Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/08

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 60-69).

CHAPITRE VIII.

PROBLÈMES SUR LA MESURE DES DISTANCES INACCESSIBLES.

45. Problème I. — Mesurer la hauteur d’une tour dont le pied est accessible.

Soit SA la hauteur verticale à mesurer (fig. 16). On place le graphomètre en un point B, tel que la distance BA ne diffère pas trop de la hauteur SA.

Fig. 16.

On établit le limbe de l’instrument dans un plan vertical passant par le point S, en rendant en même temps horizontale l’alidade fixe qui donne alors la direction horizontale cD, le point c étant le centre de l’instrument. On dirige ensuite l’alidade mobile vers le point S, et on détermine au moyen de l’arc ab l’angle ScD. On mesure en outre la distance cD, en portant la chaîne horizontalement sur le sol dans la direction BA.

On connaît ainsi dans le triangle rectangle ScD le côté cD et l’angle ScD ; on pourra donc calculer le côté SD. Au résultat trouvé, il faudra encore ajouter la hauteur DA du point D au-dessus du sol.

46. Problème II. — Trouver la hauteur d’une montagne.

Soit SH la hauteur verticale du sommet S au-dessus de la plaine (fig.17). On prendra deux points A et B dont on mesurera la distance, en ayant soin que

Fig. 17.

cette distance ne diffère pas trop des distances SA, SB. Le graphomètre étant placé en A, et un jalon planté en B, on met le limbe de l’instrument dans une position telle que son plan passe par S et par D ; puis alignant l’alidade fixe vers D dans une direction horizontale, et l’alidade mobile vers S, on mesure l’angle SCD. On mesure de même en ce point l’angle SCK en plaçant verticalement le limbe de l’instrument, de manière que son plan passe encore par S, que l’alidade fixe soit dans la direction horizontale CK et l’alidade mobile dans la direction CS. En transportant l’instrument au point B, on mesure l’angle SDC comme on a mesuré l’angle SCD.

On connaît ainsi dans le triangle SCD le côté CD et les deux angles adjacents ; on pourra donc calculer le côté SC. Or ce côté est l’hypoténuse du triangle rectangle SCK dans lequel on connaît encore l’angle SCK. On pourra donc calculer le côté SK, auquel on ajoutera la hauteur KH ou CA pour avoir la hauteur demandée.

47. Problème III. — Trouver la distance de deux points inaccessibles.

Considérons les deux points A et B (fig. 18) situés par exemple au-delà d’une rivière. On mesure sur le terrain une base CD des extrémités de laquelle

Fig. 18.

on puisse apercevoir distinctement les points A et B.

Avec le graphomètre placé en D, on mesure les deux angles CDB, CDA, et en C les angles ACD, ACB et BCD. Il faut observer que les quatre points A, B, C, D pouvant ne pas se trouver dans un même plan, l’angle BCD n’est pas toujours égal à la différence des angles ACD, ACB.

Dans le triangle ACD, le côté CD et les angles ACD, ADC étant connus, on pourra calculer le côté AC. Dans le triangle BCD, le côté CD et les angles BCD, BDC étant connus, on pourra calculer de même le côté BC.

Ainsi, dans le triangle ABC, on connaît les côtés AC, BC et l’angle ACB compris entre eux ; on pourra donc calculer le côté AB qui est la distance demandée.

Remarque. Pour obtenir le côté AB, il n’est pas absolument nécessaire de connaître la longueur des côtés AC et BC ; il suffit d’avoir leurs logarithmes.

En effet, dans le triangle ABC, désignons comme à l’ordinaire les trois angles par A, B, C, et les côtés qui leur sont opposés par a, b, c. On a, d’après le n^o 41 :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {a-b}{a+b}}$.

Divisant le numérateur et le dénominateur du second membre par a, on trouve :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {1-{\frac {b}{a}}}{1+{\frac {b}{a}}}}$.

Comme la tangente d’un angle peut prendre toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’infini quand l’angle varie depuis 0° jusqu’à 90° on peut, quel que soit le quotient ${\frac {b}{a}}$, le regarder comme exprimant la tangente d’un angle $\varphi$ que l’on calculera par la relation $\operatorname {tang} \varphi =\ {\frac {b}{a}}$.

Remplaçant donc ${\frac {b}{a}}$ par $\operatorname {tang} \varphi$, on obtient :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {1-\operatorname {tang} \varphi }{1+\operatorname {tang} \varphi }}$.

Mais on a déjà trouvé au n^o 40 :

${\frac {1-\operatorname {tang} \varphi }{1+\operatorname {tang} \varphi }}=\operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )$.

On a donc, pour calculer les angles du triangle ABC, les deux formules :

xxxx(24)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {b}{a}},$

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times \operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )$.

