Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/12

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 87-100).

CHAPITRE XII.

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES POUR DES ARCS QUELCONQUES.

60. Comme la valeur des lignes trigonométriques dépend de l’arc de circonférence, ces lignes sont appelées fonctions circulaires. On ne les emploie pas seulement pour la résolution des triangles ; elles sont aussi d’un usage fréquent dans les diverses parties des mathématiques. Mais alors l’arc auquel elles correspondent n’est plus limité à 180°, il peut croître jusqu’à 360° et au-delà.

De plus, dans tout ce qui précède, les arcs ont toujours été pris dans la direction de A vers B (fig. 21). Or il peut arriver qu’on ait à prendre un arc en

Fig. 21.

sens inverse de A vers B′. Pour indiquer ce changement de direction, on donnera le signe $-$ à ce dernier arc, et, par conséquent, les arcs comptés de A vers B seront considérés comme ayant le signe $+$.

Il s’agit maintenant d’étudier les six lignes trigonométriques pour les arcs positifs > 180° et pour tous les arcs négatifs.

1^o Soit l’arc $\mathrm {ABN^{\prime }} >180^{\circ }$ et $<270^{\circ }$.

Son sinus est $-\mathrm {N^{\prime }Q}$, sa tangente est $+\mathrm {AT}$, sa sécante est $-\mathrm {OT}$, son cosinus est $-\mathrm {OQ}$, sa cotangente est $+\mathrm {BS}$, et sa cosécante est $-\mathrm {OS}$.

Si on désigne par a l’arc $\mathrm {AM} <90^{\circ }$, l’arc $\mathrm {ABN} ^{\prime }$ sera égal à $180^{\circ }+a$, et, d’après l’égalité des triangles rectangles de la figure, on trouve facilement

	$\sin \;(180^{\circ }+a)=-\sin a,$		$\cos \;(180^{\circ }+a)=-\cos a\ ;$
	$\operatorname {tang} \,(180^{\circ }+a)=\operatorname {tang} a,$		$\operatorname {cotg} \,(180^{\circ }+a)=\operatorname {cotg} a\ ;$
	$\sec \;(180^{\circ }+a)=-\sec a,$		$\operatorname {cosec} \,(180^{\circ }+a)=-\operatorname {cosec} a.$

2^o Soit l’arc $\mathrm {ABA^{\prime }M^{\prime }} >270^{\circ }$ et $<360^{\circ }$.
Son sinus est $-\mathrm {M^{\prime }P}$, sa tangente est $\mathrm {-AT^{\prime }}$, sa sécante est $+\mathrm {OT^{\prime }}$, son cosinus est $\mathrm {+OP}$, sa cotangente est $-\mathrm {BS^{\prime }}$, sa cosécante est $-\mathrm {OS^{\prime }}$.

Comme l’arc $\mathrm {AM^{\prime }}$ est égal à l’arc $\mathrm {AM} =a$, l’arc $\mathrm {ABA^{\prime }M^{\prime }}$ est égal à $360^{\circ }-a$, et on a

	$\sin \;(360^{\circ }-a)=-\sin a,$		$\cos \,(360^{\circ }-a)=\cos a\ ;$
	$\operatorname {tang} \,(360^{\circ }-a)=-\operatorname {tang} \,a,$		$\operatorname {cotg} \,(360^{\circ }-a)=-\operatorname {cotg} a\ ;$
	$\sec \;(360^{\circ }-a)=\sec a,$		$\operatorname {cosec} \;(360^{\circ }-a)=-\operatorname {cosec} \,a.$

3^o Si à un arc moindre que $360^{\circ }$ on ajoute un nombre entier de circonférences, le nouvel arc se terminera au même point que le premier ; donc, deux arcs qui diffèrent d’un nombre entier de circonférences ont les mêmes lignes trigonométriques.

Si, à l’arc moindre que $360^{\circ }$, on ajoute un nombre impair de demi-circonférences, ce qui revient à ajouter un nombre entier de circonférences, plus une demi-circonférence, les lignes trigonométriques du deuxième arc ont la même valeur absolue que celles du premier avec des signes contraires, excepté la tangente et la cotangente qui conservent le même signe.

