle sorte que cette intégrale devienne nulle au périhélie, on a

${\begin{aligned}\int r^{2}dv&=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u\right]=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {(1+\mu )}}\\&=kt\operatorname {tang} \psi {\sqrt {b}}{\sqrt {(1+\mu )}}.\end{aligned}}$

Le logarithme est ici hyperbolique ; si l’on veut se servir des logarithmes du système de Briggs, ou plus généralement du système dont le module $=\lambda$, et en négligeant la masse $\mu$ (que nous pouvons supposer inappréciable, pour les corps décrivant l’hyperbole), l’équation précédente prend la forme

XI.

${\frac {1}{2}}\lambda e{\frac {u^{2}-1}{u}}-\log u={\frac {\lambda kt}{b^{\frac {3}{2}}}},$

ou en introduisant $\mathrm {F}$,

$\lambda e\operatorname {tang} \mathrm {F} -\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)={\frac {\lambda kt}{b^{\frac {3}{2}}}}.$

Si nous supposons qu’on doive employer les logarithmes de Briggs, nous avons $\log \lambda =9,6377843113,$ $\log \lambda k=7,8733657527\,;$ mais on peut obtenir une précision un peu plus grande en employant immédiatement les logarithmes népériens. On trouve les logarithmes hyperboliques des tangentes dans plusieurs recueils de tables, et particulièrement dans celles que Schulze a publiées, et encore avec plus d’étendue dans le « Magnus Canon triangulorum logarithmicus » de Benjamin Ursin, Cologne 1624, dans lequel les logarithmes sont donnés de 10″ en 10″. — Du reste, la formule XI montre qu’aux valeurs réciproques de $u$ ou aux valeurs opposées de $\mathrm {F}$ et de $v$ répondent des valeurs opposées de $t$ ; c’est pourquoi les arcs égaux d’hyperbole situés de part et d’autre du périhélie et équidistants de ce point sont décrits dans des temps égaux.

23

Si pour déduire le temps, d’après l’anomalie vraie, on veut se servir de la quantité auxiliaire $u$, on en déterminera la valeur de la manière la plus commode par l’équation IV ; la formule II donne ensuite immédiatement sans un nouveau calcul, $p$ au moyen de $r$, ou $r$ au moyen de $p$ ; $u$ étant trouvé, la formule XI donnera la quantité ${\frac {\lambda kt}{b^{\frac {3}{2}}}}$ qui est analogue à l’anomalie moyenne dans l’ellipse, et que nous désignerons par $\mathrm {N}$, d’où l’on déduira le temps écoulé depuis le passage au périhélie.

Comme le premier terme de $\mathrm {N} ,$ c’est-à-dire ${\frac {\lambda e(u^{2}-1)}{2u}}$ devient par la formule VIII, $={\frac {\lambda r\sin v}{b\sin \psi }},$ un double calcul peut servir à s’assurer de l’exactitude de cette quantité ; ou si on le préfère, on peut exprimer $\mathrm {N}$, sans $u$, de la manière suivante :

XII.

$\mathrm {N} ={\frac {\lambda \operatorname {tang} \psi \sin v}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}}-\log {\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}{\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.$

Exemple. Soit $e={}$ 1,2618820 ou $\psi ={}$ 37° 35′ 00″, $v={}$ 18° 51′ 00″ $\log r={}$0,0333585. Le calcul de $u,$ $p$, $b,$ $\mathrm {N} ,$ $t,$ se fait alors de la manière suivante :

$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi )..$	9,9941706	$\left.{\begin{array}{c}\\\\\end{array}}\right\}\quad$	de là $\log u........$	0,0491129
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi )..$	9,9450577
$\log r.............$	0,0333585		$u={}$	1,1197289
$\log 2e............$	0,4020488		$u^{2}={}$	1,2537928
$\log p.............$	0,3746356
$\log \operatorname {cotang} ^{2}\psi .....$	0,2274244
$\log b.............$	0,6020600		Autre calcul.
$\log {\frac {r}{b}}.............$	9,4312985		$\log(u^{2}-1)......$	9,4044793
$\log \sin v..........$	9,5093258		$\mathrm {comp^{t}} \log u......$	9,9508871
$\log \lambda .............$	9,6377843		$\log \lambda ............$	9,6377843
$\mathrm {comp^{t}} \log \sin \psi ...$	0,2147309		$\log {\tfrac {1}{2}}e...........$	9,7999888
	8,7931395			8,7931395
1er terme de $\mathrm {N} ={}$	0,0621069
$\log u.............$	0,0491129
$\mathrm {N} ={}$	0,0129940
$\log \lambda k............$	7,8733058	$\left.{\begin{array}{c}\\\\\end{array}}\right\}$	$\log \mathrm {N} ............$	8,1137429
${\tfrac {3}{2}}\log b...........$	0,9030900		différence$.........$	6,9702758
			$\log t............$	1,1434671
			$t={}$ 13,9144800

