Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/10

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 75-79).

CHAPITRE X.

TRANSFORMATION D’UNE SOMME EN UN PRODUIT.

52. On a déjà vu (n^o 38) comment on peut remplacer par un produit la somme et la différence de deux sinus ou cosinus. Cette transformation peut avoir lieu très-simplement dans d’autres cas ; nous allons indiquer les plus importants.

1^o Somme et différence de deux tangentes.

On a :

$\operatorname {tang} a\pm \operatorname {tang} b={\frac {\sin a}{\cos a}}\pm {\frac {\sin b}{\cos b}}={\frac {\sin a\cos b\pm \sin b\cos a}{\cos a\cos b}}$ ;

on obtient donc

$\operatorname {tang} a\pm \operatorname {tang} b={\frac {\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}}$.

2^o Somme des tangentes des trois angles d’un triangle.

On a $\mathrm {C} =180^{\circ }-(\mathrm {A+B} )$, d’où $\operatorname {tang} (\mathrm {A+B} )=-\operatorname {tang} \mathrm {C}$.

Développant $\operatorname {tang} (\mathrm {A+B} )$ d’après la formule (15), on trouve

${\frac {\operatorname {tang} \mathrm {A} +\operatorname {tang} \mathrm {B} }{1-\operatorname {tang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {B} }}=-\operatorname {tang} \mathrm {C}$,

et en chassant le dénominateur, on a

$\operatorname {tang} \mathrm {A} +\operatorname {tang} \mathrm {B} +\operatorname {tang} \mathrm {C} =\operatorname {tang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {B} \operatorname {tang} \mathrm {C}$.

3^o Somme des sinus des trois angles d’un triangle.

On a d’abord
(n)          $\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin(A+B)}$.

La formule (12) donne

$\mathrm {\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ;

la formule (10) donne

$\sin(\mathrm {A+B} )=2\sin \mathrm {{\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A+B}{2}}}$.

L’égalité (n) devient donc

$\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=2\sin {\frac {A+B}{2}}\left(\cos {\frac {A+B}{2}}+\cos {\frac {A-B}{2}}\right)}$.

Transformant la somme des deux cosinus d’après la formule (13), et observant que $\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$ est égal à $\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$, on trouve

$\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}} .$

4^o Différence des carrés de deux sinus.

On a d’abord

$\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)$.

Transformant la somme et la différence des deux sinus d’après les formules (12) et (13), on obtient :

${\begin{aligned}\sin ^{2}a-\sin ^{2}b&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\times 2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\\&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\times 2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}.\end{aligned}}$

En regardant $a+b$ et $a-b$ comme le double de ${\frac {a+b}{2}}$ et ${\frac {a-b}{2}}$, on trouve, d’après la formule (10),

$\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=\sin(a+b)\sin(a-b)$.

53. Méthode générale. — Il est quelquefois utile de transformer en un produit une somme ou une différence de deux quantités quelconques $a+b$ ou $a-b$.

Pour cela on réduit d’abord l’un des termes du binôme à 1, en divisant et en multipliant le binôme par ce terme. On a ainsi

$a+b=a\left(1+{\frac {b}{a}}\right)$.

Or, quel que soit ${\frac {b}{a}}$, on peut toujours le regarder comme la valeur de la tangente d’un angle $\varphi$ qu’on déterminera en posant $\operatorname {tang} \varphi ={\frac {b}{a}}$. On a donc

$a+b=a(1+\operatorname {tang} \varphi )=a\left(1+{\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right)={\frac {a}{\cos \varphi }}(\cos \varphi +\sin \varphi )$.

Puis, transformant la somme du cosinus et du sinus (n^o 38), on obtient

$a+b={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(45^{\circ }-\varphi )}{\cos \varphi }}$.

On pourrait aussi regarder ${\frac {b}{a}}$ comme le carré de la tangente d’un angle $\varphi ^{\prime }$ qu’on déterminerait en posant $\operatorname {tang} ^{2}\varphi ^{\prime }={\frac {b}{a}}$. On aurait alors

$a+b=a(1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi ^{\prime })=a\sec ^{2}\varphi ^{\prime }={\frac {a}{\cos ^{2}\varphi ^{\prime }}}$.

