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Thermodynamique (Poincaré)/Chapitre IV

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Gauthier-Villars (Réimpression 1995 par les Éditions Jacques Gabay) (p. 56-75).



CHAPITRE IV.


LE PRINCIPE DE L'ÉQUIVALENCE.


______



50. Les hypothèses moléculaire[modifier]

S’il est présumable que la théorie des ondulations en Optique n’est pas étrangère à l'évolution des idées de Carnot sur la chaleur, les admirables travaux de Physique mathématique entrepris à cette époque par Laplace, Cauchy, Lamé, Poisson, Fourier paraissent avoir exercé la même influence sur les contemporains et successeurs de Carnot.

Dans ces travaux les corps sont considérés comme formés de molécules matérielles agissant les unes sur les autres suivant les droites qui les joignent deux à deux, et d'après une loi ne dépendant que de la distance; de plus l’action égale la réaction; en un mot, les forces moléculaires sont supposées centrales.

Sans discuter ici la légitimité de cette hypothèse, nous allons montrer qu’elle conduit au principe de l’équivalence. C’est la certainement l’explication de la découverte simultanée de ce principe par Mayer, Joule et Colding.


51. Énergie interne d’un système isolé. — Considérons un système de corps matériels isolé. Deux sortes de forces agissent sur ce système : les forces sensibles s’exerçant à distance, et les forces moléculaires s’exerçant entre molécules à des distances très petites. Les unes et les autres étant supposées centrales admettent une fonction des forces et, par conséquent, ainsi que nous l’avons démontré (7), il y a conservation de l’énergie dans ce système. Soient la fonction des forces dues aux forces qui s’exercent à distance sensible, celle qui est due aux forces moléculaires, qui ne sont sensibles qu’à des distances infiniment petites. L’énergie potentielle totale sera .

Un théorème bien connu de Mécanique nous apprend que la force vive d’un corps est égale à la somme de la force vive de translation (c’est-à-dire de la force vive qu’il aurait si toute sa masse était concentrée en son centre de gravité) et de la force vive due au mouvement relatif du corps par rapport à son centre de gravité. Décomposons alors notre corps en éléments de volume très petits d’une manière absolue, mais contenant un très grand nombre de molécules. Soient la demi-force vive de translation d’un de ces éléments, la demi-force vive due à son mouvement relatif par rapport à son centre de gravité. Soient


les sommations étant étendues à tous les éléments ; la demi-force vive totale sera , et le principe de la conservation de l’énergie donnera


ou, en désignant par la somme des deux sortes d'énergie moléculaire et de l’énergie potentielle sensible,

La quantité U est appelée l'énergie interne du système : elle dépend nécessairement des positions relatives des molécules des corps et de leurs vitesses. Dans la plupart des applications, V est négligeable, ce qui permet d’écrire

La quantité U est accessible à l’expérience, ainsi qu’on le verra plus clairement plus loin ; mais nous n’avons aucun moyen, même en admettant la légitimité de l'hypothèse des forces centrales dont nous déduisons ici les conséquences, de calculer séparément et .

52. Nature des forces de frottement[modifier]

Il arrivera en général que dans le système considéré s’exerceront des forces de frottement. Ces forces dépendant des vitesses de leurs points d’applications ne peuvent pas admettre de fonction des forces. Mais, dans l’hypothèse que nous examinons ici, ces forces de frottement ne seraient que des forces apparentes, et les forces réelles qui produiraient les effets que nous leur attribuons seraient des forces moléculaires centrales. Ces forces réelles ne dépendraient donc pas des vitesses des molécules, mais seulement de leurs positions, et admettraient une fonction des forces.

53. Extension du principe de la conservation de l’énergie[modifier]

Dans l’hypothèse que nous examinons ici, la chaleur ne serait que la manifestation des mouvements moléculaires ; la température d’un corps (et il en serait de même en général de toutes les variables qui définissent son état thermique) serait une fonction dépendant seulement des positions de ses diverses molécules et de leurs vitesses.

Généralisant cette hypothèse, nous pourrons supposer que tout état physique d’un corps, tel que son état d’électrisation, résulte de la nature des mouvements moléculaires. Alors l’état physique des corps du système peut varier sans qu’il cesse d’y avoir conservation de l’énergie.