24

Si le calcul est établi pour être exécuté à l’aide des logarithmes hyperboliques^(**)[4], il vaut mieux se servir de la quantité auxiliaire $\mathrm {F}$, qui est déterminée par l’équation III, et obtenir ensuite $\mathrm {N}$ par XI ; le demi-paramètre sera calculé au moyen du rayon vecteur ou réciproquement celui-ci d’après le demi-paramètre au moyen de la formule VIII ; le second terme de $\mathrm {N}$ peut, si l’on veut, être obtenu de deux manières, à savoir :

par la formule $\;\operatorname {log\,hyp\,tang} \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)$

et par celle-ci, $\;\operatorname {log\,hyp\,cos} {\frac {1}{2}}(v-\psi )-\operatorname {log\,hyp\,cos} {\frac {1}{2}}(v+\psi )$.

Il est au reste évident qu’ici, où l’on a $\lambda =1$, la quantité $\mathrm {N}$ deviendra plus grande, dans le rapport de $1$ à $\lambda$, que si l’on avait employé les logarithmes de Briggs. Voici notre exemple traité de cette manière :

$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\psi ..........$	9,5318179
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v\;..........$	9,2201009
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ..........$	8,7519188		${\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ={}$3° 13′ 58,12″
$\log e.................$	0,1010188
$\log \operatorname {tang} \mathrm {F} ............$	9,0543366
	9,1553554
$e\operatorname {tang} \mathrm {F} ..............$	0,14300638		C.$\log \operatorname {hyp} \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi ).$	0,01342266
$\log \operatorname {hyp\;tang} (45^{\circ }\!\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ).$	0,11308666		C.$\log \operatorname {hyp} \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi ).$	0,12650930
$\mathrm {N} {}={}$	0,02991972		 différence $.........$	0,11308664
			$\log \mathrm {N} ...............$	8,4759575
$\log k.................$	8,2355814	$\left.{\begin{array}{c}\\\\\end{array}}\right\}$	 différence $.........$	7,3324914
${\tfrac {3}{2}}\log b...............$	0,9030900
			$\log t................$	1,1433661
			$t={}$ 13,91445000

25

Pour la solution du problème inverse, déduire du temps l’anomalie vraie et le rayon vecteur, la quantité auxiliaire $u$ ou $\mathrm {F}$ peut d’abord être obtenue d’après $\mathrm {N} =\lambda kb^{-{\frac {3}{2}}}t$ au moyen de l’équation XI.

La résolution de cette équation transcendante s’effectuera par tâtonnements, et pourra être abrégée par des artifices analogues à ceux que nous avons exposés dans l’art. 11. Mais nous négligeons d’expliquer ceci plus longuement ; on ne doit pas, en effet, considérer comme très-utile de perfectionner avec soin, comme pour le mouvement elliptique, les principes relatifs au mouvement hyperbolique dans les cieux où peut-être il ne s’est jamais montré ; on pourra, du reste, résoudre tous les cas qui pourront accidentellement se présenter, par une autre méthode indiquée plus bas. Quand on aura trouvé $\mathrm {F}$ ou $u,$ $v$ s’en déduira par la formule III, et ensuite $r$ sera déterminé ou par la formule II ou par la formule VIII ; il sera encore plus commode d’obtenir en même temps $v$ et $r$ par les formules VI et VII ; on pourra si l’on veut, dans la pratique, employer l’une ou l’autre des autres formules pour s’assurer de l’exactitude du calcul.

26

Exemple. $e$ et $b$ étant les mêmes que dans l’exemple précédent, soit $t={}$65,41236 ; on demande $v$ et $r.$ En employant les logarithmes de Briggs, nous avons

$\log b..........$	1,8156598
$\log \lambda kb^{-{\frac {3}{2}}}.....$	6,9702758
$\log \mathrm {N} ..........$	8,7889356		d’où $\;\mathrm {N} ={}$0,06108514

On trouve alors qu’on satisfait à l’équation

$\mathrm {N} =\lambda e\operatorname {tang} \mathrm {F} -\operatorname {logtang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)$

par

$\mathrm {F} =25^{\circ }\,24'\,27''\!,66,$

d’où l’on a, par la formule III,

$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ........$	9,3530120
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\psi ........$	9,5318179
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v........$	9,8211941	 et par suite ${\tfrac {1}{2}}v={}$	33° 31′ 29,89″
		et $v={}$	67° 02′ 59,78″.