S’il s’agissait d’un trinôme, on suivrait une marche analogue en posant par exemple $a+b+c=a\left(1+{\frac {b+c}{a}}\right)$.

54. La méthode précédente peut être modifiée dans certains cas suivant les quantités à transformer, comme on va le voir dans les exemples suivants.

1^o Transformer en produit la somme $a\sin \alpha +b\cos \alpha$.

On a d’abord

$a\sin \alpha +b\cos \alpha =a(\sin \alpha +{\frac {b}{a}}\cos \alpha )$ ;

posant ${\frac {a}{b}}=\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}$ et substituant, on obtient, pour le second membre,

$a(\sin \alpha +{\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}\cos \alpha )={\frac {a}{\cos \varphi }}(\sin \alpha \cos \varphi +\sin \varphi \cos \alpha )$.

On a donc

$a\sin \alpha +b\cos \alpha ={\frac {a\sin(\alpha +\varphi )}{\cos \varphi }}$.

Cette transformation appliquée à l’équation

$a\sin x+b\cos x=k$

permet de la résoudre plus simplement que par la méthode qui consisterait, à remplacer $\cos x$ par ${\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$.

2^o Transformer en un produit $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C} }}$.

Cette formule est celle qui donne un côté d’un triangle quand on connaît les deux autres et l’angle compris entre eux.

Observons d’abord que si on pouvait isoler $2ab$ sous le radical, la quantité $a^{2}+b^{2}-2ab$ étant le carré de $a-b$, il n’y aurait plus qu’un binôme sous le radical. Or on a

$\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \mathrm {C} }{2}}}$, d’où $\cos \mathrm {C} =1-2\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}$.

En substituant cette valeur sous le radical, on trouve

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab+4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}}={\sqrt {(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}}$.

Appliquant la méthode générale, on a

$c={\sqrt {(a-b)^{2}\left(1+{\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}\right)}}=(a-b){\sqrt {1+{\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}}}$ ;

puis posant

${\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}=\operatorname {tang} ^{2}\varphi$,

et substituant sous le radical, on a

$c=(a-b){\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}=(a-b)\sec ^{2}\varphi ={\frac {a-b}{\cos ^{2}\varphi }}$.

Ainsi on pourrait aussi résoudre le troisième cas des triangles (n^o 41) au moyen des relations

$\operatorname {tang} ^{2}\varphi ={\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}$,xxx$c={\frac {a-b}{\cos ^{2}\varphi }}$.

3^o Transformer en un produit les racines de l’équation $\mathrm {a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}$, dans laquelle c est l’inconnue.

Ces racines sont

$c=b\cos \mathrm {A} \pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}$.

Elles font connaître le côté c d’un triangle dont a et b sont les deux autres côtés, et A l’angle opposé au côté a (n^o 33).

On a d’abord

${\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}\ =\ a{\sqrt {1-{\frac {b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}}$.

Comme le second terme qui suit 1 sous le radical doit être moindre que 1, posons
(r)                                        ${\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}=\sin \varphi$.

La substitution de cette expression donne

${\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}\ =\ a{\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi }}\ =\ a\cos \varphi$,

et                                        $c=b\cos \mathrm {A} \pm a\cos \varphi$.

Pour transformer ce binôme, on tire de l’égalité (r)
(s)                                        $b={\frac {a\sin \varphi }{\sin \mathrm {A} }}$.
On a donc

$c={\frac {a\sin \varphi \cos \mathrm {A} }{\sin \mathrm {A} }}\pm a\cos \varphi ={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}(\sin \varphi \cos \mathrm {A} \pm \sin \mathrm {A} \cos \varphi )$,

et enfin

$c={\frac {a\sin(\varphi \pm \mathrm {A} )}{\sin \mathrm {A} }}$.

Or, au n^o 33, on avait trouvé

$b={\frac {a\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Cette égalité rapprochée de l’égalité (s) montre que l’angle $\varphi$ n’est autre chose que l’angle B du triangle.

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