Ainsi les principes généraux de la Mécanique conduisent à la démonstration du principe de la conservation de l'énergie lorsqu’on admet que les forces de frottement et l’état physique d’un corps résultent des actions moléculaires, et que ces actions sont centrales.

Si donc un système quelconque est soustrait à toute action extérieure, on aura, comme nous l’avons vu plus haut,


Si ce système est soumis à l’action des forces extérieures et que représente le travail de ces forces pendant une transformation infiniment petite du système, on aura (voir § 8) :

54. Équivalence du travail et de la chaleur[modifier]

Appliquons ce principe, ainsi entendu, à un système de corps qui décrivent un cycle, où l’on fait varier non seulement leurs positions et leurs vitesses, mais leur état thermique, mais dont un seul, un calorimètre, peut, quand le cycle est entièrement parcouru, avoir changé d’état thermique. Faisons subir à ce système une série quelconque de transformations pendant lesquelles les corps ne peuvent ni céder ni emprunter de chaleur à l’extérieur du système, mais peuvent soit échanger entre eux de la chaleur, soit produire ou absorber du travail ; de plus, supposons qu’à la fin de cette série de transformations les corps reprennent leur état thermique, leurs positions et leurs vitesses primitives, à l’exception du calorimètre qui reprendra sa position et sa vitesse initiale, mais dont la température aura pu changer. Dans ces conditions, la variation de l'énergie totale du système se réduit à la variation de l’énergie interne du calorimètre, et elle est égale au travail produit par les forces extérieures; nous avons donc

Supposons que l’état thermique du calorimètre ne dépende que de sa température ; c’est ce qui arrivera, par exemple, si le calorimètre se réduit à une certaine masse d’eau sous pression constante.

L’énergie interne U du calorimètre est une fonction de sa température  ; en outre, elle est évidemment proportionnelle à la masse du corps calorimétrique ; soit n cette masse exprimée en kilogrammes ; nous pouvons poser

Si est l’élévation de température du calorimètre résultant des transformations du système, nous avons


Mais, si nous supposons que le corps calorimétrique est l’eau, représente la quantité de chaleur nécessaire à cette élévation de température, c’est-à—dire la quantité de chaleur absorbée par le calorimètre. En remplaçant par , nous aurons


et par conséquent

Si nous faisons , nous obtenons . Cette dérivée est donc la quantité de travail correspondant à un développement d’une quantité de chaleur de 1 cal dans le système considéré ; on l’appelle l’équivalent mécanique de la chaleur et on la désigne par .

55.[modifier]

Faisons observer que la fonction ne dépend nullement de la manière dont le système se transforme, ni de la nature de ses transformations puisqu’elles sont supposées quelconques. De plus, la quantité de chaleur qui entre dans l’égalité précédente aurait la même valeur si nous prenions pour corps calorimétrique un autre corps que l’eau, ou de l’eau à une température différente, puisque nous avons vu (18) que la mesure des quantités de chaleur ne dépend pas de la nature du corps calorimétrique ; par conséquent, le quotient ne peut dépendre de ce corps. En un mot, ou est une constante absolue.

Cette invariabilité de constitue précisément le principe de l'équivalence ; il est donc démontré, sous les mêmes conditions que le principe de la conservation de l'énergie d’où nous l’avons déduit. On conçoit qu’au milieu de ce siècle, où l’hypothèse des forces centrales était généralement admise, plusieurs savants aient pu être simultanément conduits à admettre ce principe et à en chercher la vérification expérimentale.

56. Détermination expérimentale de l’équivalent mécanique de la chaleur[modifier]

Les expériences effectuées dans le but de déterminer la valeur de l’équivalent mécanique de la chaleur sont nombreuses et variées ; nous rappellerons seulement le principe de quelques unes d’entre elles[1].


Expériences de Joule — Les premières furent entreprises par Joule en 1843, à l’aide de plusieurs dispositifs.

