LIVRE PREMIER.
RELATIONS GÉNÉRALES ENTRE LES QUANTITÉS AU MOYEN DESQUELLES LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES AUTOUR DU SOLEIL SONT DÉTERMINÉS.
PREMIÈRE SECTION.
RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
1
Nous considérons seulement, dans cet ouvrage, le mouvement des
corps célestes en tant qu’ils sont gouvernés par la force attractive du
Soleil.
Toutes les planètes secondaires sont donc exclues de notre recherche, ainsi que les perturbations que les plus grosses exercent
les unes sur les autres ; tout mouvement de rotation est aussi mis de
côté. Nous envisageons les corps en mouvement comme étant même
réduits à un point mathématique, et nous supposons tous les mouvements soumis aux lois suivantes, qui doivent donc, dans cet ouvrage, être prises pour base de toutes les recherches :
I. Le mouvement de toute planète se fait perpétuellement dans
un même plan passant par le centre du Soleil.
II. La trajectoire décrite par l’astre est une section conique dont
le centre du Soleil occupe le foyer.
III. Le mouvement sur cette trajectoire se fait de telle sorte que
les aires des espaces décrits autour du Soleil sont proportionnelles
à ces intervalles eux-mêmes. Les temps et les espaces décrits étant
donc représentés par des nombres, un espace quelconque divisé par le temps pendant lequel il est décrit, fournit un quotient invariable.
IV. Pour différents astres se mouvant autour du Soleil, les carrés
de ces quotients sont en raison directe des paramètres des orbites
correspondantes, multipliés par la masse du Soleil augmentée de la
masse des corps en mouvement.
En désignant donc par
le paramètre de l’orbite que décrit
l’astre, par
la quantité de matière de ce corps (la masse du Soleil
étant
), par
l’aire qu’il décrit autour du Soleil dans le temps
,
le nombre constant pour tous les corps célestes sera
![{\displaystyle {\frac {g}{t{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a42456a7261f818dd7abfc28b60b0a6ba04926a)
Puisque peu importe le corps céleste dont nous nous servirions
pour obtenir la valeur de ce nombre, déterminons-le d’après le mouvement de la Terre, dont nous adopterons la distance moyenne au
Soleil pour unité de distance : l’unité de temps sera toujours pour
nous le jour solaire moyen.
Désignant ensuite par
le rapport de la circonférence au diamètre,
l’aire entière de l’ellipse décrite par la Terre sera évidemment
,
que l’on doit donc poser égale à
si pour
nous prenons l’année
sidérale ; d’après cela notre nombre constant devient
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6791a4db22761aa6c9f298759e0930dd46422d)
Pour déterminer la valeur numérique de cette constante désignée
par
dans ce qui suit, prenons, d’après la détermination la plus
nouvelle, l’année sidérale
, la masse de la Terre
; on déduit de là
|
![{\displaystyle \log 2\pi ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c15784706f95bd9dcc50a5d10b1d04221f967be) |
|
0,7981798684
|
|
![{\displaystyle \log t\,...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f1125578e3764266c719b3077d5b4ed235c66e) |
|
7,4374021852
|
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}.....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3005d162404fb1815a3f3984ab93cf1b035c94) |
|
9,9999993878
|
|
![{\displaystyle \log k...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37ea20de299da0ba392a3ef285a1c2a5514ad6e) |
|
8,2355814414
|
|
![{\displaystyle \quad \;k...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fda63563e1cb82e02fee5a1c723702fc594150) |
|
0,01720209895
|
2
Les lois des mouvements exposées ci-dessus ne diffèrent de celles
découvertes par Képler qu’en ce qu’elles sont données sous une forme s’étendant à tous les genres de sections coniques, et que l’on a égard
à l’action du corps en mouvement sur le Soleil, action dont dépend
le facteur
Si nous considérons ces lois comme des phénomènes déduits d’observations aussi nombreuses que certaines, la
géométrie apprendra, d’après cela, quelle action doit être exercée
sur les corps en mouvement autour du Soleil pour que ces phénomènes se produisent perpétuellement. De cette manière on trouve
que l’action du Soleil sur les astres en mouvement s’exerce comme
si la force d’attraction, dont l’intensité serait inversement proportionnelle au carré de la distance, poussait les corps vers le centre du
Soleil. Réciproquement, si nous établissons comme principe l’hypothèse d’une telle force attractive, les mêmes phénomènes en dérivent
comme une conséquence nécessaire. Il suffit ici d’avoir seulement
énoncé ces lois, sans qu’il y ait lieu de nous arrêter à leur liaison
avec le principe de la gravitation, puisque, après le grand Newton,
ce sujet a été traité par plusieurs auteurs, et entre autres par l’illustre Laplace, dans un ouvrage, la Mécanique céleste, tellement
parfait qu’on ne peut rien désirer de plus.
3
Les recherches relatives aux mouvements des corps célestes, en
tant qu’ils se produisent dans les sections coniques, n’exigent nullement une théorie complète de ces sortes de courbes ; bien plus, il
nous suffira même d’une équation unique générale de laquelle tout
se déduira. Mais on comprend qu’il est du plus grand intérêt de
choisir celle même à laquelle nous sommes conduits comme à l’équation caractéristique, tant que nous cherchons la courbe décrite d’après la loi d’attraction. En déterminant, en effet, la position d’un
corps quelconque dans son orbite par les distances
et
à deux
droites menées dans le plan de la courbe et se coupant à angle droit
au centre du Soleil, c’est-à-dire à l’un des foyers de la courbe, et en
désignant, en outre, par
la distance de l’astre au Soleil (considérée
toujours comme positive), nous aurons entre
,
et
l’équation
linéaire
![{\displaystyle r+\alpha x+\beta q=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dca046d108ee05890f48a88ad3feb04b107107a)
dans laquelle
et
expriment des quantités constantes, et
même,
par sa nature, une quantité toujours positive. En changeant la situation, arbitraire par elle-même, des droites auxquelles les distances
et
sont rapportées, pourvu qu’elles continuent à se couper à
angle droit, il est évident que la forme de l’équation et la valeur de
ne seront pas changées, mais que
et
acquerront des valeurs
différentes ; et il est clair que la situation des axes peut être déterminée de telle sorte que
devienne zéro, mais
n’étant pas du
moins négatif. En représentant, dans ce cas,
et
respectivement
par
,
, notre équation prend la forme
La droite à laquelle les distances
sont alors rapportées est appelée la ligne des apsides,
le demi-paramètre et
l’excentricité ; et enfin, la section
conique se distingue par le nom d’Ellipse, de Parabole et d’Hyperbole, selon que
est plus petit, égal ou plus grand que l’unité.
On comprendra du reste facilement que la situation de la ligne
des apsides sera entièrement déterminée d’après les conditions données, excepté le seul cas où
et
seraient d’eux-mêmes égaux à
zéro ; dans ce cas on a toujours
à quelques axes que l’on rapporte
et
. Puisqu’on a ainsi
la courbe (qui sera un cercle)
devra, d’après notre définition, être considérée comme une ellipse,
mais il y aura cela de particulier, que la position de l’apside reste entièrement arbitraire, si toutefois il plaît d’étendre aussi cette notion
à ce cas.
4
Au lieu de la distance
, introduisons l’angle
que fait la ligne
qui joint l’astre au Soleil (c’est-à-dire le rayon vecteur) avec la ligne
des apsides, et comptons même cet angle à partir de la ligne des apsides du côté où les distances
sont positives, en supposant qu’il
croît dans le sens suivant lequel a lieu le mouvement de l’astre.
De cette manière, on a
![{\displaystyle x=r\cos v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfeeef491b6207fceffb495cc077e642957c19d)
et, par suite, notre formule devient
![{\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db39564295862bb5eeaf3c13b94a7400ad2fd99)
de laquelle dérivent immédiatement les conséquences suivantes :
I. Pour
la valeur du rayon vecteur
devient minimum,
c’est-à-dire
ce point est nommé le Périhélie.
II. À deux valeurs de
égales et de signes contraires répondent deux valeurs égales de
; c’est pourquoi la ligne des apsides partage
la section conique en deux parties égales.
III. Dans l’Ellipse,
croît continuellement à partir de
, jusqu’à
ce qu’il atteigne sa valeur maximum
à l’Aphélie, pour
après l’aphélie le rayon décroît de la même manière qu’il avait augmenté précédemment, jusqu’à ce qu’il atteigne de nouveau la valeur
périhélie pour
La ligne des apsides qui est terminée d’une
part au périhélie, de l’autre à l’aphélie, est appelé le grand axe ; par
suite, le demi-grand axe que l’on appelle aussi la distance moyenne
est égale à
la distance du milieu de l’axe (du centre de l’ellipse)
au foyer sera
en désignant par
le demi-grand axe.
IV. Dans la parabole, au contraire, il n’y a pas à proprement parler
d’aphélie, mais
augmente au delà de toute limite à mesure que
approche de plus en plus, soit de
soit de
Pour
la valeur de
devient infinie, ce qui indique que la
courbe ne coupe pas la ligne des apsides à l’opposé du périhélie.
C’est pourquoi il n’y a pas lieu, dans ce cas, de parler du grand axe
ni du centre de la courbe ; mais selon l’usage établi par les analystes,
la valeur du grand axe est considérée comme infinie par extension
des formules relatives à l’ellipse, et le centre de la courbe est situé à
une distance infinie du foyer.
V. Dans l’hyperbole enfin,
est compris entre des limites encore
plus étroites, c’est-à-dire entre
et
en désignant par
l’angle dont le cosinus
. Quand
approche
en effet de ses limites,
croît jusqu’à l’infini ; mais si l’on prenait
pour
l’une même de ces deux valeurs,
deviendrait infini, ce qui
indique que l’hyperbole ne peut pas être rencontrée par une droite
faisant avec la ligne des apsides, soit au-dessus, soit au-dessous, un
angle de
En dehors de ces valeurs, c’est-à-dire depuis
jusqu’à
notre formule assigne à
une valeur négative ; la
droite inclinée en effet même sous un tel angle sur la ligne des apsides
ne rencontre pas, il est vrai, l’hyperbole, mais prolongée en arrière
elle rencontre une autre partie de la courbe qui est entièrement séparée
de la première partie et dont la convexité est tournée du côté opposé
au foyer que le Soleil occupe. Mais dans notre recherche qui, ainsi que nous l’avons déjà dit, s’appuie sur l’hypothèse que
est pris
positivement, nous ne considérerons pas cette autre branche d’hyperbole que pourrait seulement parcourir un astre tel que la force du
Soleil s’exerçât sur lui d’après les mêmes lois, non par attraction,
mais par répulsion. À proprement parler, l’aphélie n’existe donc pas
non plus dans l’hyperbole : on pourra prendre pour point analogue
de l’aphélie l’intersection de la seconde branche avec la ligne des
apsides, point qui répond aux valeurs
et
Si, de même que dans l’ellipse, on veut appeler aussi demi-grand
axe de l’hyperbole l’expression
qui devient ici négative,
cette quantité indiquera la distance du périhélie au point dont nous
venons de parler, et en même temps la position de celui qui dans
l’ellipse occupe une place opposée. De même
c’est-à-dire la
distance du foyer au point situé au milieu de ces deux points (ou
au centre de l’hyperbole) acquiert une valeur négative à cause de
sa situation opposée.
5
Nous appelons anomalie vraie du corps en mouvement l’angle
qui pour la parabole est compris entre les limites
et
pour l’hyperbole entre
et
mais qui
parcourt pour l’ellipse un cercle complet par périodes renouvelées
perpétuellement. Jusqu’à présent presque tous les astronomes comptaient habituellement l’anomalie vraie, non à partir du périhélie,
mais de l’aphélie ; il convient au contraire, par analogie avec la parabole et l’hyperbole dans lesquelles l’aphélie n’existe pas, de commencer à partir du périhélie. Nous craignons d’autant moins de
rétablir l’analogie entre tous les genres de sections coniques que
les astronomes français les plus récents en ont déjà donné l’exemple.
Il convient assez souvent de changer quelque peu la forme de
l’expression
les formes suivantes sont particulièrement notées :
![{\displaystyle r={\frac {p}{1+e-2e\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {p}{1-e+2e\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b9c3ae8de1abe7727e215425acc366a1a01f8)
![{\displaystyle r={\frac {p}{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v+(1-e)\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfce0ee726644de48534645607ab0d6cd5421aa8)
Dans la parabole, nous avons par conséquent
![{\displaystyle r={\frac {p}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4c96c2f0bebddb5528955271e2b7e2eaa6ac25)
dans l’hyperbole, l’expression suivante est principalement commode
![{\displaystyle r={\frac {p\cos \psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1510410de3dd6b4f4b8fc10c4e2148e1a72aa6)
6
Nous allons maintenant comparer le mouvement avec le temps.
En posant, comme dans l’art. 1, l’espace décrit dans le temps
autour du Soleil
la masse du corps en mouvement
celle
du Soleil étant supposée
nous avons
Mais
la différentielle de l’aire
on en déduit
![{\displaystyle kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}=\int r^{2}\,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf34109d93617b4e185e5550ab9c415644756de)
cette intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Cette intégration doit être traitée de différentes manières suivant
les divers genres de sections coniques ; c’est pourquoi nous allons
considérer chacun d’eux séparément en commençant par l’ELLIPSE.
Comme
est déterminé d’après
au moyen d’une expression fractionnaire dont le dénominateur contient deux termes, débarassons-nous avant tout de cette incommodité, en substituant une nouvelle
quantité à la place de
Posons, dans ce but,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1-{\overset {}{e}}}{1+e}}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1eef145cf5ac35c7f2130510c9230ed184e37a)
La dernière formule de l’article précédent, relative à
devient,
d’après cela,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {p\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}=p\left({\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+e}}+{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1-e}}\right)\\&={\frac {p}{1-e^{2}}}(1-e\cos \mathrm {E} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2969154442c19dc48f493700b0fc32435663a0c)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {dv}{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430cd1f5c5b5f8130cbcbe30cbe87cdb7c68cfca)
et, par suite,
![{\displaystyle dv={\frac {p\,d\mathrm {E} }{r{\sqrt {1-e^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23303c899fd4a0cf1f0f91e654d3317c427eb7c7)
d’où
![{\displaystyle r^{2}dv={\frac {r.p\,d\mathrm {E} }{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99afadeedc2b6de4fdf3f419a479bea45ab6670a)
et, en intégrant,
![{\displaystyle kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} )+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3386ad5fc4d3ab4bfdb79562a497dd81a8bb0bb)
constante.