On a ensuite, d’après cela,

C.	$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi )...$	0,2137476	$\left.{\begin{array}{c}\\\\\end{array}}\right\}$	 différence $........$	0,1992279
C.	$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi )...$	0,0145197
			$\log \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} )...$		0,1992280
	$\log {\frac {p}{2e}}.........$	9,9725868
	$\log r..........$	0,2008541

27

Si l’équation IV est différentiée en traitant $u,$ $v$ et $\psi$ comme variables, on trouve

${\frac {du}{u}}={\frac {\sin \psi \,dv+\sin v\,d\psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}={\frac {2\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv+{\frac {r\sin v}{p\cos \psi }}\,d\psi$

En différentiant de même l’équation XI, on obtient la relation suivante entre les variations différentielles des quantités $u,\,\psi ,\,\mathrm {N}$

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}=\left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du+{\frac {(u^{2}-1)\sin \psi }{2u\cos ^{2}\psi }}d\psi ,$

ou

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r}{bu}}\,du+{\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi$

De là, en éliminant $du$ à l’aide de l’équation précédente, nous obtenons

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r^{2}}{b^{2}\operatorname {tang} \psi }}\,dv+\left(1+{\frac {r}{p}}\right){\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi .$

ou

${\begin{aligned}dv&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left({\frac {b}{r}}+{\frac {b}{p}}\right){\frac {\sin v\operatorname {tang} \psi }{\cos \psi }}\,d\psi \\&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left(1+{\frac {p}{r}}\right){\frac {\sin v}{\sin \psi }}\,d\psi .\end{aligned}}$

28

En différentiant l’équation X, relativement à $r,\,b,\,e,\,u,$ considérées comme variables, en substituant $de={\frac {\sin \psi }{\cos ^{2}\psi }}\,d\psi ,$ et éliminant $du$ au moyen de l’équation entre $d\mathrm {N} ,\,du$ et $d\psi$ donnée dans l’article précédent, il vient

${\begin{aligned}dr={\frac {r}{b}}\,db&+{\frac {b^{2}e(u^{2}-1)}{2\lambda ur}}\,d\mathrm {N} \\&+{\frac {b}{2\cos ^{2}\psi }}\left[\left(u+{\frac {1}{u}}\right)\sin \psi -\left(u-{\frac {1}{u}}\right)\sin v\right]\,d\psi .\end{aligned}}$

Le coefficient de $d\mathrm {N}$ se change, au moyen de l’équation VIII, en ${\frac {b\sin v}{\lambda \sin \psi }}\,;$ mais le coefficient de $d\psi ,$ en posant d’après l’équation IV, $u(\sin \psi -\sin v)=\sin(\psi -v),$ et ${\frac {1}{u}}(\sin \psi +\sin v)=\sin(\psi +v),$ se change en

${\frac {b\sin \psi \cos v}{\cos ^{2}\psi }}={\frac {p\cos v}{\sin \psi }},$

de sorte que l’on a

$dr={\frac {r}{b}}\,db+{\frac {b\sin v}{\lambda \sin \psi }}\,d\mathrm {N} +{\frac {p\cos v}{\sin \psi }}\,d\psi .$

Ensuite, tant que $\mathrm {N}$ est considéré comme fonction de $b$ et $t,$ on a

$d\mathrm {N} ={\frac {\mathrm {N} }{t}}\,dt-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {N} }{b}}\,db.$

En substituant cette valeur de $d\mathrm {N} ,$ $dr$ et aussi $dv$ de l’article précédent seront exprimés en fonction de $dt,$ $db$ et $d\psi .$ Il faut du reste répéter ici ce que nous avons dit plus haut, à savoir que si les variations des angles $v$ et $\psi$ ne sont pas conçues, exprimées en parties du rayon, mais en secondes, on devra diviser tous les termes qui contiennent $dv$ et $d\psi$ par $206264,8$ ou multiplier par ce nombre tous les autres termes.

29

Puisque les quantités auxiliaires représentées par