Dans l’un d’eux l’élévation de température du calorimètre résulte du frottement de l’eau qu’il contient sur elle-même et sur des palettes de laiton portées par un axe vertical animé d’un mouvement de rotation. Ce mouvement est obtenu par la chute d’un poids. Considérons le système formé par le calorimètre et les palettes. Ce système reçoit de l’extérieur un travail égal à celui de la pesanteur sur le poids qui tombe, diminué du travail employé à augmenter la force vive de ces poids et de celui qui est absorbé par le frottement des poulies de transmission et par le frottement de l’axe portant les palettes sur le collier qui le maintient. L’évaluation du travail transformé en force vive s'effectue facilement en mesurant la vitesse de chute du poids, chute qui ne tarde pas a être uniforme ; d’ailleurs ce travail n’est qu’une fraction très faible de celui qui est transformé en chaleur et l’incertitude qu’il peut y avoir dans son évaluation n’enlève aucune précision à la méthode. Le travail absorbé par les frottements des poulies est beaucoup plus important et en même temps son évaluation beaucoup plus délicate ; aussi ne peut-on compter sur une approximation plus grande que dans la mesure du travail transformé en chaleur. Quant à la quantité Q de chaleur absorbée par le calorimètre, elle peut être évaluée à près environ. Le nombre trouvé par Joule dans ces conditions est 424,9 kilogrammètres.

En remplaçant l’eau du calorimètre par du mercure, Joule a obtenu 425 kilogrammètres.

Dans d’autres expériences, faites à la même époque, le développement de chaleur résultait du frottement de deux pièces de fonte tronconiques l’une sur l’autre. Le travail correspondant était évalué comme précédemment. Le nombre trouvé diffère peu de ceux que nous venons de citer.

57. Nouvelles expériences de Joule[modifier]

En 1878, Joule entreprit de nouvelles déterminations. Comme dans la première de celles que nous venons de rappeler, la chaleur résulte du frottement de l’eau sur elle-même et sur des palettes de laiton ; le mode de production et d’évaluation du travail transformé en chaleur est différent. Ce travail est fourni par l’opérateur, qui fait tourner les palettes en agissant sur une manivelle. Son évaluation s’obtient par le dispositif suivant : le calorimètre est supporté par un flotteur lui permettant de tourner autour de son axe ; il peut ainsi prendre un mouvement de rotation sous l’influence du mouvement de l’eau qu’il contient ; deux cordons tendus par des poids et s’enroulant en sens inverse dans une gorge creusée à la partie supérieure du calorimètre s’opposent à cette rotation.

Considérons le système formé par le calorimètre, les cordons tendus qui le maintiennent, les palettes et la portion de l’axe qui plonge dans le calorimètre. Nous pouvons faire abstraction de l’appareil moteur et regarder le mouvement de l’axe comme résultant de l’action d’un couple. C’est le travail de ce couple qui représente le travail fourni au système par les forces extérieures.

Supposons la vitesse de régime atteinte. Alors la dérivée par rapport au temps de la somme des moments des quantités de mouvements pris par rapport à l’axe de rotation est nulle. Par suite, la somme des moments des forces appliquées au système pris par rapport au même axe est nulle. Nous avons donc, en appelant le couple qui fait tourner l’axe, et les tensions des cordons qui maintiennent le calorimètre, et le rayon de la gorge sur laquelle sont enroulés les cordons,


et par suite

Or le premier membre de cette égalité représente le travail du couple de rotation, c’est-à-dire le travail fourni au système. Son évaluation revient donc à la mesure du nombre de tours effectués par l’axe, nombre qui est donné par un compteur, à celle du rayon de la gorge et à celle des poids qui tendent les cordons ; elle peut donc être faite avec une précision plus grande que dans les expériences antérieures. Joule a encore obtenu, comme moyenne de cinq séries d’expériences, 425 kilogrammètres pour l’équivalent mécanique de la chaleur.

58. Expériences de M. Rowland[modifier]

Par suite de la faible quantité de travail fournie pendant l’unité de temps, il fallait, dans les expériences précédentes, un temps assez long pour obtenir une élévation sensible de la température du calorimètre. C’est une mauvaise condition pour l’exactitude de la correction relative au refroidissement. D’autre part, cette élévation était mesurée par un thermomètre à mercure non comparé au thermomètre à air aujourd’hui choisi pour définir les températures. Enfin la disposition des ailettes ne permettait pas de laisser constamment le thermomètre dans le calorimètre et les lectures de température ne se faisaient qu’au commencement et à la fin de chaque expérience.

M. Rowland a montré que, si l’on rapporte les indications du thermomètre de Joule à celles du thermomètre à air, le nombre trouvé par ce physicien pour l'équivalent mécanique de la chaleur doit être un peu augmenté.