Mais si nous considérons le moment où l’astre est à son périhélie,
on a
et par suite la constante nulle ; il vient ainsi, à
cause de
![{\displaystyle \mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ={\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711a7b039904d591a9a9528fbd549e7be36bd1c0)
Dans cette équation, l’angle auxiliaire
, que l’on nomme Anomalie excentrique, doit être exprimé en parties du rayon(*)[1]. Mais il
est évident que l’on peut conserver cet angle en degrés si
et
sont aussi exprimés de la même manière ; ces quantités seront exprimées en secondes d’arc si elles sont multipliées
par le nombre
Nous pouvons ne pas effectuer cette multiplication relativement à la dernière quantité, si nous exprimons
d’abord la quantité
en secondes, c’est-à-dire si à la place de la
valeur donnée ci-dessus nous posons
dont le logarithme
De cette manière la quantité exprimée par
est appelée l’Anomalie moyenne ; laquelle augmente donc
proportionnellement au temps, et en réalité chaque jour de l’accroissement
qu’on nomme le Mouvement moyen diurne. Nous
désignerons l’anomalie moyenne par
7
Au périhélie, l’anomalie vraie, l’anomalie excentrique et l’anomalie
moyenne sont par conséquent nulles ; l’anomalie vraie augmente
ensuite, ainsi que les anomalies excentrique et moyenne, de telle
sorte cependant que l’anomalie excentrique reste plus petite que la
vraie, et la moyenne plus petite que l’excentrique jusqu’à l’aphélie
ou toutes trois deviennent ensemble égales à
mais de là jusqu’au périhélie, l’excentrique est toujours plus grande que la vraie
et la moyenne plus grande que l’excentrique, puis toutes les trois
deviennent égales à
au périhélie, ou ce qui revient au même,
toutes trois reprennent la valeur zéro. Mais, d’une manière générale,
il est évident que si l’anomalie vraie
correspond à l’anomalie excentrique
et à l’anomalie moyenne
à l’anomalie vraie
correspondront l’anomalie excentrique
et l’anomalie moyenne
La différence
entre l’anomalie vraie et l’anomalie
moyenne est appelée Équation du centre, laquelle, comme on le voit,
positive du périhélie à l’aphélie, est négative de l’aphélie au périhélie,
mais devient nulle au périhélie et à l’aphélie. Puisque
et
parcourent donc dans le même temps un cercle entier depuis
jusqu’à
le temps d’une révolution que l’on nomme temps périodique s’obtient exprimé en jours, en divisant
par le mouvement
diurne
d’où l’on voit clairement que pour divers corps
célestes tournant autour du Soleil, les carrés des temps périodiques
sont proportionnels aux cubes de leurs distances moyennes, en tant
qu’il soit permis de négliger leurs masses ou plutôt leur différence
de masses.
8
Récapitulons maintenant les relations entre les anomalies et le
rayon vecteur qui sont principalement dignes d’attention et dont la détermination ne pourra présenter de difficultés même à quelqu’un
médiocrement versé dans l’analyse trigonométrique. On donnera
plus d’élégance à plusieurs de ces formules en introduisant à la
place de
l’angle dont le sinus
; en désignant cet angle par
,
nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-e^{2}}}&=\cos \varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&=\cos \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}}.\\{\sqrt {1-{\overset {}{e}}\,}}&=\cos \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}},&{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}&=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right).\\{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}\,&+{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&-{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\sin {\frac {1}{2}}\varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a22340ba0b5031eb21def4f987c752543cb504)
Voici maintenant les principales relations entre
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
ou
|
|
V.
|
|
|
VI.
|
|
|
VII.
|
|
|
VIII.
|
|
|
IX.
|
|
|
X.
|
|
|
XI.
|
|
|
XII.
|
|
|
9
Si par un point quelconque de l’ellipse on abaisse une perpendiculaire sur la ligne des apsides et qu’on la prolonge jusqu’à ce
qu’elle rencontre le cercle décrit du centre de l’ellipse avec le rayon
, l’angle formé par le rayon qui correspond à ce point d’intersection
avec la ligne des apsides (angle conçu de la même manière que l’anomalie vraie) sera égal à l’anomalie excentrique, ainsi qu’on peut
le déduire de l’équation IX de l’article précédent. Il est ensuite évident que
est la distance de ce point de l’ellipse à la ligne des
apsides ; cette distance qui, d’après l’équation VIII,
,
sera maximum pour
c’est-à-dire au centre de l’ellipse. Cette
distance maximum qui est égale à
est appelée
le demi petit axe. Au foyer de l’ellipse, c’est-à-dire pour
cette distance est évidemment égale à
ou égale au demi-paramètre.
10
Les équations de l’article 8 contiennent toutes les relations qui
servent à calculer les anomalies excentrique et moyenne au moyen
de la vraie, ou les anomalies excentrique et vraie par la moyenne.
Pour déduire l’anomalie excentrique de l’anomalie vraie, on emploie
ordinairement la formule VII ; le plus souvent, cependant, il est préférable d’employer la formule X, principalement toutes les fois que
l’excentricité n’est pas trop grande, cas dans lequel l’anomalie excentrique
peut être calculée avec plus de précision par la formule X que par la formule VII. De plus, en se servant de l’équation X,
on a le logarithme-sinus
dont on a besoin pour l’équation XII, qui
est d’abord obtenu par l’équation VIII ; en employant l’équation VII,
il faudrait l’obtenir au moyen des tables ; si donc on cherche, d’après
cette méthode, ce logarithme dans les tables, on obtiendra par là
en même temps une confirmation de l’exactitude du calcul. On effectue
de cette manière les contrôles et les confirmations d’un long calcul,
contrôles auxquels il faudra donc avoir égard, dans toutes les méthodes enseignées dans cet ouvrage, où il peut en vérité être avantageux de mettre partout du soin et de l’exactitude.
Pour plus d’éclaircissements, donnons un exemple complet du
calcul.
Soient donnés
310° 55′ 29,64″,
14° 12′ 1,87″,
0,3307640 ; on demande
et
.
![{\displaystyle \log \sin \varphi ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e25c2dfcbc4f2029207cde03c28d2b2cd3c0ca) |
9,3897262
|
![{\displaystyle \log \cos v........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f565a7b47b24b036f970a35388173cc740148a7) |
9,8162877
|
|
9,2060139 |
|
d’où 0,1606993
|
![{\displaystyle \log(1+e\cos v)..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf032f5eeed0ab2fcd27fcd24cca0cfe6d52dad8) |
0,0647197
|
|
0,3307640
|
|
0,3954837
|
![{\displaystyle \log \cos ^{2}\varphi .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b91d889f84def226da5ce94ef7bd0fbf0c85be3) |
9,9730448
|
![{\displaystyle \log a............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfa4697a409a31c691ac1d924ae5b3fe22c3955) |
0,4224389
|
|
9.8722740 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
[2]
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{r}}}.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df476c94397c85cf44ba44fe0777b9117409cdd) |
0,0323598.5
|
|
9,8459141.5 |
|
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3802ac91719996d60f9675067e714445add4c3b) |
9,0920395
|
|
8,9379536.5 |
|
De là
4° 58′ 22,94″ ;
9° 56′ 45,88″ ;
320° 52′ 15,52″.
On a ensuite
Calcul du par la formule VIII.
|
![{\displaystyle \log e\,..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6306c6e43eaad9fb6b1de356932222a4e1e943e5) |
9,3897262 |
![{\displaystyle \log {\frac {r}{p}}\sin v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6ac7e2a761b18a442e31c1f6d261f9261570b1) |
9,8135573 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
206264,8 ![{\displaystyle ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00f2f395950e3698a46501d1e9aae8e8defa145) |
5,3144251 |
![{\displaystyle \log \cos \varphi ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d335aa6d54ed6be1af7ae7672800dede933f34b) |
9,9865224 |
|
en secondes
|
4,7041513 |
|
9,8000767
|
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {E} .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755c3382286f65540dde0b9d98154546c98dbbf4) |
9,8000767
|
De là
|
|
4,5042280
|
en secondes 31932″,4 8° 52′ 12,14″
|
et
|
![{\displaystyle \mathrm {M} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0e2bb57e66d67c4973269cbb102dfe93da5bda) |
329° 44′ 27,66″ |
|
Par la formule VII le calcul de se fait ainsi:
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba62ff3ba9645d29c0e9f9077bfb64fdb1729b) |
155° 27′ 44,82″ |
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca8686f1d6d04644b90bea901e628149259b50d) |
9,6594579
|
![{\displaystyle 45-{\tfrac {1}{2}}\varphi ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3109efafe7c25520ba5f5b7ee2cafd0d20455b4a) |
137° 53′ 59,065″ |
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} (45^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a347c3edd251eb9a9a8075cf40a6f68b8731e9c0) |
9,8912427
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dff566a2b1d39b2749db9cbe0294be9d4870e6) |
9,5507006 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
;
|
d’où
160° 26′ 7,76″ et
320° 52′ 13,52″ comme ci-dessus.
11
Le problème inverse, célèbre sous le nom de problème de Képler
et qui a pour but de déterminer, d’après l’anomalie moyenne, l’anomalie
vraie, et le rayon vecteur est d’un usage beaucoup plus fréquent.
Les astronomes déterminent habituellement l’équation du
centre au moyen d’une série développée suivant les sinus des angles
etc., dont les coefficients eux-mêmes forment des
séries convergentes, selon les puissances croissantes de l’excentricité.
Nous pensons qu’il est d’autant moins nécessaire de s’arrêter ici
à cette formule relative à l’équation du centre, développée par plusieurs
auteurs, que, d’après notre opinion, elle est beaucoup moins
convenable dans la pratique, surtout si l’excentricité n’est pas très-petite,
que la méthode indirecte que nous expliquerons pour cette
raison un peu en détail dans la forme qui nous paraît la plus commode.
L’équation XII,
qui se rapporte à la classe des
transcendantes et qui ne donne pas de solution par des opérations
finies, est résolue par tâtonnements en commençant par une certaine
valeur approchée de
Cette valeur est corrigée par des méthodes
convenables répétées jusqu’à ce qu’elle satisfasse exactement à
cette équation, c’est-à-dire avec toute la précision que permettent
les tables de sinus, ou avec celle au moins qui suffit au but proposé.
Si ces corrections ne sont pas effectuées inconsidérément, mais
d’après une règle sûre et certaine, à peine existe-t-il quelque différence
essentielle entre une telle méthode indirecte et la solution au
moyen des séries, si ce n’est que dans celle-là la première valeur
de l’inconnue est en quelque sorte arbitraire ; ce qui est plutôt un
avantage, puisque la valeur judicieusement choisie permet d’accélérer
notablement les corrections. Supposons que
soit une valeur
approchée de
et
la correction qu’il faut lui ajouter (cette correction
étant exprimée en secondes), pour que la valeur
satisfasse
exactement à notre équation.
En faisant le calcul de
obtenu en secondes au moyen des
logarithmes, qu’on note en même temps, d’après les tables, la variation de
,
pour une seconde de variation dans
, et la variation de
, pour une unité de variation dans le nombre
soient respectivement, sans avoir égard à leurs signes,
et
ces variations pour lesquelles il est à peine besoin d’avertir que
l’un et l’autre logarithme sont supposés contenir également un grand
nombre de décimales. Si
approche déjà si près de la vraie valeur
de
qu’il soit permis de considérer les variations de logarithme
sinus depuis
jusqu’à
et les variations du logarithme nombre
depuis
jusqu’à
comme uniformes, on pourra poser
d’une manière évidente :
![{\displaystyle e\sin(\varepsilon +x)=e\sin \varepsilon \pm {\frac {\lambda x}{\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f31f19cc822e4177aa68d926730aa039d0ec5b)
le signe supérieur s’appliquant au premier et au quatrième quadrants, le signe inférieur au second et au troisième.
C’est pourquoi, comme on a
on obtient,
et la valeur de
ou
dont les signes sont déterminés
de la manière que nous avons indiquée. Au reste, il est facile de
s’apercevoir que l’on a, sans avoir égard au signe
![{\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}={\frac {1}{e\cos \varepsilon }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8443190c5229ee3806950c8882f317f654e145a5)
et par suite que
d’où l’on conclut que dans le premier et dans le
dernier quadrants,
est toujours compris entre
et
mais que dans le second et le troisième
est compris entre
et
règle qui peut venir en aide aux signes.
Si la valeur supposée
s’écartait encore trop de la vraie, pour
qu’il fût impossible d’admettre l’hypothèse énoncée plus haut, comme
suffisamment exacte, on trouvera certainement par cette méthode
une valeur beaucoup plus approchée, à l’aide de laquelle on recommencera la même opération, que l’on peut répéter même de nouveau
plusieurs fois si l’on trouve cela nécessaire. On voit facilement que
si l’on considère la différence de la première valeur
avec la véritable, comme une quantité du premier ordre, l’erreur de la nouvelle
valeur devra être considérée comme du second ordre, et sera abaissée,
en répétant l’opération, au quatrième ordre, au huitième, etc.
De plus, ces corrections successives diminuent d’autant plus rapidement, que l’excentricité est plus petite.
12
La valeur approchée de
, au moyen de laquelle on peut commencer le calcul, sera le plus souvent suffisamment indiquée, surtout
lorsque le problème doit être résolu pour plusieurs valeurs de
pour lesquelles certaines valeurs de
sont déjà obtenues. Tout
autre moyen manquant, il est au moins constant que
doit être
compris entre les limites
et
(l’excentricité étant exprimée
en secondes, et prenant le signe supérieur dans le premier et le
second quadrants et le signe inférieur pour le troisième et le quatrième) ; c’est pourquoi l’on pourra adopter pour la valeur initiale
de
soit
soit ce nombre augmenté ou diminué de
d’après
une estimation quelconque. Il est à peine besoin de prévenir que toutes
les fois que l’on commence la première opération avec une valeur peu
approchée, une précision minutieuse est inutile, et que les petites
tables semblables à celles que l’illustre Lalande a publiées suffisent
pleinement. De plus, pour faire les calculs commodément, les valeurs
de
doivent toujours être choisies de manière que leur sinus puisse
être trouvé dans les tables mêmes sans interpolation, c’est-à-dire en
minutes ou en dizaines de secondes rondes, selon que les tables donnent les angles de minutes en minutes ou de dix en dix secondes. Au
reste, chacun pourra, de soi-même, imaginer des modifications,
d’après les règles précédentes, si les angles sont exprimés selon la
nouvelle division décimale.
13
Exemple. Supposons l’excentricité la même que dans l’exemple de
l’art. 10.
332° 28′ 54,77″. On a donc ici
(en secondes)
4,7041513, par suite
50600″
14° 3′ 20″. Comme ici
doit être
moindre que
posons, pour le premier calcul,
326°, d’où l’on
a, au moyen des petites tables :
de là 28295′ 7° 51′ 35″ |
|
Changement du logarithme pour une unité de la table, laquelle ici est de ![{\displaystyle 10^{\prime \prime }\dots 16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccd44a63328f28dfeb20e5b004554a63ce3e476) d’où
|
![{\displaystyle \mathrm {M} +e\sin \varepsilon =..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38091cff82a5a8df0e438f27151e768d60a03c3b) |
324° 37′ 20″
|
différ. avec ![{\displaystyle \varepsilon ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac657b19ea6c9628db50f5da11986ad308536e1) |
331° 22′ 40″ |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
4960″ d’où
|
|
|
|
|
La valeur corrigée de
devient donc 324° 37′ 20″—20′ 40″
324° 16′ 40″, avec laquelle nous faisons un second calcul en nous
servant des grandes tables :
![{\displaystyle \log \sin \varepsilon \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47070d3df001962c467af6105ab7d18fe4948f3) |
9,7663058 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
29,25
|
![{\displaystyle \log e\dots \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6967f2d802ac26f9272235ebb841aa05034ee28d) |
4,7041513
|
|
4,4704571 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
147
|
29543,18′ |
8° 12′ 23,18″
|
![{\displaystyle \mathrm {M} +e\sin \varepsilon .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e80ea06b66ef369dd585295d605732cd94b60c) |
324° 16′ 31,59″
|
différence avec ![{\displaystyle \varepsilon ......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc10d9b8abf312ed261881ea0488ad6955186b84) |
8,41″ |
;
|
Cette différence multipliée par
donne 2,09″, d’où
la valeur de
, corrigée de nouveau,
324° 16′ 31,59″—2,09″
324° 16′ 29,50″ exacte à 0,01″ près.
14
Pour la détermination de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, au
moyen de l’anomalie excentrique, les équations de l’art. 8 fournissent
plusieurs méthodes dont nous expliquerons les meilleures.