Elles donnent pour le calcul

${\begin{aligned}\qquad &\log \operatorname {tang} \varphi =\log b-\log a\\&\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}=\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}+\log \operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )\end{aligned}}$

On déterminera ensuite le côté AB = c par la formule

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’où $c={\frac {a\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Exemple. — Soit CD = 126^m,34, ACD = 81° 12′ 18″, BCD = 39° 45′ 22″,
xxxx ACB = 41° 26′ 56″, CDB = 24° 8′ 14″, CDA = 28° 15′ 36″.

Le côté BC est désigné par a ; le côté AC par b.

Calcul de log a au moyen du triangle BCD.

${\frac {a}{\sin \mathrm {CDB} }}={\frac {\mathrm {CD} }{\sin \mathrm {CBD} }}$.

$\log a=\log \mathrm {CD} +\log \sin \mathrm {CDB} -\log \sin \mathrm {CBD}$

$\mathrm {CBD} =180^{\circ }-(\mathrm {BCD+BDC} )=66^{\circ }6^{\prime }24^{\prime \prime }$

---

${\begin{aligned}\log \mathrm {CD} &=2{,}10154\\\log \sin \mathrm {CDB} &={\overline {1}}{,}98314\\-\log \sin \mathrm {CBD} &=0{,}03891\\\end{aligned}}$

---

$\qquad \qquad \log a=2{,}12359$

Calcul de log b au moyen du triangle ADC.

${\frac {b}{\sin \mathrm {ADC} }}={\frac {\mathrm {CD} }{\sin \mathrm {CAD} }}$

$\log b=\log \mathrm {CD} +\log \sin \mathrm {ADC} -\log \sin \mathrm {CAD}$

${\begin{aligned}\mathrm {CAD} &=180^{\circ }-(\mathrm {ACD+ADC} )\\&=70^{\circ }32^{\prime }6^{\prime \prime }\end{aligned}}$

---

${\begin{aligned}\log \mathrm {CD} &=2{,}10154\\\log \sin \mathrm {ADC} &={\overline {1}}{,}67530\\-\log \sin \mathrm {CAD} &=0{,}02556\\\end{aligned}}$

---

$\qquad \qquad \log b=1{,}80240$

Calcul de $\varphi$.

$\log \operatorname {tang} \varphi =\log b-\log a$

---

$\ \;\log b=1{,}80240$

$\ \;\log a=2{,}12359$

---

$\log \operatorname {tang} \varphi ={\overline {1}}{,}67881\quad \ \$

$\qquad \ \ \ \varphi =25^{\circ }30^{\prime }58^{\prime \prime }$

Calcul de A et de B dans le triangle ABC.

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}=\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}+\log \operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )$

---

${\frac {\mathrm {A+B} }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\mathrm {ACB} }{2}}=69^{\circ }16^{\prime }32^{\prime \prime }$

$45^{\circ }-\varphi =19^{\circ }29^{\prime }2^{\prime \prime }$

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}=0{,}42210$

$\log \operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )={\overline {1}}{,}54877$

---

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}={\overline {1}}{,}97087$

$\qquad \qquad {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}=43^{\circ }4^{\prime }48^{\prime \prime }$

$\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \mathrm {A} =112^{\circ }21^{\prime }20^{\prime \prime }$

$\qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \;\mathrm {B} =\ \ 26^{\circ }11^{\prime }44^{\prime \prime }$

Calcul de c dans le triangle ABC.

$\log c=\log a+\log \sin \mathrm {C} -\log \sin \mathrm {A}$

${\begin{aligned}\log a&=2{,}12359\\\log \sin \mathrm {C} &={\overline {1}}{,}82083\\-\log \sin \mathrm {A} &=0{,}03393\end{aligned}}$

---

${\begin{aligned}\qquad \ \ \ \log c&=\ 1{,}97835\\c&=95^{\mathrm {m} }{,}137\end{aligned}}$

48. Problème IV. — Trois points d’un terrain étant marqués sur le plan de ce terrain ou la carte du pays, déterminer sur ce plan ou cette carte la position d’un quatrième point du terrain.

Pour faire comprendre l’utilité de ce problème, supposons qu’on ait découvert en mer un écueil que nous désignerons par M′, et qu’il s’agisse de marquer sa position sur la carte. On prendra sur la côte trois points A′, B′, C′ déjà marqués sur la carte en A, B, C (fig. 19), et qui puissent être aperçus du point M′. On se transportera en ce dernier point, et de là on

Fig. 19.

mesurera les angles A′M′B′, B′M′C′. Il ne restera plus qu’à décrire dans la carte sur AB un segment de cercle capable de l’angle A′M′B′, et sur BC un segment capable de l’angle B′M′C′. Le point M où les deux arcs se coupent est le point cherché.

Résolvons maintenant ce problème par la trigonométrie : cela revient à calculer les distances du point M′ aux points A′, B′, C′.

Déterminons d’abord les angles MAB, MCB : soit x le premier et y le second. Désignons par $\alpha$ l’angle connu CMB, par $\gamma$ l’angle connu AMB, par A, B, C les trois angles du triangle ABC, et par a, b, c les trois côtés opposés à ces angles.