En 1879, M. Rowland entreprit de nouvelles expériences dans le but de remédier aux autres défauts que nous venons de signaler dans le dispositif de Joule et obtenir ainsi une détermination plus exacte de .

Le travail transformé en chaleur est fourni par un petit moteur à pétrole qui fait mouvoir l’axe portant les palettes.

Cet axe pénètre dans le calorimètre par le fond, et sa partie supérieure, plongée dans ce calorimètre, s’évase en cône percé de trous.

Dans ce cône on place un thermomètre qui peut alors rester dans cette position pendant toute la durée d’une expérience. Par une courbure convenable donnée aux ailettes, l’eau est constamment ramenée dans ce cône, de sorte que le thermomètre indique bien la température moyenne du calorimètre. Comme dans les dernières expériences de Joule, le calorimètre peut prendre un mouvement autour de son axe par suite du mouvement de l’eau ; un frein de Prony s’oppose à cette rotation. L’évaluation du travail fourni au système formé par le calorimètre, le frein qui le maintient et la portion de l’axe qui plonge dans le calorimètre s’effectue donc exactement comme précédemment ; il est facile de voir qu’il est donné par le produit .


étant le nombre de tours effectués par l’axe pendant un temps déterminé, la longueur du levier du frein à l’extrémité duquel est appliquée la force .

À des intervalles de temps rapprochés, on notait et l’élévation de température ; on en déduisait le travail fourni pendant cet intervalle et la quantité de chaleur correspondante absorbée par le calorimètre ; le rapport de ces deux quantités donnait . On pouvait ainsi faire un grand nombre de déterminations successives sans arrêter l’appareil. La moyenne de ces déterminations est 428 kilogrammètres.

59. Invariabilité de E[modifier]

Les expériences que nous venons d’indiquer sont celles qui donnent avec la plus grande exactitude. Mais beaucoup d’autres déterminations de cette quantité, quoique moins exactes, ont une grande importance parce qu’elles montrent que la valeur de ne dépend pas de la série des transformations par lesquelles passe le système. Citons-en quelques-unes.

Dans une de ses premières expériences, Joule prenait un corps de pompe plein d'eau fermé à sa partie supérieure par un piston, en matière poreuse, que l’on pouvait faire descendre en le chargeant de poids. L’eau en passant à travers les pores du piston s'échauffait. Le travail dépensé pour produire cet échauffement était donné par le travail de la pesanteur sur les poids Joule trouva ainsi 424,6.

Hirn reprit cette méthode sous une forme un peu différente. L’eau passe sous pression d’un vase dans un second à travers un tube capillaire. Il obtint le nombre 433.

Les expériences dans lesquelles Hirn évaluait la quantité de chaleur résultant de la chute d’un poids par l’élévation de température éprouvée par une masse de plomb écrasée par ce poids lui fournirent le nombre 425, identique à celui obtenu par Joule dans ses meilleures expériences. Cependant dans ces expériences, outre le calorimètre, un des corps du système, le plomb, ne revient pas à son état primitif puisque ce métal est déformé. Les conditions admises dans la démonstration (54) de l’invariabilité de E ne sont donc pas réalisées dans le cas qui nous occupe. Aussi ces expériences de Hirn doivent-elles être considérées moins comme une vérification du principe de l’équivalence que comme une preuve de la petitesse de la variation de l'énergie interne du plomb lorsque ce métal s’écrouit. Avec un autre métal le résultat eût certainement été très différent.

Enfin rappelons les expériences faites en 1870 par M. Violle. Un disque de cuivre tournant entre les pôles d’un puissant électro-aimant s’échauffe par suite des courants d’induction dont il est le siège. La quantité de chaleur développée s’obtient au moyen d’un calorimètre dans lequel on plonge le disque ; la quantité de travail fournie est évaluée par la chute d’un poids qui fait mouvoir le disque, M. Violle a ainsi obtenu 435.

Les nombres 424,6, 433, 425, 435 fournis par ces diverses expériences ne diffèrent entre eux que du de leur valeur environ. Comme cette fraction est certainement plus petite que l’approximation sur laquelle il est permis de compter, on peut considérer ces résultats comme une bonne vérification de l’invariabilité du nombre .