I. On détermine habituellement
au moyen de l’équation VII et
ensuite
par l’équation II ; par cette méthode, l’exemple de l’article
précédent donne, en conservant à
la valeur calculée dans l’art. 10,
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} \dots \dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f03017575353c86599c40bc470b0eac42ad407) |
162° 8′ 14,75″ |
|
![{\displaystyle \log e\dots \dots .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9891e6fdc68d324cf735fbcbee355ac19d7737) |
9,3807262
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdae424392c46ce7f9291cc6bdcdbe67be636381) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} \dots \dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f03017575353c86599c40bc470b0eac42ad407) |
9,5082198 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
![{\displaystyle \log \cos v\dots ....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f50fff3eec6c00b07eeec2bcfced169e1a4b3ed) |
9,8496597
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdae424392c46ce7f9291cc6bdcdbe67be636381) |
![{\displaystyle \left(45-{\tfrac {1}{2}}\varphi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f7a16d3692d9182aef5af56625423a907e35b1) |
9,8912427 |
|
9,2393859
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdae424392c46ce7f9291cc6bdcdbe67be636381) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v\dots \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cabeb076b0a41a85188e1299e54e0d3f3b66f59) |
9,6169771 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
![{\displaystyle e\cos v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec09b765780b9370e9f4f72e04c8f3b4d6b63934) |
0,1735345
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cd1c344d9a512a5a14f9cae6f89ef46a494a0a) |
157° 30′ 41,5″ |
![{\displaystyle \log p\dots \dots .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5b36faf745beb51f3cff68866a8afd0157cc6a) |
0,3954837
|
|
![{\displaystyle v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec2813b519db43226327ecde695f3eb0b1f34aa) |
315° 01′ 23,00″ |
![{\displaystyle \log(1+e\cos v)..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf032f5eeed0ab2fcd27fcd24cca0cfe6d52dad8) |
0,0694959
|
|
![{\displaystyle \log r\dots \dots .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61883d24bc7a0dd73d65b6b0db147668086ea6f) |
0,3259878
|
II. La méthode suivante est plus courte, surtout si l’on doit calculer plusieurs positions pour lesquelles il suffit de calculer, une fois
seulement, les logarithmes des quantités constantes
D’après les équations V et VI, on a :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1+e)}}\\\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1-e)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd9f85d84372853b5fcf72750095aa41bf48bd6)
d’où l’on obtient immédiatement
et
.
Toutes les fois, en général, qu’on a
,
, on trouve
assurément
par la formule
et ensuite
par la relation
ou par
; on doit préférer la première quand
est plus grand que
, et la seconde quand
est plus
grand que
.
Le plus souvent, les problèmes dans lesquels on parvient à de
semblables équations (ils se présentent fréquemment dans cet ouvrage), impliquent la condition que
doit être une quantité positive ;
de là naît immédiatement le doute de savoir s’il faut prendre
entre
0 et 180° ou entre 180° et 360°. Mais si une telle condition n’existe
pas, cette détermination est laissée à notre choix.
Dans notre exemple, nous avons
0,2453162.
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38147e0ddafc360c1d2fa5fc58517a81b3d3584e) |
9,4867632 |
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ab09930fd258ea868de6cf6ff9a71d038cf609) |
9,9785434
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {a(1+e)}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ed209bda9457f560273158568d52099ea1950) |
0,2588593 |
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {a(1-e)}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96ba6ab071adf83ce035ad699e655e9dc9af789) |
0,1501020
|
De là
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5945c5cc4129cd9b3d2b07eac8cc3a2f39492fbe) |
9,7456225
|
|
d’où ![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1946249aece1167420cbbdd2a6b9757bfa88b4b) |
9,6169771
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d3438f3a8821ca43f8d6e8296a248d501bb0d6) |
0,1286454
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cd1c344d9a512a5a14f9cae6f89ef46a494a0a) |
157° 30′ 41,5″
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}v.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73653346b6b151838ec530a350b45a372c664454) |
9,9656515 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec2813b519db43226327ecde695f3eb0b1f34aa) |
315° 01′ 23″
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {\overset {}{r}}}..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f2923f71d86d107ec15ae99160e0a9521d92c) |
0,1629939
|
![{\displaystyle \log {r}...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6197b3ba7d42345c948df0d6fdaebf4bc768e801) |
0,3259878.
|
III. À ces méthodes nous ajoutons une troisième qui également est
presque aussi prompte que la seconde, mais qui, le plus souvent, doit être préférée si l’on désire une précision extrême. On détermine
d’abord
par l’équation III et ensuite
par l’équation X.
Voici notre exemple traité de cette manière :
![{\displaystyle \log e............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6821544f620e73ad0c3ff7828ee1a918e1e4a6a) |
9,3897262 |
|
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {E} ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8761f83f6e1417ad39fc69df376e6d0b43bc806f) |
9,7663366
|
![{\displaystyle \log \cos \mathrm {E} ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ae5864f1c7564a8588583d789f7bf7f9e4c01d) |
9,9094637 |
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {1-{\overset {}{e}}\cos \mathrm {E} }}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb211d1b0badfe82d4c233848f692f3230e22de) |
9,9517744
|
|
9,2991899 |
|
|
9,8145622
|
![{\displaystyle e\cos \mathrm {E} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640bbab98067f43e06a4137c76e5cff8efe28aac) |
0,1991544 |
|
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168a911280417aea3c59c090f99ab36bb14445df) |
9,0920395
|
|
|
|
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6409cfe813f05493a25e144eb6a0261e7d6644d4) |
8,9066017
|
![{\displaystyle \log a............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfa4697a409a31c691ac1d924ae5b3fe22c3955) |
0,4224389 |
|
4° 37′ 33,24″
|
![{\displaystyle \log(1-e\cos \mathrm {E} )..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8858de6ef36e193fb46497b960f650fb4c7e5962) |
9,9035488 |
|
9° 15′ 36,48″
|
![{\displaystyle \log r............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cd35593a70da2880c4c8f9b5c5c5412e5f614d) |
0,3259877 |
|
315° 31′ 23,02″ |
.
|
Pour vérifier le calcul, la formule VIII ou la formule IX est très-commode, surtout si
et
ont été déterminés par la troisième méthode.
Voici le calcul :
![{\displaystyle \log {\frac {a}{r}}\sin \mathrm {E} ....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9a0a4fa888232864770875bebb514575c58e30) |
9,8627878 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c369c317bb6c9cfce5e8941a20b18dda34424ec9) |
9,8145622 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \log \cos \varphi ......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c1927bb8c8410770d57e095f9db614a03e0282) |
9,9865224 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756ada665e1d05e41bcc31b337167487bfa26cbe) |
9,9966567
|
|
9,8493102 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
|
9,8112189 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \log \sin v.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eaf232207274ff49a38effb282e9136d07ae404) |
9,8493102 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {E} +v)....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1482d3b6c94cce12c9a7221897c3f00da28590b3) |
9,8112189 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
15
Puisque l’anomalie moyenne
, d’après ce que nous venons de
voir, doit être complètement déterminée à l’aide de
et
, de même
que
doit l’être au moyen de
et de
, il ne sera pas superflu de
rechercher, dans le cas où ces trois quantités sont considérées comme
variables, l’équation de condition qui doit exister entre leurs variations différentielles.
En différentiant d’abord l’équation VII, art. 8, on obtient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }}={\frac {dv}{\sin v}}-{\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8141601452454aed4b575883bf9aa0b9a035a825)
;
différentiant ensuite l’équation XII, on trouve
![{\displaystyle d\mathrm {M} =(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} \cos \varphi \,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3952d074383665e67367738d43cad7062e1c8268)
.
Éliminant
de ces équations différentielles, nous obtenons
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {E} (1-\mathrm {E} \cos \mathrm {E} )}{\sin v}}dv-\left(\sin \mathrm {E} \cos \varphi +{\frac {\sin \mathrm {E} (1-e\cos \mathrm {E} )}{\cos \varphi }}\right)d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d08aded05ad981ff57af3eca9bf01aa188f320)
ou, en substituant à la place de
et de
leurs valeurs
tirées des équations VIII et III,
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {r^{2}}{a^{2}\cos \varphi }}\,dv-{\frac {r(r+p)\sin v}{a^{2}\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39edebe4a129ec82f793494b8a8c5cab106f8df5)
ou enfin, en exprimant l’un et l’autre coefficient par
et
seulement
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,dv-{\frac {(2+e\cos v)\sin v\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837b05474831318816394a31b78ca90fe5b061bf)
Réciproquement, en considérant
comme fonction des quantités
et
l’équation prend la forme suivante :
![{\displaystyle dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {(2+e\cos v)\sin v}{\cos \varphi }}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a73e34efcaa6dba39d1a18aa40e3f14cc164f3)
ou, en introduisant
à la place de ![{\displaystyle v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba401aee0189f8031d21020a0c640a03339c9c)
![{\displaystyle dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {a^{2}}{r^{2}}}(2-e\cos \mathrm {E} -e^{2})\sin \mathrm {E} \,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f30c05fa8bd4823a831b9ffb89627ebaf923d)
16
Le rayon vecteur n’est pas encore complètement déterminé au
moyen de
et de
ou de
et de
mais dépend en outre de
ou
de
sa différentielle se composera donc de trois parties.
En différentiant l’équation II art. 8, on trouve
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+{\frac {e\sin v}{1+e\cos v}}\,dv-{\frac {\cos \varphi \cos v}{1+e\cos v}}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f9e8c6ee660f86171ad9c259a7d60878098815)
En ayant égard à
![{\displaystyle {\frac {dp}{p}}={\frac {da}{a}}-2\operatorname {tang} \varphi \,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b659c66866d11110691e4468dcb045d59c7bc90a)
(qui résulte de l’équation I) et en exprimant, d’après l’article précédent,
en fonction de
et de
, on trouve, après toutes réductions,
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {da}{a}}+{\frac {a}{r}}\operatorname {tang} \varphi \sin v\,d\mathrm {M} -{\frac {a}{r}}\cos \varphi \cos v\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de932c391e5465aae7a697631dc118be093b1f0)
ou
|
|
|
Ces formules, ainsi que celles développées dans l’article précédent,
s’appuient sur l’hypothèse que
et
ou plutôt
et
sont
exprimées en parties du rayon(*). Si donc il plaît d’exprimer en secondes
les variations des angles
et
il faudra, ou bien diviser par
206264,8 les termes de ces formules qui contiennent
et
ou multiplier par le même nombre ceux qui contiennent
ou
Les formules de l’article précédent, qui, d’après cela sont donc homogènes, n’auront besoin d’aucun changement.
17
Il n’est pas inutile d’ajouter quelque chose relativement à la recherche
du maximum de l’équation du centre. On voit d’abord immédiatement
que la différence entre l’anomalie excentrique et l’anomalie
moyenne devient maximum pour
cette différence est alors
égale à
(exprimé en degrés, etc…) ; en ce point, le rayon vecteur
est égal à
d’où
et par suite l’équation du centre
laquelle n’est pas cependant sa valeur maximum, puisque la différence entre
et
peut encore croître au delà de
Cette différence-ci devient maximum pour
ou pour
relation dans laquelle il faut évidemment considérer l’excentricité comme constante.
D’après cette hypothèse, comme on a généralement
![{\displaystyle {\frac {dv}{\sin v}}={\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c56d9592c182ac64141fee8234b4fd40209cad7)
il est évident qu’au point où la différence entre
et
doit être
maximum on doit aussi avoir
d’où l’on déduira, d’après
les équations VIII et III,
![{\displaystyle r=a\cos \varphi ,\quad e\cos \mathrm {E} =1-\cos \varphi ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be1f7ff35abc1a4fbfd146ff3be250010524613)
ou
![{\displaystyle \quad \cos \mathrm {E} =+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef81dd6140348ee5ff04ba85772db656952ad4e)
On trouvera de même,
c’est pourquoi l’on aura[3]
![{\displaystyle v=90^{\circ }+\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,\quad \mathrm {E} =90^{\circ }-\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a18b9c1ea7363a1837e4fe196a939dc46d4210)
De là, on a ensuite,
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} ={\sqrt {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }}={\frac {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}{\cos {\dfrac {1}{2}}\varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c48d0dd510460d6b3417a31f26503f64c5223bc)
de telle sorte que toute l’équation du centre, en ce point devient
![{\displaystyle 2\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi +2\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a94361d9a1be7ef16b3c8a300cb90a4cde8bed8)
le second terme est exprimé en secondes.
Enfin, dans ce point où toute l’équation du centre est maximum
on doit avoir
et même, d’après l’article 15,
de là on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos v&=-{\frac {1-\cos ^{\frac {3}{2}}\varphi }{e}},\\\cos \mathrm {E} &=-{\frac {1-{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}{e}}={\frac {1-\cos \varphi }{e(1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}})}}={\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\varphi }{1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8255bd76b42e313c73cfe5ce4c6dd9f29ae69ba0)
formule à l’aide de laquelle on peut déterminer
avec la plus
grande précision.
étant déterminé, on aura, d’après les équations X et XII,
Équation du centre
![{\displaystyle =2\arcsin {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} }{\sqrt[{4}]{\cos {\overset {}{\varphi }}}}}+e\sin \mathrm {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95412a560e94530714670823b0c5d6736b79a22f)
Nous ne nous arrêterons pas ici, à l’expression du maximum de
l’équation du centre en série développée suivant les puissances croissantes de l’excentricité, série que plusieurs auteurs ont donnée. Pour
avoir un exemple, nous ajoutons un tableau des trois maxima que
nous avons considérés, relativement à Junon dont l’excentricité, d’après les éléments les plus récents, est supposée égale à 0,2554996.
MAXIMUM.
|
|
|
|
|
|
90° 00′ 00″
|
14° 38′ 20,57″
|
14° 48′ 11,48″
|
29° 26′ 32,05″
|
|
82° 32′ 09″
|
14° 30′ 54,01″
|
14° 55′ 41,79″
|
29° 26′ 35,80″
|
|
86° 14′ 40″
|
14° 36′ 27,39″
|
14° 53′ 49,57″
|
29° 30′ 16,96″
|
18
Dans la Parabole, l’anomalie excentrique, l’anomalie moyenne et
le mouvement moyen deviennent
ces relations du mouvement
comparé au temps ne peuvent donc ici servir. Mais, dans ce cas,
nous n’avons pas besoin d’un angle auxiliaire pour intégrer complètement
on a en effet,
![{\displaystyle r^{2}dv={\frac {p^{2}dv}{4\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {p^{2}.d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {1}{2}}p^{2}\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7caab65fa174f81d95e5b993eed9f7c7a0ea1d5)
et, par suite,
![{\displaystyle \int r^{2}dv={\frac {1}{2}}p^{2}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeff299e41b460ca90a42203676edc55d484ab90)
+ constante.
En prenant pour origine du temps le passage de l’astre au périhélie, la constante
on a donc
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v={\frac {2tk{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{p^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be57921fbe5aac62975534c2a4740934b9cb0317)
formule par laquelle on peut déduire
de
ou
de
dès que
et
sont connus. Pour obtenir
, qui est un des éléments paraboliques, on déterminera le rayon vecteur au périhélie qui est égal à
et la masse
sera ordinairement entièrement négligée. Il ne sera
certainement jamais possible de déterminer la masse d’un corps dont
l’orbite est trouvée parabolique ; toutes les comètes en effet, d’après
les plus récentes observations, paraissent avoir une densité et une
masse si faibles que celle-ci peut être considérée comme inappréciable et entièrement négligée.