La somme des angles du quadrilatère ABCM étant égale à quatre angles droits, on a déjà

$x+y=360^{\circ }-(\mathrm {B} +\alpha +\gamma )$.

Pour connaître la différence $x-y$, on a la formule

${\frac {\operatorname {tang} {\frac {x+y}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {\sin x+\sin y}{\sin x-\sin y}}$,

d’où il faut éliminer sin x et sin y.
xxxxOr les deux triangles AMB, BMC donnent

${\frac {\sin x}{\mathrm {BM} }}={\frac {\sin \gamma }{c}}$,xxx ${\frac {\sin y}{\mathrm {BM} }}={\frac {\sin \alpha }{a}}$.

Divisant la première de ces deux égalités par la seconde, on trouve

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a\sin \gamma }{c\sin \alpha }}$.

Pour simplifier, on peut diviser les deux termes du second membre par $\sin \gamma \ ;$ on a ainsi

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a}{\left({\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}\right)}}$.

Si nous désignons par d la ligne ${\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$, nous aurons

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a}{d}}$.

De cette proportion on tire, d’après un principe démontré en arithmétique,

${\frac {\sin x+\sin y}{\sin x-\sin y}}={\frac {a+d}{a-d}}$,

En substituant le second membre de cette égalité à la place du second dans la deuxième des égalités précédentes, on obtient

(25)	${\frac {\operatorname {tang} {\frac {x+y}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {a+d}{a-d}}$.

On calculera d’abord la quantité d au moyen de la relation

$d={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$.

et on trouvera ensuite la différence des angles x et y au moyen de la formule (25).

Les angles MAB, MCB étant ainsi connus, on calculera les distances du point M′ aux points A′, B′, C′, au moyen des deux triangles représentés sur la carte par les triangles AMB, BMC, dans chacun desquels on connaît un côté et deux angles.

Remarque. — Il pourrait arriver que, dans une application de ce problème, on trouvât a = d, c’est-à-dire $a={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$, et, en même temps, x + y = 180°, Dans ce cas, la formule (25) donnerait

$\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}=\infty \times {\frac {0}{a+d}}=\infty \times 0={\frac {0}{0}}$.

Ce résultat montre que ${\frac {x-y}{2}}$ est indéterminé, et que, par conséquent, le point cherché M sur la carte est indéterminé aussi^[1]. Cherchons à quoi tient cette singularité.

En observant qu’on a

$x+y=180^{\circ }$xxetxx$x+y=360^{\circ }-(\mathrm {B} +\alpha +\gamma )$,

on en déduit

$180^{\circ }=360^{\circ }-(\mathrm {B} +\alpha +\gamma )$,xxd’oùxx$\alpha +\gamma =180^{\circ }-\mathrm {B}$.

De plus, le triangle ABC donne $\mathrm {A+C=180^{\circ }-B}$ ; on a donc

$\alpha +\gamma =\mathrm {A+C}$.

Or l’égalité $a={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$xxdonnexx ${\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}={\frac {a}{c}}$.

Le triangle ABC donne aussi         ${\frac {\sin \mathrm {A} }{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{c}}$.

De ces deux égalités, on tire         ${\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}={\frac {\sin \mathrm {A} }{\sin \mathrm {C} }}$.

et, par suite,

${\frac {\sin \alpha +\sin \gamma }{\sin \alpha -\sin \gamma }}={\frac {\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {C} }}$.

D’après la formule (14), cette dernière égalité peut être remplacée par la suivante

${\frac {\operatorname {tang} {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+C} }{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-C} }{2}}}}$.

Comme la somme $\alpha +\gamma$ est égale à la somme $\mathrm {A+C}$, cette dernière égalité montre que la différence $\alpha -\gamma$ est aussi égale à la différence $\mathrm {A-C}$ ; on a

$\alpha =\mathrm {A}$xxxxetxxxx$\gamma =\mathrm {C}$.

Par conséquent, le sommet de l’angle $\alpha$ se trouve sur la circonférence passant par B, C et A ; le sommet de l’angle $\gamma$ se trouve sur la circonférence passant par ces mêmes points. Les deux segments, qui seraient décrits sur AB et sur BC, d’après ce qui a été dit plus haut pour la détermination graphique du point M, se confondent en un seul. Ainsi l’indétermination provient de ce que les quatre points A′, B′, C′, M′, pris sur le terrain, se trouvent par hasard sur la même circonférence. Dans ce cas, il faudrait recommencer les opérations en remplaçant l’un des trois points A′, B′, C′ par un autre.

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1. Il est facile de voir que $\infty \times 0$ est équivalent à ${\frac {0}{0}}$ ; car $\infty$ est la même chose que ${\frac {n}{0}},$ $n$ étant un nombre quelconque. Or, d’après la règle de la multiplication, on a ${\frac {n}{0}}\times 0={\frac {0}{0}}$.