60. Le principe de l’équivalence considéré comme principe expérimental[modifier]

La marche que nous venons de suivre dans l’exposé du principe de l’équivalence est conforme au développement historique de la théorie thermodynamique ; mais elle ne saurait nous satisfaire aujourd’hui, car elle offre le grave inconvénient de faire reposer la démonstration de ce principe sur l’hypothèse que les forces moléculaires sont centrales. Or rien ne nous prouve que cette hypothèse soit exacte, puisque nous ne pouvons en contrôler la justesse que par l’exactitude de conséquences éloignées qui, peut-être, pourraient tout aussi bien résulter d’une hypothèse toute différente sur la nature des forces moléculaires. Aussi est-il préférable d’abandonner la marche historique et de considérer les expériences précédentes, non comme une vérification d’un principe démontré, mais, au contraire, comme la démonstration expérimentale du principe de l’équivalence. Cette manière d’envisager ce principe, aujourd’hui généralement adoptée, présente l’avantage de ne faire aucune hypothèse sur la constitution moléculaire des corps.

Nous regarderons donc comme démontrée par l’expérience la proposition suivante :

Si un système de corps après avoir décrit un cycle de transformations revient a son état initial, le travail fourni au système par les forces extérieures est égal au produit de la quantité de chaleur cédée par le système par un coefficient constant, .

Si donc est le travail des forces extérieures pendant une transformation infiniment petite et si est la quantité de chaleur absorbée par le système, l’intégrale


quand le système décrit un cycle fermé.

Donc


est une différentielle exacte.

Si nous désignons par la demi-force vive du système nous pourrons donc poser


étant une certaine fonction que nous appellerons énergie interne du système.

Nous avons dit plus haut, au n° 18, que la quantité de chaleur mesurée était indépendante du corps calorimétrique. Ce fait expérimental n’est qu’un cas particulier du principe de l'équivalence ; et en effet, s’il ne se vérifiait pas, la mesure de l’équivalent mécanique de la chaleur dépendrait du corps calorimétrique employé ; cet équivalent ne pourrait donc être constant.

61.[modifier]

Remarque — Si l’on suppose que les vitesses des corps reprennent leurs valeurs initiales à la fin de la transformation, ou si les vitesses sont négligeables, comme il arrivera le plus souvent, la relation précédente devient

Dans cette relation et dans toutes celles que nous avons écrites jusqu’ici, l’énergie interne est supposée exprimée au moyen de l’unité de travail, le kilogrammètre. Souvent, cette forme de l’énergie est exprimée en calories ; dans ce cas sa valeur est égale au quotient de sa valeur en kilogrammètres par l’équivalent mécanique de la chaleur. Si nous désignons encore par U son expression en calories, il faudra donc, dans les formules qui précèdent, remplacer par  ; nous avons alors pour la dernière de ces formules


ou, en désignant par l’inverse de l’équivalent mécanique de la chaleur,

62. Nouvelles méthodes de vérification du principe de l'équivalence[modifier]

La considération d’un système non isolé au point de vue thermique nous fournit deux nouveaux modes de vérification du principe de l’équivalence.

Si nous supposons que tous les corps du système reviennent, à la fin de la transformation, dans leur état physique initial, est nul, et la relation précédente devient


et par suite

Ainsi l’équivalent mécanique de la chaleur est égal au quotient, changé de signe, du travail fourni au système par la quantité de chaleur également fournie au système ; la mesure de ces deux quantités permettra donc de calculer et, par suite, de vérifier si le nombre ainsi trouvé concorde avec celui obtenu dans les expériences rappelées précédemment.

Un autre mode de vérification consiste à calculer en exprimant que la quantité

est une différentielle exacte. Il faut encore évaluer la quantité de chaleur et la quantité de travail fournies au système pendant une transformation élémentaire, mais les corps du système ne sont plus assujettis à reprendre leur état thermique initial.

L’application de ce mode de vérification du principe de l’équivalence à un système ne comprenant qu'un seul corps, un gaz, sera l’objet du Chapitre suivant.

63. Expériences de Hirn sur les machines à vapeur[modifier]

Parmi les expériences qui se rapportent au premier mode de vérification, rappelons les expériences de Hirn sur les machines à vapeur.

Soient la chaleur empruntée à la chaudière par l’eau qui se transforme ; le travail produit par cette eau en agissant sur le piston ; , la chaleur cédée au condenseur, et , celle qui est perdue par rayonnement.