19
La solution du problème ayant pour but de déduire le temps de
l’anomalie vraie, et encore bien plus celle du problème inverse peuvent
être considérablement abrégées par l’emploi d’une table auxiliaire que
l’on trouve dans plusieurs ouvrages d’astronomie. Mais celle de beaucoup la plus commode est la table Barkérienne qui est aussi annexée
à l’excellent ouvrage du célèbre Olbers (Abhandlung über die leichteste und bequemste Methode die Bahn eines Cometen zu berechnen : Weimar,
1797). Cette table contient, sous le nom de mouvement moyen, la valeur
de l’expression
pour toutes les valeurs de
l’anomalie vraie comprises depuis
jusqu’à
et de cinq en cinq
minutes. Si donc on demande le temps qui correspond à une anomalie
vraie
, il faudra diviser le mouvement moyen extrait de la table,
d’après l’argument
, par
quantité que l’on nomme le mouvement moyen diurne ; si, au contraire, le temps étant donné, on veut
calculer l’anomalie vraie, on devra multiplier par
ce temps
exprimé en jours, afin d’avoir le mouvement moyen, à l’aide duquel
on extraira de la table l’anomalie correspondante. Il est au reste évident, que pour une valeur négative de
le mouvement moyen et le
temps ont la même valeur que pour
positif, mais doivent être pris
négativement ; la même table peut donc servir aussi bien aux anomalies négatives qu’aux anomalies positives. Si à la place de
nous
préférons employer la distance périhélie
, le mouvement
moyen diurne sera exprimé par
où le facteur constant
dont le logarithme est
L’anomalie vraie étant déterminée, on calculera le rayon vecteur par
la formule, déjà considérée,
20
Si toutes les quantités
,
,
sont traitées comme variables, en
différentiant l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v=2tkp^{-{\frac {3}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd14998114dbc992ba633c33184cdd47f59f073)
,
on trouve
![{\displaystyle {\frac {dv}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}=2kp^{-{\frac {3}{2}}}\,dt-3tkp^{-{\frac {5}{2}}}\,dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca50ad5a06bf7c3320b6cb88c2b87c516b5b0b5)
ou
![{\displaystyle dv={\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3tk}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\,dp.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e0aa4941202f17dd02876b1df918aded8662a1)
Si l’on veut exprimer, en secondes, les variations de l’anomalie
vraie
les deux termes de
devant aussi être exprimés de la
même manière, on devra prendre pour
la valeur
donnée
dans l’art. 6. Si à la place de
on introduit en outre
la formule devient alors
![{\displaystyle dv={\frac {k{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3kt}{r^{2}{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}}\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea72d4a7b3032409d2d18b2035d83f044090ebf)
dans laquelle les logarithmes constants dont on devra faire usage,
sont
et ![{\displaystyle \log 3k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=3,8766128315.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1434563c7000e7ecd282b3044ce1b0fd0f640a8e)
La différentiation de l’équation
fournit ensuite,
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11640d4145e719376efec0e8fb365a8e96f2864a)
ou, en exprimant
en fonction de
et de ![{\displaystyle dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d6c71849b243fc3aec541df0833c5fe41e976e)
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {3kt\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\right)dp+{\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{r^{2}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fb8cc37abccdf1a910801710e6320496a7a91c)
En substituant à
sa valeur en fonction de
, le coefficient de
se change en
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p}}-{\frac {3p\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}&-{\frac {p\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v-{\frac {3}{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\right.\\&-\left.{\frac {1}{2}}v\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)={\frac {\cos v}{2r}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f719d009e9a2b5e568f76396527b761fc2e803c)
mais le coefficient de
devient ![{\displaystyle ={\frac {k\sin v}{r{\sqrt {\overset {}{p}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914d7427de291bbbee19e0d255950f9a7edbcb43)
On déduit de là
![{\displaystyle dr={\frac {1}{2}}\cos v\,dp+{\frac {k\sin v}{\sqrt {\overset {}{p}}}}\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da21c519cd189c2012364e5d3d99b1b1513a0e8)
ou, en introduisant
à la place de ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
![{\displaystyle dr=\cos v\,dq+{\frac {k\sin v}{\sqrt {2q}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16096d509dbe07d6cbddf079c0c5d424fea5fe06)
Le logarithme constant à employer ici est
![{\displaystyle \log k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=8,0850664436.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24f469e5c304d712f226c87144182adb4d188ff)
21
Dans l’Hyperbole,
et
deviennent des quantités imaginaires ;
si nous voulons les éviter, il faut introduire à leur place d’autres
quantités auxiliaires. Nous avons déjà désigné par
l’angle dont
le cosinus
et nous avons trouvé le rayon vecteur
![{\displaystyle r={\frac {p}{2e\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb9ec8a09c5ab3937ab6d4eb6718348ebd5c6e2)
Les facteurs
et
du dénominateur de cette
fraction deviennent égaux pour
le second s’annule pour la
valeur maximum positive de
, et le premier pour la valeur maximum
négative.
En posant donc
on aura
au périhélie ;
il croîtra vers l’infini à mesure que
approchera de sa limite
et décroîtra au contraire indéfiniment, à mesure que
s’approchera de son autre limite
de manière qu’aux
mêmes valeurs opposées de
répondent des valeurs réciproques
de
ou, ce qui est la même chose, telles que leurs logarithmes
sont complémentaires.
Ce quotient
est fort utilement employé comme quantité auxiliaire dans l’hyperbole ; il peut, avec presque autant de justesse, remplacer l’angle dont la tangente
et que nous désignerons par
afin de conserver l’analogie avec l’ellipse. De cette
manière, nous recueillons les relations suivantes entre les quantités
où nous posons
représentant ainsi une quantité positive :
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
|
|
V.
|
|
|
En retranchant 1 aux deux membres de l’équation V, on trouve
VI.
|
|
|
Ajoutant maintenant 1 aux deux membres de la même équation,
il vient
VII.
|
|
|
En divisant VI par VII, nous retrouvons III ; on obtient, en les multipliant,
VIII.
|
|
|
En combinant les équations II et V, on déduit ensuite facilement,
IX.
|
|
|
X.
|
|
|
22
En différentiant la formule IV, on trouve (en regardant
comme
une quantité constante),
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v+\psi )-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\psi )\right)dv={\frac {r\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f4084d413ff87f8e462666d170dce3ffc17f9)
et par suite,
![{\displaystyle r^{2}dv={\frac {pr}{u\operatorname {tang} \psi }}\,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41edd50d651b4be5ad6cd4260eb94acfdd2e06a)
ou, en substituant pour
sa valeur donnée dans l’équation X,
![{\displaystyle r^{2}dv=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d733d6ed03d484d50c464068ccc224f507ed5a)
Intégrant cette équation de telle sorte que cette intégrale devienne
nulle au périhélie, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int r^{2}dv&=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u\right]=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {(1+\mu )}}\\&=kt\operatorname {tang} \psi {\sqrt {b}}{\sqrt {(1+\mu )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45d52a83d33ed3edfe23446df22f85522e24fc0)
Le logarithme est ici hyperbolique ; si l’on veut se servir des logarithmes du système de Briggs, ou plus généralement du système
dont le module
, et en négligeant la masse
(que nous pouvons supposer inappréciable, pour les corps décrivant l’hyperbole), l’équation
précédente prend la forme
XI.
|
|
|
ou en introduisant
,
![{\displaystyle \lambda e\operatorname {tang} \mathrm {F} -\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)={\frac {\lambda kt}{b^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743ccf495350c0dde17ba5c81bbd1ce3e03fb52a)
Si nous supposons qu’on doive employer les logarithmes de Briggs,
nous avons
mais
on peut obtenir une précision un peu plus grande en employant
immédiatement les logarithmes népériens. On trouve les logarithmes
hyperboliques des tangentes dans plusieurs recueils de tables, et
particulièrement dans celles que Schulze a publiées, et encore avec
plus d’étendue dans le « Magnus Canon triangulorum logarithmicus »
de Benjamin Ursin, Cologne 1624, dans lequel les logarithmes sont
donnés de 10″ en 10″. — Du reste, la formule XI montre qu’aux
valeurs réciproques de
ou aux valeurs opposées de
et de
répondent des valeurs opposées de
; c’est pourquoi les arcs égaux
d’hyperbole situés de part et d’autre du périhélie et équidistants de
ce point sont décrits dans des temps égaux.
23
Si pour déduire le temps, d’après l’anomalie vraie, on veut se servir de la quantité auxiliaire
, on en déterminera la valeur de la manière
la plus commode par l’équation IV ; la formule II donne ensuite immédiatement sans un nouveau calcul,
au moyen de
, ou
au moyen de
;
étant trouvé, la formule XI donnera la quantité
qui est analogue
à l’anomalie moyenne dans l’ellipse, et que nous désignerons par
,
d’où l’on déduira le temps écoulé depuis le passage au périhélie.
Comme le premier terme de
c’est-à-dire
devient par
la formule VIII,
un double calcul peut servir à s’assurer de
l’exactitude de cette quantité ; ou si on le préfère, on peut exprimer
, sans
, de la manière suivante :
XII.
|
|
|
Exemple. Soit
1,2618820 ou
37° 35′ 00″,
18° 51′ 00″
0,0333585. Le calcul de
,
se fait alors de la
manière suivante :
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi )..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b9c59b82248ac0a774240c7552afed5414e9ff) |
9,9941706
|
|
de là ![{\displaystyle \log u........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5418056b184e5a4e3c407c95a10a7b5ce774e011) |
0,0491129
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi )..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f9716d4d0778460321b94e92c631ef8f65c83a) |
9,9450577
|
![{\displaystyle \log r.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516bd81ee04357ef790cf338e0bf3eaeef71144b) |
0,0333585 |
|
![{\displaystyle u={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c36a2fcc5c45c4e8d31fc2083ac88638b105b8) |
1,1197289
|
![{\displaystyle \log 2e............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68eead742d0822235a4b3f3c0dc154149688e883) |
0,4020488 |
|
![{\displaystyle u^{2}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e2bfb130cd87e81359c4026a4d29b7c2c1f945) |
1,2537928
|
![{\displaystyle \log p.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5116c1dfe8943caf6e71d9d9878067c087614104) |
0,3746356
|
![{\displaystyle \log \operatorname {cotang} ^{2}\psi .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e120b8592ea09cb897e6aa4ba9bce14f37c963ce) |
0,2274244
|
![{\displaystyle \log b.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3269ee9b55b00a57bf50da7c6736b05f5a87fbd9) |
0,6020600 |
|
Autre calcul.
|
![{\displaystyle \log {\frac {r}{b}}.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5020d0e5988d5f4b1d25e1338b00c5d2a676f736) |
9,4312985 |
|
![{\displaystyle \log(u^{2}-1)......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1425cfa7e65ee36bf760b63f0ef8712b2bbb112) |
9,4044793
|
![{\displaystyle \log \sin v..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0624f37da6f59273db38e8bfac03008a12be6dde) |
9,5093258 |
|
![{\displaystyle \mathrm {comp^{t}} \log u......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc695ed42734400ba489af39c501a17c74f3e38) |
9,9508871
|
![{\displaystyle \log \lambda .............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d11acb8f38f3398c47c303ee057edb4a284b45) |
9,6377843 |
|
![{\displaystyle \log \lambda ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0803e36044c241f080c0a934aef33e7b7319bfa0) |
9,6377843
|
![{\displaystyle \mathrm {comp^{t}} \log \sin \psi ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f071bb08098387d44d78143bd3ac11054d630) |
0,2147309 |
|
![{\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}e...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f04a1feb5433153383e4baaecdb73e12666787) |
9,7999888
|
|
8,7931395 |
|
|
8,7931395
|
1er terme de ![{\displaystyle \mathrm {N} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cad00d0024c4435e4fac70a9fa1d42d7feed4a) |
0,0621069
|
![{\displaystyle \log u.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcba41a44cf176f3812de8cd1a4d11a34a7d7a9) |
0,0491129
|
![{\displaystyle \mathrm {N} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cad00d0024c4435e4fac70a9fa1d42d7feed4a) |
0,0129940
|
![{\displaystyle \log \lambda k............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3849227631114cc10835acb1676a203c4993a4ca) |
7,8733058
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {N} ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c52ef6552d97abdecae987013fe3caf8ecb94e4) |
8,1137429
|
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\log b...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f210cf0c8bfabe53af92adcde83af695dde32049) |
0,9030900 |
différence![{\displaystyle .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad117ae5290bede4ac79bf5584c2942d9c993197) |
6,9702758
|
|
|
|
![{\displaystyle \log t............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecc60f8bec9c0d4dd57ccb5f6abc64999d4aa9b) |
1,1434671
|
|
|
|
13,9144800
|
24
Si le calcul est établi pour être exécuté à l’aide des logarithmes
hyperboliques(**)[4], il vaut mieux se servir de la quantité auxiliaire
, qui
est déterminée par l’équation III, et obtenir ensuite
par XI ; le
demi-paramètre sera calculé au moyen du rayon vecteur ou réciproquement celui-ci d’après le demi-paramètre au moyen de la formule VIII ; le second terme de
peut, si l’on veut, être obtenu de
deux manières, à savoir :
par la formule ![{\displaystyle \;\operatorname {log\,hyp\,tang} \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22475899b915d0e78d790fcb96d111a46787d47d)
et par celle-ci,
.
Il est au reste évident qu’ici, où l’on a
, la quantité
deviendra plus grande, dans le rapport de
à
, que si l’on avait employé les logarithmes de Briggs. Voici notre exemple traité de cette
manière :
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\psi ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785c74c31411c3f3f74ea1be52e4ac61ad8ec631) |
9,5318179
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v\;..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45badb8975eb45ef69deb21ea6214b57b25b1283) |
9,2201009
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf22115756db4a0bb5d8f261ff0e22b0c027eaa) |
8,7519188 |
|
3° 13′ 58,12″
|
![{\displaystyle \log e.................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6628f0a1efba50eba2f61453f0e0336d4caab0da) |
0,1010188
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} \mathrm {F} ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4361662114b39bc39fcd7f8038ec350f50becf80) |
9,0543366
|
|
9,1553554
|
![{\displaystyle e\operatorname {tang} \mathrm {F} ..............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c94adba16a95749bc62c8219a3e2da99699e864) |
0,14300638 |
|
C.![{\displaystyle \log \operatorname {hyp} \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3d05401a0abdbe14b489ba28eaaeda2f34c591) |
0,01342266
|
![{\displaystyle \log \operatorname {hyp\;tang} (45^{\circ }\!\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d57111e0f20ebc2fdd13bb884a27bc5ab7e775) |
0,11308666 |
|
C.![{\displaystyle \log \operatorname {hyp} \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f5b070686ed4e7ee79efe108e7c8c7f5dcf7c4) |
0,12650930
|
![{\displaystyle \mathrm {N} {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66b067329260762ae15228c3af90e862d5bd58e) |
0,02991972 |
|
différence ![{\displaystyle .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad117ae5290bede4ac79bf5584c2942d9c993197) |
0,11308664
|
|
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {N} ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f34b94fcaf15c46b1faa5cd521c1d8626a0306b) |
8,4759575
|
![{\displaystyle \log k.................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0764b60adf92c9615cc02733e7e6456b428f218f) |
8,2355814 |
|
différence ![{\displaystyle .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad117ae5290bede4ac79bf5584c2942d9c993197) |
7,3324914
|
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\log b...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7573e30d5b71dd7b064050d79be2774417dd1) |
0,9030900
|
|
|
|
![{\displaystyle \log t................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88914813da0aa6f67009cfbb8cc59bd990e4022) |
1,1433661
|
|
|
|
13,91445000
|
25
Pour la solution du problème inverse, déduire du temps l’anomalie
vraie et le rayon vecteur, la quantité auxiliaire
ou
peut
d’abord être obtenue d’après
au moyen de l’équation XI.
La résolution de cette équation transcendante s’effectuera par tâtonnements, et pourra être abrégée par des artifices analogues à ceux
que nous avons exposés dans l’art. 11. Mais nous négligeons d’expliquer ceci plus longuement ; on ne doit pas, en effet, considérer
comme très-utile de perfectionner avec soin, comme pour le mouvement elliptique, les principes relatifs au mouvement hyperbolique
dans les cieux où peut-être il ne s’est jamais montré ; on pourra, du
reste, résoudre tous les cas qui pourront accidentellement se présenter, par une autre méthode indiquée plus bas. Quand on aura trouvé
ou
s’en déduira par la formule III, et ensuite
sera déterminé
ou par la formule II ou par la formule VIII ; il sera encore plus commode d’obtenir en même temps
et
par les formules VI et VII ; on
pourra si l’on veut, dans la pratique, employer l’une ou l’autre des
autres formules pour s’assurer de l’exactitude du calcul.
26
Exemple.
et
étant les mêmes que dans l’exemple précédent,
soit
65,41236 ; on demande
et
En employant les logarithmes
de Briggs, nous avons
![{\displaystyle \log b..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66ca28c4b1b15572aeb29b4e6a2fcc331f1c3cd) |
1,8156598
|
![{\displaystyle \log \lambda kb^{-{\frac {3}{2}}}.....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f833c409124cb88bc0cba02e00b26c4a76056b) |
6,9702758
|
![{\displaystyle \log \mathrm {N} ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bca86f11e896537b86682269fc018dd99cb5fea) |
8,7889356 |
|
d’où 0,06108514
|
On trouve alors qu’on satisfait à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {N} =\lambda e\operatorname {tang} \mathrm {F} -\operatorname {logtang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0163c602b7d771caf42187b0c83aff9ca1e8da8c)
par
![{\displaystyle \mathrm {F} =25^{\circ }\,24'\,27''\!,66,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1127da01cad44db6665999bd7144b94a74e50ac)
d’où l’on a, par la formule III,
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb604bfc9018c467b2350991b5c873df0b2adfd6) |
9,3530120
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\psi ........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d54330b319a4feb3d27749a64af0d3eae2a1947) |
9,5318179
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca8686f1d6d04644b90bea901e628149259b50d) |
9,8211941
|
et par suite ![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba62ff3ba9645d29c0e9f9077bfb64fdb1729b) |
33° 31′ 29,89″
|
|
|
et ![{\displaystyle v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fab2ad337276ceff95169db37b96425158440a) |
67° 02′ 59,78″.
|
On a ensuite, d’après cela,
C. |
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12749d5b556bca9a07a96dfce6f2f66e8b13bc1) |
0,2137476
|
|
différence
|
0,1992279
|
C. |
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3987c5867f9d9153ceb07e7e7d6d0a94f5d9f41) |
0,0145197
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4f9ae2f87b560b5eadb382a0cc910d5c6a5cf3) |
0,1992280
|
|
![{\displaystyle \log {\frac {p}{2e}}.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc01d34bae7504f5620e67808c677149f16def55) |
9,9725868
|
|
![{\displaystyle \log r..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f549d3481af26d016ab5ee2b083e950a05eeab4) |
0,2008541
|
27
Si l’équation IV est différentiée en traitant
et
comme variables, on trouve
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}={\frac {\sin \psi \,dv+\sin v\,d\psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}={\frac {2\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv+{\frac {r\sin v}{p\cos \psi }}\,d\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b341563fcbf87cf639af44f963e1666420d13681)
En différentiant de même l’équation XI, on obtient la relation suivante entre les variations différentielles des quantités
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}=\left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du+{\frac {(u^{2}-1)\sin \psi }{2u\cos ^{2}\psi }}d\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c203bcb1413f553b5b5c0d1bf13616a9033633b2)
ou
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r}{bu}}\,du+{\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82eee62228caa94247f5aa38b8f9e455a4c35d0)
De là, en éliminant
à l’aide de l’équation précédente, nous obtenons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r^{2}}{b^{2}\operatorname {tang} \psi }}\,dv+\left(1+{\frac {r}{p}}\right){\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12d091ba84fa4f166b26699e15414f4268236bb)
ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}dv&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left({\frac {b}{r}}+{\frac {b}{p}}\right){\frac {\sin v\operatorname {tang} \psi }{\cos \psi }}\,d\psi \\&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left(1+{\frac {p}{r}}\right){\frac {\sin v}{\sin \psi }}\,d\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027ba0066445c3b2c10bb1e08b09505c9df0ef8e)
28
En différentiant l’équation X, relativement à
considérées
comme variables, en substituant
et éliminant
au
moyen de l’équation entre
et
donnée dans l’article précédent, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}dr={\frac {r}{b}}\,db&+{\frac {b^{2}e(u^{2}-1)}{2\lambda ur}}\,d\mathrm {N} \\&+{\frac {b}{2\cos ^{2}\psi }}\left[\left(u+{\frac {1}{u}}\right)\sin \psi -\left(u-{\frac {1}{u}}\right)\sin v\right]\,d\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8529122cc7786d6df105e84e1d038c04a1f2e0a8)
Le coefficient de
se change, au moyen de l’équation VIII, en
mais le coefficient de
en posant d’après l’équation IV,
et
se change en
![{\displaystyle {\frac {b\sin \psi \cos v}{\cos ^{2}\psi }}={\frac {p\cos v}{\sin \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d79b867ee3c7211c1f67ba8f5df27181ef7d9c3)
de sorte que l’on a
![{\displaystyle dr={\frac {r}{b}}\,db+{\frac {b\sin v}{\lambda \sin \psi }}\,d\mathrm {N} +{\frac {p\cos v}{\sin \psi }}\,d\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e9bca967ea54db50bdaa649e39b8c1bcf42d48)
Ensuite, tant que
est considéré comme fonction de
et
on a
![{\displaystyle d\mathrm {N} ={\frac {\mathrm {N} }{t}}\,dt-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {N} }{b}}\,db.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9c892ea07b4a46ac96bd12eb1684bfca1c7702)
En substituant cette valeur de
et aussi
de l’article précédent
seront exprimés en fonction de
et
Il faut du reste
répéter ici ce que nous avons dit plus haut, à savoir que si les variations
des angles
et
ne sont pas conçues, exprimées en parties du
rayon, mais en secondes, on devra diviser tous les termes qui contiennent
et
par
ou multiplier par ce nombre tous les
autres termes.
29
Puisque les quantités auxiliaires représentées par
dans
l’ellipse, prennent des valeurs imaginaires dans l’hyperbole, il ne
sera pas sans intérêt de rechercher leurs liaisons avec les quantités
réelles dont nous avons fait usage. Mettons donc en évidence
les principales relations, dans lesquelles nous désignons par
la quantité
imaginaire
![{\displaystyle \sin \varphi =e={\frac {1}{\cos \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8b88faa50bb87e4aca1c057a09139cbd94ef2d)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}=i{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}=i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b281429b0f317a1e328d020a0c941c45e3de6e)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varphi ={\frac {1}{2}}\operatorname {cotang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=-{\frac {i}{\sin \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac018fffab0883be9944963a1e8dfc9c4668adc)
![{\displaystyle \cos \varphi =i\operatorname {tang} \psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90404b5aeb824016f42a8b0b44c2957baf99292f)
![{\displaystyle \varphi =90^{\circ }\!\!+i\log(\sin \varphi +i\cos \varphi )=90^{\circ }\!\!-i\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\psi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee088f9358f91af4e9af22d0d52df05d3cfc968)
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {i(u-1)}{u+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1a5f471e349b2a53f7f16cd0b616f35a7e5999)
ou
|
|
|
ou
|
|
|
![{\displaystyle \cos \mathrm {E} ={\frac {1}{\cos \mathrm {F} }}={\frac {u^{2}+1}{2u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0995557f7b3789f534d5514350d1f4f898cf2c)
ou
|
|
|
![{\displaystyle \mathrm {M} =\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} =i\log u-{\frac {ie(u^{2}-1)}{2u}}=-{\frac {i\mathrm {N} }{\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac7a593955b0e4921bd61b9af00671052212a0e)
Dans ces formules les logarithmes sont hyperboliques(**).
30
Comme tous les nombres que nous extrayons des tables logarithmiques
et trigonométriques n’admettent pas une précision parfaite,
mais sont seulement approchés à un certain degré, les résultats
obtenus à la suite de tous les calculs effectués à l’aide de ces tables
ne peuvent être qu’approchés. Dans la plupart des cas, il est vrai,
les tables vulgaires exactes jusqu’à la septième décimale, c’est-à-dire
ne s’écartant jamais de la vérité au delà d’une demi-unité du septième
ordre, soit en plus, soit en moins, fournissent une précision plus que
suffisante pour que les erreurs inévitables soient complètement sans
conséquence. Néanmoins, il peut certainement arriver, que dans des
cas particuliers les erreurs des tables produisent des effets si considérables que nous soyons forcés de rejeter entièrement une méthode,
autrement la meilleure, pour lui en substituer une autre. Un cas semblable
peut aussi se présenter dans ces calculs que, jusqu’à présent,
nous avons expliqués ; c’est pourquoi, il ne sera pas étranger à notre
but de donner ici certaines recherches touchant le degré de précision
que permettent dans ces calculs les tables vulgaires. Mais comme
ce n’est pas ici le lieu d’épuiser un sujet si important pour le calculateur,
nous développerons seulement cette question d’une manière
suffisante pour notre but et pour que celui qu’elle intéressera
puisse la perfectionner davantage et l’étendre à toutes les autres
opérations.
31
Tout logarithme, sinus, tangente, etc. (ou généralement toute
quantité irrationnelle extraite des tables), est sujet à une erreur qui peut atteindre jusqu’à une demi-unité de la dernière figure décimale ;
nous désignerons cette limite de l’erreur par
limite qui,
dans les tables vulgaires, est égale à
Si le logarithme ne
se trouve pas immédiatement dans les tables, mais doit être déterminé
par interpolation, l’erreur peut, par une double cause, se trouver
un peu plus grande. Premièrement, en effet, relativement à la partie
proportionnelle, toutes les fois qu’elle n’est pas entière (la dernière
figure décimale étant considérée comme une unité), il convient
de prendre le nombre entier le plus près, soit en plus, soit en
moins ; on aperçoit facilement d’après cela que l’erreur ne peut être
doublée.
Mais nous ne devons pas considérer entièrement cette augmentation
de l’erreur, puisque rien n’empêche que nous n’ajoutions à cette
partie proportionnelle une autre figure décimale, et qu’on voit sans
peine que le logarithme interpolé, si la partie proportionnelle est
parfaitement exacte, n’est pas sujet à une erreur plus grande que les
logarithmes trouvés immédiatement dans les tables, en tant, il est
vrai, qu’il soit permis de considérer leurs variations comme uniformes.
Une autre augmentation de l’erreur vient de ce que cette
supposition n’est pas vraie en toute rigueur ; mais nous la négligeons
aussi parce que l’effet des différences secondes et des autres est,
dans presque tous les cas, entièrement sans conséquence (surtout si
relativement aux quantités trigonométriques on emploie les très-excellentes
tables que Taylor a dressées), et que l’on peut en avoir facilement
la valeur dans le cas où elle deviendrait, par hasard, un peu
plus considérable. C’est pourquoi nous faisons, dans tous les cas,
l’erreur maximum inévitable des tables
si toutefois l’argument
(c’est-à-dire le nombre dont on cherche le logarithme, ou l’angle
dont on veut le sinus) est obtenu avec une précision parfaite. Mais
si l’argument lui-même n’est connu qu’approximativement et qu’on
suppose qu’à l’erreur maximum à laquelle il peut être sujet réponde
une variation
du logarithme, etc. (laquelle peut être déterminée
par un rapport différentiel), l’erreur maximum du logarithme calculé
au moyen des tables peut aller jusqu’à
Réciproquement, si au moyen des tables on calcule l’argument
correspondant à un logarithme donné, son erreur maximum est égale
à la variation qu’il éprouve pour une variation
dans le logarithme,
si celui-ci est donné exactement, ou qui répond à la variation logarithmique
si le logarithme lui-même peut être affecté d’une erreur allant jusqu’à
Il est à peine besoin d’avertir que
et
doivent être affectés du même signe.
Si l’on fait la somme de plusieurs quantités exactes seulement
entre certaines limites, l’erreur maximum du résultat sera égale à
la somme des erreurs maxima individuelles, affectées des mêmes
signes ; par la même raison dans la soustraction de quantités approximativement
exactes, l’erreur maximum de la différence sera aussi
égale à la somme des erreurs maxima particulières. Dans la multiplication
ou dans la division d’une quantité non parfaitement exacte,
l’erreur maximum augmente ou diminue dans le même rapport que
la quantité elle-même.
32
Faisons maintenant l’application de ces principes aux plus utiles
des opérations expliquées ci-dessus.
I. Si, ayant employé la formule VII, article 8, pour calculer l’anomalie
vraie au moyen de l’anomalie excentrique dans le mouvement
elliptique,
et
sont supposés connus exactement, une erreur
peut être commise dans le
et dans le
et par suite, dans leur différence
une erreur
l’erreur
maximum dans la détermination de l’angle
sera donc
en désignant par
le module des logarithmes
employés dans ce calcul.
C’est pourquoi l’erreur à laquelle l’anomalie vraie
est sujette
devient, en l’exprimant en secondes,
si l’on emploie les logarithmes de Briggs à sept décimales ; de sorte
que nous pouvons toujours être certains de la valeur de
à
près ; si l’on se sert seulement des petites tables décimales à cinq
décimales l’erreur peut atteindre jusqu’à
II. Si
est calculé à l’aide des logarithmes, une erreur atteignant
jusqu’à
peut être commise ; la quantité
ou
sera donc soumise à la même erreur. En calculant par suite, le logarithme
de cette quantité, l’erreur peut atteindre
en désignant
par
la quantité
prise positivement ; l’erreur possible sur
atteint la même limite
pourvu que l’on suppose
exactement donné. Toutes les fois que l’excentricité est faible, la
quantité
est contenue dans d’étroites limites ; mais quand
diffère
peu de l’unité,
reste fort petit tant que
a une petite
valeur ;
peut donc alors atteindre une grandeur qu’on ne peut négliger ;
c’est pourquoi la formule III, article 8, est dans ce cas moins
convenable. La quantité
peut aussi être exprimée par
formule qui montre encore plus clairement, dans quel
cas il est permis de négliger l’erreur
III. En employant la formule X, art. 8, pour calculer l’anomalie
vraie au moyen de l’anomalie excentrique, le
sera sujet à
l’erreur
et par suite,
à l’erreur
de là on trouve que le maximum de l’erreur possible
dans la détermination de l’angle
ou de
est égal à
![{\displaystyle {\frac {\omega }{\lambda }}(7+\delta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\mathrm {E} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2e5bc60228bd9f361a9e33c478a200690ae350)
ou exprimée en secondes, et si l’on se sert de sept décimales
![{\displaystyle =(0''\!,166+0''\!,024\delta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\mathrm {E} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0617e3e1eb3523a2f65f8520b62d1e2ed9e8208)
Toutes les fois que l’excentricité est faible,
et
sont
de petites quantités ; c’est pourquoi cette méthode permet une plus
grande précision que celle que nous avons considérée dans le paragraphe 1.
Cette méthode-là devra au contraire être préférée quand
l’excentricité est très-grande et approche de l’unité, cas dans lequel
et
peuvent acquérir des valeurs considérables. Par nos formules, on pourra toujours décider laquelle de ces deux méthodes
doit être préférée.