La quantité de chaleur fournie à l’eau pendant les transformations qu’elle accomplit est alors


le travail qui lui est fourni est . Si donc nous supposons que l’eau revient à son état initial, nous devons avoir

La connaissance de quatre quantités est donc nécessaire pour le calcul de E. La valeur de 1 se déduit de la surface

Fig. 7. à insérer

ABCDE (fig. 7) du diagramme d’un indicateur de Watt [2], et du nombre de coups de piston produits pendant la durée de l’expérience. La valeur de est calculée par la formule de Regnault pour la chaleur latente de

, et du nombre de coups de piston produits pendant</ref> vaporisation de l’eau :


est le poids d’eau vaporisée pendant la durée de l’expérience ; , la température de la chaudière, et , celle de l’eau d’alimentation. Le poids est obtenu en mesurant le poids d’eau fourni au condenseur et le poids qui en sort ; ce dernier étant , la soustraction des deux mesures donne .

La mesure des températures et de l’eau fournie au condenseur et de l’eau qui en est rejetée permet de calculer par la formule


qui exprime que la quantité de chaleur cédée est employée à élever de à le poids d’eau introduit . Quant à , comme on n’a aucun moyen d’en évaluer la valeur, on le néglige.

Par suite de cette approximation les nombres trouvés pour sont nécessairement trop faibles. Dans deux séries d’expériences, Hirn a obtenu 413 et 420,4. La différence avec les résultats des meilleures déterminations est dans le sens prévu. La vérification est donc bonne.

Remarquons que les calculs précédents supposent que l’eau revient à son état initial à la fin de l'expérience; il faudrait donc que la température de l’eau sortant du condenseur soit égale à la température de l’eau d’alimentation de la chaudière. Pratiquement il serait très difficile de maintenir à une température assignée d’avance l’eau évacuée du condenseur. Mais il n'est pas nécessaire de remplir cette condition ; il suffit de ne pas tenir compte dans de la chaleur empruntée ou cédée à la chaudière par l’eau d’alimentation pour faire passer sa température de à . C’est alors comme si l’on supposait l’eau d’alimentation prise au condenseur et le cycle décrit par cette eau est bien un cycle fermé. Il faudra donc dans la formule qui donne remplacer par . Hirn n’a peut-être pas fait cette correction ; d’ailleurs elle est sans importance sur le résultat des expériences, l’erreur provenant de ce qu’on néglige étant beaucoup plus grande que celle qui résulterait de l’oubli de cette correction.



  1. Pour la partie expérimentale, consulter : Lippmann, Cours de Thermodynamique professé à la Sorbonne, et les Traités classiques.
  2. L’indicateur de Watt se compose d'un cylindre en communication avec le corps de pompe de la machine et dans lequel se meut un piston K pressé à sa partie supérieure par un ressort. La déformation de ce ressort étant proportionnelle à l’effort qui s’exerce sur lui, le déplacement du piston K (fig. 8) sera proportionnel à la pression de la vapeur dans le corps de pompe de la machine. Le mouvement du piston est transmis par la bielle QS à un système formé par deux balanciers AB et CD mobiles autour des points A et C et liés par la bielle rigide BD. Le milieu de cette bielle, où l'on place un crayon, décrit une courbe à longue inflexion, sensiblement une droite verticale, et les déplacements de ce point sont proportionnels aux déplacements du piston K.
    Fig. 8. à insérer
    Le crayon inscrit son mouvement vertical sur une feuille de papier enroulée sur un cylindre auquel, au moyen de poulies et de courroies, on communique un mouvement de rotation alternatif dont la vitesse angulaire est proportionnelle à la vitesse linéaire du piston de la machine.
    En déroulant la feuille de papier on obtient un diagramme tel que ABCD (fig. 7) dont les ordonnées sont proportionnelles à la pression de la vapeur agissant sur le piston et dont les abscisses sont proportionnelles au déplacement de ce piston, c’est-à-dire au volume occupé par la vapeur. L'aire ABCDE est donc proportionnelle à l’intégrale , c'est-à-dire au travail de la vapeur pendant un coup de piston. La connaissance du coefficient de proportionnalité, qui se déduit des dimensions des divers organes de transmission de mouvement de l’indicateur, permet donc de calculer ce travail ; c'est ce qu'on appelle le travail indiqué.