IV. Dans la détermination de l’anomalie moyenne, d’après l’anomalie
excentrique, au moyen de la formule XII, art. 8, l’erreur sur
la quantité
calculée à l’aide des logarithmes, et par suite aussi
l’erreur sur l’anomalie moyenne
peut atteindre
limite
qui doit être multipliée par
si l’on veut qu’elle soit exprimée en secondes. De là, on peut facilement conclure que, dans
le problème inverse où
doit être obtenu par tâtonnements au
moyen de
peut être erronée, de la quantité
![{\displaystyle {\frac {3\omega e\sin \mathrm {E} }{\lambda }}.{\frac {d\mathrm {E} }{d\mathrm {M} }}.206265''={\frac {3\omega ea\sin \mathrm {E} }{\lambda r}}206265''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bdf22977499abca72ae4789d700d248443199d)
quoiqu’elle, satisfasse à l’équation
avec toute la
précision que les tables permettent.
L’anomalie vraie, calculée au moyen de l’anomalie moyenne, peut
donc être erronée pour deux raisons, en considérant toutefois l’anomalie
moyenne comme donnée exactement ; premièrement à cause
de l’erreur commise dans le calcul de
obtenu au moyen de
erreur
qui, ainsi que nous l’avons vu, est toujours d’une légère importance ;
secondement, parce que la valeur de l’anomalie excentrique
peut elle-même être erronée. L’effet de cette dernière cause
est représenté par l’erreur commise sur
multipliée par
ce
produit devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3\omega e\sin \mathrm {E} }{\lambda }}.{\frac {dv}{d\mathrm {M} }}.206265''&={\frac {3\omega e.a\sin v}{\lambda r}}206265''\\&=\left({\frac {e\sin v+{\dfrac {1}{2}}e^{2}\sin 2v}{1-e^{2}}}\right)0''\!,0712\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8003dd3f14c84d0113f70f6758bd6507a229166f)
si l’on emploie sept décimales. Cette erreur, toujours faible pour les
petites valeurs de
peut devenir très-grande toutes les fois que
cette quantité diffère peu de l’unité, comme le montre la table suivante,
qui donne la valeur maximum de cette expression pour certaines
valeurs de ![{\displaystyle e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555e31662b6063bc8e8afb6c4c83a46101db0cb9)
|
.erreur maximum.
|
|
.erreur maximum.
|
|
.erreur maximum.
|
0,90 |
0″,42
|
0,94 |
0″,73
|
0,98 |
02″,28
|
0,91 |
0″,48
|
0,95 |
0″,89
|
0,99 |
04″,59
|
0,92 |
0″,54
|
0,96 |
1″,12
|
00,999 |
40″,23
|
0,93 |
0″,62
|
0,97 |
1″,50
|
|
|
V. Dans le mouvement hyperbolique, si
est déterminé par la
formule III, art. 21, au moyen de
et
exactement connus, l’erreur
peut aller jusqu’à
mais si on le calcule par
la formule
et
étant donnés exactement,
la limite de l’erreur sera d’un tiers plus grande, c’est-à-dire
![{\displaystyle ={\frac {4\omega \sin v}{\lambda }}206265''=0''\!,09\sin v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfb6f95386db89a3f76e984664be0c315f44093)
pour sept décimales.
VI. Si, d’après la formule XI, art. 22, on calcule au moyen des logarithmes
de Briggs, la quantité
les quantités
et
ou
bien
et
étant supposées exactement connues, la première partie
sera sujette à l’erreur
si elle est calculée sous la
forme
ou à l’erreur
si elle est calculée
d’après l’expression
ou enfin, à l’erreur
si
l’on emploie l’expression
en négligeant à la vérité l’erreur
commise sur
ou
Dans le premier cas, l’erreur peut
être exprimée par
et dans le second par
d’où il est
évident que l’erreur sera toujours la plus petite dans le troisième cas,
mais sera plus grande dans le premier ou le second cas, selon que
ou
sera
ou
ou selon que
ou
Mais la seconde partie de
sera toujours sujette à l’erreur
VII. Réciproquement, il est clair que si
ou
est déterminé par
tâtonnements, au moyen de
devra être sujet à l’erreur
![{\displaystyle \left(\omega \pm 5e\omega \operatorname {tang} \mathrm {F} \right){\frac {du}{d\mathrm {N} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1065d429ffbf4d706a41b4393450f0a0f83272ff)
ou à
selon que le premier membre de la valeur de
est un produit de facteurs, ou exprimé en différents termes ; mais
sera sujet à l’erreur
Les signes supérieurs
conviennent après le périhélie, et les signes inférieurs avant le périhélie.
Si nous introduisons ici, à la place de
ou de
la quantité
on aura l’expression de l’erreur commise dans la détermination de
qui sera par conséquent
ou ![{\displaystyle {\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi (1+3e\sec \mathrm {F} )\omega }{r^{2}\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d0a63be8c97a12f3746a79a78c4498f2e8754)
si l’on s’est servi de la quantité auxiliaire
et qui deviendra au
contraire, si
a été employé,
![{\displaystyle {\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi (1\!\pm \!3e\operatorname {tang} \mathrm {F} )\omega }{\lambda r^{2}}}={\frac {\omega }{\lambda }}\!\left({\frac {(1\!+\!e\cos v)^{2}}{\operatorname {tang} ^{3}\psi }}\!\pm \!{\frac {3e\sin v(1\!+\!e\cos v)}{\operatorname {tang} ^{2}\psi }}\right)\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615f591137abaed5b5bedfd467a1e8a108b5cbe9)
Il faut ajouter le facteur 206205″, si l’erreur doit être exprimée en
secondes. Il est alors évident que cette erreur peut seulement devenir
considérable quand
est un angle petit, ou lorsque
est un peu
plus grand que 1. Voici les valeurs maxima de cette troisième expression,
pour certaines valeurs de
et dans le cas où l’on emploie des
logarithmes à sept décimales :
![{\displaystyle e\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8858304f1656291d4fb72b4f79a25e4a2d20a17) |
Erreur maximum.
|
1,300 |
0″,3400
|
1,200 |
0″,5400
|
1,100 |
1″,3100
|
1,050 |
3″,0300
|
1,010 |
34″,4100
|
1,001 |
1064″,6500
|
À cette erreur provenant de la valeur erronée de
ou de
il faut
ajouter celle déterminée dans V, afin d’avoir l’incertitude totale qui
doit exister sur
VIII. Si l’on résout l’équation XI, art. 22, par le secours des logarithmes hyperboliques(**),
ayant été choisie pour quantité auxiliaire,
l’effet de l’erreur possible, d’après cette opération, sur la détermination de
, est trouvée, par des raisonnements semblables, égale à
![{\displaystyle {\frac {(1+e\cos v)^{2}\omega '}{\operatorname {tang} ^{3}\psi }}\pm {\frac {3e\sin v(1+e\cos v)\omega }{\lambda \operatorname {tang} ^{2}\psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862b50ca11e7763d83d17af6a7e3f8b6a2734ce4)
où nous désignons par
l’erreur maximum dans les tables des logarithmes hyperboliques. La seconde partie de cette expression est
identique avec la seconde partie de l’expression donnée dans l’art. VII ;
mais la première partie est plus petite que la première de la même
relation dans le rapport de
à
c’est-à-dire dans le rapport de
à
si l’on peut supposer que la table d’Ursin est exacte partout
jusqu’à la huitième décimale, ou ![{\displaystyle \omega '=0,000000005.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6695c010ee9331e520c42bbe4a62c52fb7c6dd)
33
Dans ces sections coniques, dont l’excentricité diffère peu de l’unité,
c’est-à-dire dans les ellipses ou les hyperboles qui approchent de la
forme parabolique, les méthodes exposées ci-dessus, soit pour la détermination de l’anomalie vraie qui correspond à une époque donnée,
soit pour la détermination inverse[5], ne souffrent donc pas toute la
précision que l’on pourrait désirer ; puisque les erreurs inévitables
croissantes, à mesure que la forme de l’orbite se rapproche de celle
de la parabole, finissent même par dépasser toutes limites. Les
grandes tables, qui donnent plus de sept décimales, diminueraient,
il est vrai, cette incertitude, mais elles ne l’aboliraient pas ni n’empêcheraient qu’elle ne surpassât toutes limites dès que la forme de
l’orbite approcherait trop près de la parabole. De plus, les méthodes
enseignées ci-dessus deviennent, dans ce cas, assez incommodes, puisqu’une partie d’elles demande des essais indirects souvent répétés ;
l’ennui de ce désagrément est même plus grand si l’on opère d’après les grandes tables. Il ne sera donc pas superflu de donner une méthode spéciale à l’aide de laquelle on puisse éviter, dans ce cas, cette
incertitude et obtenir une précision suffisante avec le seul secours des
tables ordinaires.
34
La méthode vulgaire, à l’aide de laquelle on remédie habituellement à ces inconvénients, repose sur les principes suivants.
Dans une ellipse ou une hyperbole, dont
est l’excentricité,
le
demi-paramètre et par suite,
la distance périhélie, soit
l’anomalie vraie correspondant à un intervalle
écoulé depuis le passage
au périhélie ; soit aussi, pour ce même intervalle et dans une parabole dont le demi-paramètre
ou la distance périhélie
,
l’anomalie vraie correspondante ; la masse
étant négligée de
part et d’autre ou supposée égale. Il est clair qu’on doit alors avoir
![{\displaystyle \int {\frac {p^{2}dv}{(1+e\cos v)^{2}}}:\int {\frac {4q^{2}dw}{(1+\cos w)^{2}}}={\sqrt {\overset {}{p}}}:{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b706ee3cc103327ad6594871db95bdcc86b9c9d)
les intégrales étant prises depuis
et
; ou bien
![{\displaystyle \int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}dv}{(1+e\cos v)^{2}{\sqrt {2}}}}=\int {\frac {2\,dw}{(1+\cos w)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049486b3e25f8ba1b1189e632e80015854c2a653)
En désignant
par
et
par
, on trouve pour la première intégrale
![{\displaystyle {\sqrt {(1\!+\!\alpha )}}\left[\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}(1\!-\!2\alpha )-{\frac {1}{5}}\theta ^{5}(2\alpha \!-\!3\alpha ^{2})+{\frac {1}{7}}\theta ^{7}(3\alpha ^{2}\!-\!4\alpha ^{3})-{\text{etc.}}\right]\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5628d5a506158df66bcabf4a0d4fefa9926747d)
La dernière égale ![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48afa663fc19c715394489865fdf88ee5ff855)
Il est facile de déterminer, au moyen de ces équations,
d’après
et
et
d’après
et
par le secours des séries infinies ; on peut,
si cela convient mieux, introduire à la place de
l’expression
![{\displaystyle 1-e={\frac {2\alpha }{1+\alpha }}=\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8755fb8a420d4aa1cb32f4f8cbbfd6d77a4a1942)
Comme il est évident que pour
ou
on a
ces séries
prendront la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}w&=v&{}+{}&\delta v'&{}+{}&\delta ^{2}v''&{}+{}&\delta ^{3}v'''.&&\dots \dots \;{\text{etc.}},\\v&=w&{}+{}&\delta w'&{}+{}&\delta ^{2}w''&{}+{}&\delta ^{3}w'''&&\dots \dots \;{\text{etc.}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df820d875d2853516f04a40f2984d2ba3ef4d193)
où
seront des fonctions de
et
des fonctions
de ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Toutes les fois que
est une quantité très-petite, ces séries convergent promptement et quelques termes suffisent pour déterminer
au moyen de
, ou
au moyen de
. On obtiendra
d’après
, ou
au moyen de
, de la manière que nous l’avons expliqué ci-dessus
pour le mouvement parabolique.
35
Notre Bessel a développé les expressions analytiques des trois
premiers coefficients
,
,
de la seconde série, et a en même
temps ajouté, pour les valeurs numériques des deux premiers
et
,
une table construite avec l’argument
de degré en degré (Correspondance astronomique du baron de Zach, vol. XII, page 197). On
possédait déjà, pour le premier coefficient
, une table construite
par Simpson et annexée à l’ouvrage de l’illustre Olbers, dont plus
haut nous avons fait l’éloge. Dans la plupart des cas, cette méthode,
avec le secours de la table de Bessel, permet de déterminer, d’une
manière suffisamment précise, l’anomalie vraie au moyen du temps.
Ce qui reste encore à désirer se réduit presque à ces quelques remarques :
I. Dans le problème inverse, à savoir : déterminer le temps d’après
l’anomalie vraie, il faut avoir recours à une méthode quasi-indirecte
et déterminer
, connaissant
, à l’aide de tâtonnements. Pour obvier
à cet inconvénient, on devra traiter la première série comme la seconde, et puisqu’il est facile de s’apercevoir que
est la même
fonction de
que
est de
, de telle sorte que la table relative à
,
étant changée de signe, puisse servir pour
, on n’aura plus alors
besoin que de la table relative à
pour pouvoir résoudre l’un et
l’autre problème avec une égale précision.
II. Il peut certainement se présenter quelquefois des cas où l’excentricité diffère, il est vrai, assez peu de l’unité pour que les méthodes
générales exposées ci-dessus ne paraissent pas donner une précision
suffisante, mais en diffère trop cependant, pour qu’il soit permis de
négliger, dans la méthode spéciale que nous venons d’indiquer, l’effet
de la troisième puissance de
, ainsi que des puissances supérieures.
Dans le mouvement hyperbolique principalement, il peut se présenter des cas, où soit qu’on se serve des premières méthodes ou de
la dernière, on ne puisse éviter une erreur de plusieurs secondes,
lorsqu’on emploie seulement les tables vulgaires à sept décimales.
Mais, quoique les erreurs de ce genre se présentent rarement dans
la pratique, on trouverait certainement qu’il existe une lacune s’il
n’était pas permis de déterminer, dans tous les cas, l’anomalie vraie
à 0″,1 ou 0″,2 près, si ce n’est en employant les grandes tables,
qui, par le fait, sont reléguées dans les livres très-rares. Nous espérons donc qu’on ne considérera pas comme entièrement superflue
l’exposition de la méthode particulière dont nous nous servons
depuis longtemps, et qui se recommande aussi par la raison qu’elle
n’est pas seulement limitée aux excentricités peu différentes de l’unité,
mais qu’elle souffre au moins à cet égard une application générale.
36
Avant de commencer l’exposition de cette méthode, il convient de
faire observer que l’incertitude des méthodes générales développées ci-dessus, relativement aux orbites dont la forme s’approche de la forme
parabolique, cesse de soi-même dès que
ou
atteint une grande
valeur, ce qui, en vérité, arrive seulement dans les grandes distances
de l’astre au Soleil. Pour le faire voir, mettons l’erreur maximum
possible dans l’Ellipse que par l’art. 32, IV, nous avons trouvée
, sous la forme
il
est alors évident de soi-même que l’erreur est toujours circonscrite
dans d’étroites limites, dès que
acquiert une valeur considérable, ou
que
se rapproche davantage de l’unité, quelle que grande que
soit l’excentricité. Ceci paraîtra encore plus clair par la table suivante, dans laquelle nous donnons la valeur numérique de cette expression pour quelques valeurs déterminées de
(d’après les logarithmes à sept décimales) :
10° |
erreur maximum 3″,04
|
20° |
erreur maximum »0″,76
|
30° |
erreur maximum »0″,34
|
40° |
erreur maximum »0″,19
|
50° |
erreur maximum »0″,12
|
60° |
erreur maximum »0″,08
|
Il en est de même pour l’hyperbole, ainsi que cela se voit immédiatement, en mettant l’expression donnée dans l’art. 32, VII, sous la
forme
![{\displaystyle {\frac {\omega \cos \mathrm {F} (\cos \mathrm {F} +3e\sin \mathrm {F} ){\sqrt {e^{2}-1}}}{\lambda (e-\cos \mathrm {F} )^{2}}}206265''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b24baa98b70dd853caa07ba578abf5ed224fdb2)
.
La table suivante donne les valeurs maxima de cette expression
pour quelques valeurs particulières de
|
|
ERREUR maximum
|
10°
|
1,192
|
0,839
|
8″,66
|
20° |
1,428 |
0,700 |
1″,38
|
30° |
1,732 |
0,577 |
0″,47
|
40° |
2,144 |
0,466 |
0″,22
|
50° |
2,747 |
0,364 |
0″,11
|
60° |
3,732 |
0,268 |
0″,06
|
70° |
5,671 |
8,176 |
0″,02
|
Toutes les fois donc que
ou
dépasse
ou
(cas qui ne se
rencontre pas facilement pour les orbites peu différentes de la parabole, parce qu’alors les astres qui décrivent de pareilles courbes se
dérobent le plus souvent à nos regards à cause de leur grande distance au Soleil) il n’y a aucune raison d’abandonner la méthode générale. Au reste, dans ce cas-là, les séries que nous avons employées
dans l’art. 34, convergeraient trop lentement : on peut donc ne point
regarder comme un défaut de la méthode que nous allons maintenant expliquer, qu’elle s’applique particulièrement aux cas dans
lesquels
ou
ne dépasse pas encore des valeurs modérées.
37
Reprenons, dans le mouvement elliptique, l’équation entre l’anomalie excentrique et le temps
![{\displaystyle \mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ={\frac {kt(1+\mu )}{a^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8a3044400ab6df00f0a7617164a81eddca5117)
dans laquelle nous supposons
exprimé en parties du rayon. Nous négligeons dès à présent, le facteur
si jamais le cas se présentait où il deviendrait utile d’avoir égard à ce terme, la lettre
ne devrait pas indiquer l’intervalle même écoulé depuis le passage de
l’astre au périhélie, mais cet intervalle multiplié par
. Désignons ensuite par
la distance périhélie, et à la place de
et
de
, introduisons la quantité
![{\displaystyle \mathrm {E} -\sin \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11641a3c00e69b5d53d2f5de0c1a6c2f6a73cd0)
,
et
![{\displaystyle \mathrm {E} -{\frac {1}{10}}(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} )={\frac {9}{10}}\mathrm {E} +{\frac {1}{10}}\sin \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6059538ee84d5611568e25db6413d72019fc209e)
;
le lecteur attentif découvrira immédiatement, d’après ce qui suit,
pourquoi nous choisissons particulièrement ces expressions. Notre
équation prend alors la forme suivante :
![{\displaystyle (1\!-\!e)\left({\frac {9}{10}}\mathrm {E} \!+\!{\frac {1}{10}}\sin \mathrm {E} \right)\!+\!\left({\frac {1}{10}}\!+\!{\frac {9}{10}}e\right)\left(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} \right)=kt\left({\frac {1\!-\!e}{q}}\right)\!^{\frac {3}{2}}\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7951de499dff4a0c02098d07984083ea7cf99275)
En tant qu’on considère
comme une petite quantité du premier
ordre,
… etc.
sera une quantité du premier ordre, et au contraire,
![{\displaystyle \mathrm {E} -\sin \mathrm {E} ={\frac {1}{6}}\mathrm {E} ^{3}-{\frac {1}{120}}\mathrm {E} ^{5}+{\frac {1}{5040}}\mathrm {E} ^{7}-{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d2c9de1b2485f6df4e8182aa3d3a64367dfcee)
… etc.
sera une quantité du troisième ordre.
En posant donc,
![{\displaystyle {\frac {6(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} )}{{\dfrac {9}{10}}\mathrm {E} +{\dfrac {1}{10}}\sin \mathrm {E} }}=4\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a752441c94c0ebdf5b844da965c84a4431aba70)
,
![{\displaystyle {\frac {{\dfrac {9}{10}}\mathrm {E} +{\dfrac {1}{10}}\sin \mathrm {E} }{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}=\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e78c5cd606d76f5e4dd60020de87d819c09)
,
… etc… sera une quantité du second
ordre, et
… etc… différera de l’unité d’une
quantité du quatrième ordre.
Mais notre équation devient, par là,
[1]
|
|
|
Par les tables trigonométriques vulgaires,
peut,
à la vérité, être calculé avec une précision suffisante, mais pas cependant
toutes les fois que
est faible ; on ne pourrait donc
pas, de cette manière, calculer assez exactement les quantités
et
Mais une table particulière donnant
ou son logarithme, au moyen
de l’argument
, ferait disparaître cette difficulté ; les moyens nécessaires pour construire une telle table se présenteront facilement
celui qui est même médiocrement versé dans l’analyse.
À l’aide de l’équation
![{\displaystyle {\frac {9\mathrm {E} +\sin \mathrm {E} }{20\mathrm {B} }}={\sqrt {\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6dfa053d8780a19cc62337384030c02c032ac6)
on pourrait déterminer
, et ensuite
au moyen de la formule [1],
avec toute la précision désirable.
Voici le spécimen d’une pareille table, qui montrera au moins la
lente augmentation de
; comme nous devons indiquer plus loin
des tables d’une forme beaucoup plus commode, il serait superflu de
donner plus d’extension à celle-ci :
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8) |
|
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8) |
|
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8) |
|
00° |
0,0000000
|
25° |
0,0000168
|
50° |
0,0002675
|
05° |
0,0000000
|
30° |
0,0000349
|
55° |
0,0003910
|
10° |
0,0000004
|
35° |
0,0000645
|
60° |
0,0005526
|
15° |
0,0000022
|
40° |
0,0001099
|
|
|
20° |
0,0000069
|
45° |
0,0001758
|
|
|
38
Il ne sera pas inutile d’éclaircir par un exemple les méthodes enseignées dans l’article précédent.
Supposons l’anomalie vraie , l’excentricité
,
.
Voici maintenant le calcul pour obtenir
et
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e0305bc1b833baf7326658f9771917aceb4764) |
0,0761865
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}v.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c02a6f6f70cfb55eaaff4d3c868d1eabf5d19c3) |
9,1079927
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \,............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4190c88c39f8b5210b24c11443546e345953d856) |
9,1841792
|
d’où
|
et
|
|
À cette valeur de
correspond
on trouve
ensuite, en parties du rayon,
![{\displaystyle \mathrm {E} =0,3032928}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d89a9bc212ce8cd877c0de7cd6174c72e5c03fb)
,
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} =0,2986613}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb517694bb551a63cc61f66ac9a41bec54c0e223)
,
d’où
![{\displaystyle {\frac {9}{20}}\mathrm {E} +{\frac {1}{20}}\sin \mathrm {E} =0,1514150}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194069437d2707ec1a103aa0b29865adc38af31e)
,
dont le logarithme
, et par suite,
.
On déduit de là, par la formule [1] de l’article précédent,
![{\displaystyle \log {\frac {2\mathrm {B} q^{\frac {3}{2}}}{k{\sqrt {(1-e)}}}}..\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b20313ba08549273808dcf0b4c1adee254a79b) |
2,4589614 |
|
![{\displaystyle \log {\frac {2\mathrm {B} (1+9e)}{15k}}\left({\frac {q}{1-e}}\right)^{\frac {3}{2}}..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f99c9c25809f57f5dd8dc498518cd24ebc1834) |
3,7601038
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd46ef9ea13a133a8c09a3b490bd1f2207acfd1) |
9,1801649 |
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5d4a654be0806c4580ca026f8f270bd0e8e959) |
7,5404947 |
|
![{\displaystyle \log }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc) |
43,56386 |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
1,6391263 |
|
19,98014 ![{\displaystyle ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ce09f8c7108098d86b3346c94a9a3f74e6c695) |
1,3005985 |
|
|
19,98014
|
|
63,54400 |
|
En traitant le même exemple d’après la méthode ordinaire, on
trouve
en secondes,
d’où
anomalie moyenne
De là et au moyen de
on obtient
. La différence
qui est seulement ici la
partie d’un jour, eût pu facilement
devenir trois ou quatre fois plus grande par l’union de toutes les
erreurs.
Il est au reste évident que, par le seul moyen d’une telle table
relative à
le problème inverse peut aussi être résolu, avec
une entière précision, en déterminant
par des essais répétés de
manière que la valeur de
calculée avec cette valeur de
s’accorde avec celle de
proposée. Mais cette manière d’opérer serait assez
incommode ; c’est pourquoi nous allons maintenant faire voir de
quelle manière on peut disposer beaucoup plus commodément la
table auxiliaire, éviter entièrement des essais incertains, et réduire
tout le calcul à un algorithme extrêmement élégant et rapide, qui
semble ne rien laisser à désirer.
39
On voit immédiatement que presque la moitié du travail qu’exigent
ces tâtonnements, peut être supprimée si la table est disposée de manière
que l’on puisse y trouver immédiatement
avec l’argument
Il ne reste plus alors que trois opérations : la première indirecte,
à savoir : la détermination de
telle qu’elle satisfasse à
l’équation [1] de l’art. 37 ; la seconde, la détermination de
d’après
et
et qui se fait directement, ou par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {E} =2\mathrm {B} \left(\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{15}}\mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13cd6181f418128a9011a58873d4e6c8c36fd376)
,
ou par celle-ci,
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} =2\mathrm {B} \left(\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{5}}\mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ee091978c8219441e93da8d62bc93732b1521d)
;
la troisième est la détermination de
, d’après
qui s’effectue au
moyen de l’équation VII, art. 8.
Nous réduirons la première opération à un algorithme rapide, et
nous la dégagerons d’essais incertains ; nous réunirons également la
seconde et la troisième en une seule opération en insérant dans notre
table une nouvelle quantité
, au moyen de laquelle nous n’aurons
entièrement plus besoin de
, et nous obtiendrons en même temps
pour le rayon vecteur une formule élégante et commode.
Nous transformerons d’abord, l’équation [1] de manière que pour
sa résolution on puisse employer la table Barkérienne. Nous posons
dans ce but,
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w{\sqrt {\frac {5-5e}{1+9e}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb9f68bf8c5ac85a517ebbea0e9f8d1a432dcb1)
d’où l’on a
![{\displaystyle 75\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w+25\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}w={\frac {75kt{\sqrt {\left({\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {9}{5}}e\right)}}}{2\mathrm {B} q^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\alpha t}{\mathrm {B} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661265cc2e02c9b96a7e4c007d15337f4e79d8ab)
,
en désignant par
la constante
.
Si donc
était connu,
pourrait immédiatement être obtenu au
moyen de la table Barkérienne, qui donne l’anomalie vraie à laquelle
répond le mouvement moyen
; de
on trouvera
par la formule
en désignant par
la constante
. Maintenant
quoique
se déduise finalement de
au moyen de notre table auxiliaire, on peut cependant prévoir qu’en raison de son peu de différence avec l’unité, on peut obtenir
et
affectés seulement d’une
légère erreur, si, dans une première opération, on néglige entièrement
le diviseur
. Nous déterminerons donc d’abord approximativement
et
en posant
; avec cette valeur approchée de
nous
extrairons de notre table auxiliaire la valeur de
avec laquelle nous
recommencerons plus exactement le même calcul. Le plus souvent, excepté dans le cas où la valeur de
serait déjà très-considérable, à
cette valeur de
, ainsi corrigée, correspondra entièrement la même
valeur de
obtenue au moyen de la valeur approchée de
; de
sorte que la répétition du calcul sera inutile. Au reste, on a à peine
besoin d’avertir que si par hasard on connaît de quelque autre manière que ce soit une valeur approchée de
(ce qui aura toujours
lieu toutes les fois que devant calculer plusieurs positions peu
distantes l’une de l’autre, l’une ou l’autre est déjà déterminée), il
faudra se servir d’abord de cette valeur dans la première approximation ; de cette manière, le calculateur adroit n’aura le plus souvent
besoin de refaire le calcul qu’une fois. Nous avons pu obtenir cette
prompte approximation parce que la différence de
avec l’unité est
seulement une quantité du quatrième ordre, multipliée en outre par
un coefficient numérique très-petit ; on peut donc maintenant comprendre l’avantage qu’on se préparait en introduisant les quantités
,
à la place de
et de
40
Puisque pour la troisième opération, c’est-à-dire la détermination
de l’anomalie vraie, l’angle
lui-même n’est pas demandé, mais seulement
ou plutôt
, on pourrait facilement réunir
cette opération à la seconde si notre table fournissait immédiatement
le logarithme de la quantité
qui diffère de l’unité d’une
quantité du second ordre. Nous avons préféré cependant disposer notre
table d’une manière quelque peu différente à l’aide de laquelle, quoique ayant moins d’extension, nous pourrons interpoler d’une manière
beaucoup plus commode. En écrivant, par abréviation,
à la place de
, la valeur de
donnée dans l’article 37,
se change facilement, en
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {T} -{\dfrac {6}{5}}\mathrm {T} ^{2}+{\dfrac {9}{7}}\mathrm {T} ^{3}-{\dfrac {12}{9}}\mathrm {T} ^{4}+{\dfrac {15}{11}}\mathrm {T} ^{5}-\dots \mathrm {etc.} }{1-{\dfrac {6}{15}}\mathrm {T} +{\dfrac {7}{25}}\mathrm {T} ^{2}-{\dfrac {8}{35}}\mathrm {T} ^{3}+{\dfrac {9}{45}}\mathrm {T} ^{4}-\dots \mathrm {etc.} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dbc838d54f8a9ea7093d533a18abb63ba4753d)
dans laquelle la loi de formation des termes est facile.
En développant en séries, on déduit de là
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1\!-\!{\frac {4}{5}}\mathrm {A} \!+\!{\frac {8}{175}}\mathrm {A} ^{2}\!+\!{\frac {8}{525}}\mathrm {A} ^{3}\!+\!{\frac {1896}{336875}}\mathrm {A} ^{4}\!+\!{\frac {28744}{13138125}}\mathrm {A} ^{5}\!+\!\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e5df139972bf4e7a3bb3b89619cf019436b208)
En posant donc,
,
sera une quantité du quatrième ordre, laquelle est contenue dans notre table ; nous pourrons immédiatement passer de
à
par la formule,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}.{\sqrt {\frac {\mathrm {A} }{1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}}={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e024d710d6110d68d9ee3d2a692ee0990a4e6d0c)
en désignant par
la constante
. De cette manière nous
obtenons en même temps une formule très-commode pour le rayon
vecteur. On trouve en effet (art. 8, VI),
![{\displaystyle r={\frac {q\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {q}{(1+\mathrm {T} )\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1+{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbe94e39a99b6438ef8387f857c0a8c0050ccba)
.
41
Il ne reste plus maintenant qu’à réduire aussi en un algorithme
plus rapide le problème inverse, c’est-à-dire déterminer le temps
d’après l’anomalie vraie ; à cet effet, nous avons ajouté à notre table
une colonne nouvelle relative à
On calculera donc d’abord
au
moyen de
, par la formule
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1-e}{1+e}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc3f1f4060221d9c1b82e37949f8b25e53c91a0)
;
on extraira ensuite de notre table, au moyen de l’argument
et
ou (ce qui est plus exact, et même aussi plus commode),
et
et de là
par la formule
on obtiendra enfin
à l’aide de
et
par la formule [1], art. 37. Si l’on veut aussi employer ici la table Barkérienne, qui cependant dans ce problème inverse est d’un moindre secours pour le calcul, on n’a pas besoin de
recourir à
mais on a aussitôt
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1+\mathrm {C} }{\gamma \left(1+{\dfrac {4}{5}}\mathrm {T} \right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edfefefafeb99f536eb76cd8abf2e88e227b64d)
et de là le temps
, en multipliant le mouvement moyen qui correspond, dans la table Barkérienne, à l’anomalie vraie
, par la quantité ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed773bc77eab735d12d396c7ee734acc0d707114)
42
Nous avons annexé à cet ouvrage la table (table I) que nous avons
décrite jusqu’ici, en lui donnant une étendue convenable. La première
partie concerne seulement l’ellipse ; nous expliquerons plus loin
l’autre partie, qui se rapporte au mouvement hyperbolique. L’argument de la table, qui est la quantité
est donné de millième en
millième depuis
jusqu’à
en regard se trouvent
et
exprimés en
mes, c’est-à-dire qu’il faut sous-entendre sept
figures décimales dont les premières, qui précèdent les chiffres significatifs, sont supprimées ; la quatrième colonne donne enfin la quantité
calculée d’abord avec cinq décimales et ensuite avec six,
précision qui suffit largement, puisque cette colonne sert seulement
pour avoir les valeurs de
et de
qui correspondent à l’argument
, toutes les fois que, d’après la méthode donnée dans l’article
précédent, on veut obtenir
d’après
.
Puisque le problème inverse, qui se présente beaucoup plus fréquemment dans la pratique, c’est-à-dire, déterminer
et
connaissant
le temps
, doit être entièrement résolu sans le secours de
, nous
avons mieux aimé prendre
pour argument de notre table que
,
qui, sans cela, eût été un argument presque aussi convenable, et,
de plus, aurait facilité tant soit peu la construction de la table. Il ne
sera pas inutile de prévenir que tous les nombres de la table ont
d’abord été calculés avec dix décimales, et par suite qu’on peut se
fier en toute sûreté aux sept chiffres que nous donnons ici ; mais nous
ne pouvons nous arrêter ici aux méthodes analytiques employées
pour ce travail, parce qu’un développement convenable de ces méthodes nous détournerait trop de notre sujet. Enfin, l’étendue de
la table suffit pleinement pour tous les cas où l’on se sert de la méthode exposée jusqu’ici, puisque au delà de la limite
, à
laquelle répond
ou
on peut, ainsi qu’on l’a
vu plus haut, s’abstenir facilement des méthodes artificielles.
43
Pour éclaircir davantage les recherches précédentes, nous ajoutons
un exemple de calcul complet de la détermination de l’anomalie vraie
et du rayon vecteur connaissant le temps
, exemple pour lequel
nous reprenons les données de l’art. 38. Nous supposons donc
d’où nous déduisons d’abord les constantes
On a d’après cela,
auquel répond, dans la table
de Barker, la valeur approchée de
, d’où l’on déduit
et à l’aide de notre table,
De là, l’argument corrigé, avec lequel il faut entrer dans la table de Barker,
devient
auquel correspond
Le calcul ultérieur se fait ensuite de la manière suivante :
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} ^{2}{\tfrac {1}{2}}w...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d659f3650ecf733b50ed24cc1b19d892669687a) |
0,1385931
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}w..............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d1a5a26fb31b284eeb9397698171d5ee289d7c) |
0,0692967
|
|
![{\displaystyle \log \beta ...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d0199f25222b403b85f4488bf11bb009f08338) |
8,2217364
|
|
![{\displaystyle \log \gamma ....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b48dd752bcd76d3ca4bae423ac4147e00b30e6) |
0,0028765
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9e4d15c281a647709c665f7d930620e452302a) |
8,3603298
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {comp^{t}} \log(1-{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0323913aaec9e2aa5589d8feafe41c03440684) |
0,0040143
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866a81b9ed63c9b6f0651cb9c44632bc0d2d5544) |
0,02292608
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e72d88709c5ca28bc3e4f976606f024935dd65) |
0,0761865
|
est d’après cela, le même que précédemment ;
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba62ff3ba9645d29c0e9f9077bfb64fdb1729b) |
50° 0′ 00″
|
|
![{\displaystyle v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fab2ad337276ceff95169db37b96425158440a) |
100° 0′ 00″
|
|
![{\displaystyle \log q.....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479b12fded76be1bfc018615dbc1566c37e343fd) |
9,7656500
|
![{\displaystyle \mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e3d92278c367f7244e6e0d4f89c5887a4f814) |
0,0000212
|
![{\displaystyle 1-{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89576510c271e6816a4217f6ae07df106116c23a) |
0,9816833
|
|
![{\displaystyle 2\mathrm {comp^{t}} \log \cos {\tfrac {1}{2}}v........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4bb627d9ee556d1aee4ecb114aa37a9608d03c) |
0,3838650
|
![{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bdd395a1e46c1b6c72a2d2173fa56c9b1d47d3) |
1,0046094
|
|
![{\displaystyle \log(1-{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ).........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554a4e818fd8899e89a3641e1a9c2d19ffb16d1f) |
9,9919714
|
|
|
![{\displaystyle \mathrm {comp^{t}} \log(1+{\tfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} )\,..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0096fcf8124edd2ed51c7ece0b89871d341c5cc) |
9,9980028
|
|
![{\displaystyle \log r.....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c691110ac7b50f0fdc3b7344fc9979de80d661) |
0,1394892
|
Si l’on négligeait entièrement dans ce calcul le facteur
, l’anomalie vraie se trouverait seulement affectée (en excès) de la petite erreur
.
44
Nous pourrons terminer plus brièvement le mouvement hyperbolique, puisqu’il peut être traité par une méthode entièrement analogue à celle que nous avons exposée jusqu’à présent pour le mouvement elliptique. Nous présentons l’équation entre le temps et la
quantité auxiliaire
sous la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(e-1)\left[{\frac {1}{20}}\left(u-{\frac {1}{u}}\right)+{\frac {9}{10}}\log u\right]&\\+\left({\frac {1}{10}}+{\frac {9}{10}}e\right)\left[{\frac {1}{2}}\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u\right]&=kt\left({\frac {e-1}{q}}\right)^{\frac {3}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9fd4749171f994b27fb9b76ddd9f9d9b16c6d1)
dans laquelle les logarithmes sont hyperboliques,
![{\displaystyle {\frac {1}{20}}\left(u-{\frac {1}{u}}\right)+{\frac {9}{10}}\log u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191a61979ef8ec74f2c2240d7b145e7e850596aa)
une quantité du premier ordre, et
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7259e9554edf836363b30f8c9bc891b2ff4906e5)
une quantité du troisième ordre, du moment que l’on considère
comme une petite quantité du premier ordre. En posant donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {6\left[{\dfrac {1}{2}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)-\log u\right]}{{\dfrac {1}{20}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)+{\dfrac {9}{10}}\log u}}&=4\mathrm {A} ,&{\frac {{\dfrac {1}{20}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)+{\dfrac {9}{10}}\log u}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}&=\mathrm {B} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29278df6cdda67f3a37259e4a811ae6cf35a5c5)
sera une quantité du second ordre, et
différera de l’unité d’une
quantité du quatrième ordre. Notre équation prend alors la forme
suivante :
[2]
|
|
|
équation entièrement analogue à l’équation [1] de l’art. 37.
En posant ensuite
sera du second ordre, et l’on
trouvera par la méthode des développements en séries,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1\!+\!{\frac {4}{5}}\mathrm {A} \!+\!{\frac {8}{175}}\mathrm {A} ^{2}\!-\!{\frac {8}{525}}\mathrm {A} ^{3}\!+\!{\frac {1896}{336875}}\mathrm {A} ^{4}\!-\!{\frac {28744}{13138125}}\mathrm {A} ^{5}\!+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9dec1b7e07fe9007675a437264a681a496397f6)
…etc.
C’est pourquoi, en posant
,
sera une quantité
du quatrième ordre, et l’on aura
De l’équation VII,
art. 21, on déduira enfin facilement, pour le rayon vecteur,
![{\displaystyle r={\frac {q}{(1-\mathrm {T} )\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {\left(1+{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1-{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4a71cc5fefb358b9f64b30d31d347dbb8d2145)
45
La seconde partie de la première table annexée à cet ouvrage concerne le mouvement hyperbolique, ainsi que nous l’avons déjà dit,
et donne, d’après l’argument
(commun aux deux parties de la
table), le logarithme de
et la quantité
avec sept figures décimales,
(les chiffres précédents étant omis), mais la quantité
avec cinq, et
ensuite six chiffres décimaux. Cette seconde partie s’étend, comme
la première, jusqu’à
, auquel correspond
,
ou
,
une plus grande étendue
eût été superflue (art. 36).
Voici maintenant l’ordre du calcul, soit pour la détermination du
temps d’après l’anomalie vraie, soit pour la détermination de l’anomalie vraie d’après le temps. Pour le premier problème, on a
par
la formule
au moyen de
notre table donnera
et
d’où l’on déduira
de là enfin, on trouvera
par la formule [2] de l’article précédent.
Dans le problème inverse, on calculera d’abord les logarithmes
des constantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {75k{\sqrt {\left({\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {9}{5}}e\right)}}}{2q^{\frac {1}{2}}}},\\[0.75ex]\beta &={\frac {5e-5}{1+9e}},\\[0.75ex]\gamma &={\sqrt {\frac {5e+5}{1+9e}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede8a836d260f77a2feb0ba89106965febd8c68)
On déterminera alors
, au moyen de
, entièrement de la même
manière que dans le mouvement elliptique ; c’est-à-dire que par
le fait, l’anomalie vraie
correspondra, dans la table de Barker, au
mouvement moyen
et qu’on doit avoir
on obtiendra d’abord la valeur approchée de
en négligeant le facteur
ou en employant sa valeur estimée, si l’on en a les moyens ; de là
notre table fournira une valeur approchée de
avec laquelle on recommencera le calcul ; la nouvelle valeur de
ainsi trouvée souffre
rarement une correction sensible, et il n’est pas alors nécessaire
de refaire le calcul. Au moyen de la valeur corrigée de
on déduit
de la table, après quoi l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\dfrac {\gamma \operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w}{\sqrt {1+{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}}&r&={\frac {\left(1+{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1-{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0493b6d9b3e1b8efd7b3ef6ed6c336382f9a5627)
.
Il est évident, d’après cela, qu’il n’existera entièrement aucune différence entre les formules relatives au mouvement elliptique et celles
relatives au mouvement hyperbolique, pourvu que, dans le mouvement hyperbolique, nous traitions
et
comme des quantités
négatives.
46
Il ne paraîtra pas inutile d’éclaircir aussi par quelques exemples
le mouvement hyperbolique ; nous reprenons, dans ce but, les nombres des articles 23 à 26.
I. Soient
,
,
on
demande le temps
nous avons
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5031835404ca8230a5650128648dac90c8ec7913) |
8,4402018
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {T} ....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83a4e5c954735b7d98c6d6875735dbd4d989d64) |
7,5038375
|
|
![{\displaystyle \log {\frac {e-1}{e+1}}........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edecaf19c23369cdafe08eac06b8f83870f585e) |
9 0636357
|
|
![{\displaystyle \log(1+\mathrm {C} )...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405b4c7602aac6081e459b3ccb43353e1e40172e) |
0,0000002
|
|
![{\displaystyle \mathrm {C} .\log(1-{\tfrac {4}{5}}\mathrm {T} )...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a630ce06645ca9f7013f3efc4dbaee473a75c4d4) |
0,0011099
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {T} ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961819471560762924ede6ac83b2743601d89808) |
7,5038375
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ....................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34838ad17fe427a29532e8119e62afd562f0d61d) |
7,5049476
|
![{\displaystyle \mathrm {T} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f036645504ea811272211e26e856fb79f76cfe2d) |
0,00319034
|
![{\displaystyle \log \mathrm {B} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2562178863750b4f7dea5dcf758afc58e053ed77) |
0,0000001
|
![{\displaystyle \mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e3d92278c367f7244e6e0d4f89c5887a4f814) |
0,0000005
|
|
![{\displaystyle \log {\frac {2\mathrm {B} q^{\frac {3}{2}}}{k{\sqrt {e-1}}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5541bedce06d03c387e8afbe8213b82a9f1b2477) |
2,3866444
|
|
![{\displaystyle \log {\frac {2\mathrm {B} (1+9e)}{15k}}\left({\frac {q}{e-1}}\right)^{\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f059e23b4195d589cf97f6e90e32604b130edf4) |
2,8843582
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa06935763e81b3d7962ec5fe7f5be538173043) |
8,7524738
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}..................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07bfc05765f68fa9b426443dbc8fec467651b2e6) |
6,2574214
|
|
13,77584 |
![{\displaystyle =...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bd6a41de3578c6f3602e6e7ccecf022f26c7d5) |
1,1391182
|
|
0,138605 ![{\displaystyle =...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75287156ae7a0ca9c766f404b97ab64589ae889d) |
9,1417796
|
0,13861
|
13,01445 |
|
II.
et
conservant les mêmes valeurs que précédemment, on
demande
et
, connaissant
; nous trouvons pour logarithmes des constantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \alpha &=9,9758345\\\log \beta &=9,0251649\\\log \gamma &=9,9807646\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b33249c9c583418f3728f59ab9ec1d55b8caaa)
On a ensuite,
, d’où l’on trouve au moyen de
la table de Barker, une valeur approchée de
et de
là,
À cette valeur de
correspond, dans notre table,
d’où
, et la valeur corrigée de
Les autres opérations du calcul se font comme
il suit :
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}w....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddd7b5bebf58b99d02057702bd3da507f87e914) |
9,6989398
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}w.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfca5c5a4f9edbc5084bd1cba273d76b7175fe3) |
9,8494699 |
|
|
![{\displaystyle \log \beta ...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d0199f25222b403b85f4488bf11bb009f08338) |
9,0251649
|
|
![{\displaystyle \log \gamma ................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129bef7d8b59e00c89862cbc0b860069027b468c) |
9,9807646
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {A} ...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131a028634d7b2eac2091c587ab489801ed70ddd) |
8,7241047
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {c^{t}} \log(1+{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c63c4cc8627cfec6007dc5bd006ad745a84ea0) |
9,9909602
|
![{\displaystyle \mathrm {A} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddd9994064c7dcdd79547509c8ff8b2eb50474c) |
0,05297911
|
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![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8319b3c2bcdd156d6212e767386900a9acab2cbd) |
9,8211947
|
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comme précédemment ;
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![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba62ff3ba9645d29c0e9f9077bfb64fdb1729b) |
33° 31′ 30,02″
|
![{\displaystyle \mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e3d92278c367f7244e6e0d4f89c5887a4f814) |
0,0001252
|
![{\displaystyle v={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fab2ad337276ceff95169db37b96425158440a) |
67° 03′ 00,04″
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![{\displaystyle 1+{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c2702ddf2deb23bcf0516ada221e31a0bcee24) |
1,0425085
|
|
![{\displaystyle \log q................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2affcbf3b6dd296e1b7bd0c930cd15d7290eb2d1) |
0,0201657
|
![{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed448d94dc9f4ee3b1a1b072715744aa48c75d02) |
0,9895294
|
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![{\displaystyle 2\mathrm {c^{t}} \log \cos {\tfrac {1}{2}}v........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8574c879e445419e927df12e83aa52d2e73073d) |
0,1580378
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![{\displaystyle \log(1+{\tfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} )....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84608a19ae6f59d2f770d234af50229341d58302) |
0,0180796
|
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![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} \log(1-{\tfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} )..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c02d6a0ac099a0a1eb739e4ca91a7f67ef7c4) |
0,0045713
|
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![{\displaystyle \log r................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c65cdefa9f8297dc96596a461515a0a36776a8) |
0,2008544
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Les valeurs que nous avons précédemment trouvées (art. 26),
et
sont moins exactes, et l’on
devrait trouver exactement
valeur supposée avec
laquelle celle de
a été calculée, au moyen des grandes tables.