Quand on doit chercher une ligne trigonométrique d’un arc supérieur à $360^{\circ }$, par exemple sin $1345^{\circ }$, on retranche d’abord de cet arc autant de fois que possible $360^{\circ }$ ; il reste $265^{\circ }$. Donc $\sin 1345^{\circ }$ est égal à $\sin 265^{\circ }$. Ce dernier arc étant compris entre $180^{\circ }$ et $270^{\circ }$, son sinus est négatif et sa valeur absolue est égale à celle du sinus de $(265^{\circ }-180^{\circ })$ ; donc $\sin 1345^{\circ }=-\sin 85^{\circ }$.

4^o Soit un arc négatif $\mathrm {AM^{\prime }}$ égal en valeur absolue à l’arc $\mathrm {AM}$ désigné par a ; cet arc $\mathrm {AM^{\prime }}$ sera égal à $-a$, et on aura

	$\sin \;(-a)\ \;=-\sin a,$		$\cos \;(-a)\quad \;=\quad \ \cos a\ ;$
	$\operatorname {tang} \,(-a)=-\operatorname {tang} a,$		$\operatorname {cotg} \,(-a)\ \ \ =-\operatorname {cotg} a\ ;$
	$\sec \;(-a)\ \;=\ \ \ \sec a,$		$\operatorname {cosec} \,(-a)\ \ =-\operatorname {cosec} a\ ;$

donc les lignes trigonométriques d’un arc négatif sont égales en valeur absolue, et avec des signes contraires, aux lignes trigonométriques du même arc positif, excepté le cosinus et la sécante, qui ont le même signe que pour l’arc positif.

61. Arcs correspondant à une ligne trigonométrique donnée.

1^o Sinus. — Soit, par exemple, $\sin x={\frac {5}{9}}$.

On prend (fig. 21)xx$\mathrm {OC} ={\frac {5}{9}}$ de $\mathrm {OB}$ ; par le point C, on tire $\mathrm {MN}$ parallèle à $\mathrm {AA^{\prime }}$, et on a ainsi les deux arcs $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {ABN}$ dont le sinus est égal à ${\frac {5}{9}}$. Soit a le plus petit $\mathrm {AM}$ ; le plus grand $\mathrm {ABN}$ sera égal à $180^{\circ }-a$ ou $\pi -a$, en désignant la demi-circonférence par $\pi$, pour abréger l’écriture.

À ce même sinus correspondent aussi tous les arcs qu’on obtient en ajoutant un nombre entier de circonférences à l’arc a et à l’arc $\pi -a$ ; car ils se terminent tous en M et en N. Ces arcs forment les deux suites

                 $a,\;2\pi +a,\;4\pi +a,\;\ldots$ représentée par $2n\pi +a$ ;

          $\pi -a,\;3\pi -a,\;5\pi -a,\;\ldots$ représentée par $(2n+1)\pi -a$ ;

la lettre n désignant un nombre entier quelconque positif.

À ce sinus donné correspondent encore les deux arcs négatifs $\mathrm {AB^{\prime }M} =-2\pi +a$ et $\mathrm {AB^{\prime }N} =-\pi -a$, et tous les arcs négatifs qu’on obtient en ajoutant à ces deux arcs un nombre entier quelconque de circonférences négatives. Ces arcs forment les deux suites
$-2\pi +a,\;-4\pi +a,\;\ldots$                représentée par $-2n\pi +a$ ;

$-\pi -a,\;-3\pi -a,\;-5\pi -a,\;\ldots$ représentée par $-(2n+1)\pi -a$.

Or, si l’on convient que n exprime un nombre entier quelconque négatif aussi bien que positif,$-2n\pi +a$ sera contenu dans $2n\pi +a$ et $-(2n+1)\pi -a$ dans $(2n+1)\pi -a$.

Donc tous les arcs correspondant à un sinus donné sont exprimés par les formules

(29)                $2n\pi +a$,xxxx$(2n+1)\pi -a$,

dans lesquelles n est un nombre entier quelconque positif ou négatif, pouvant être égal à 0.

2^o Cosinus. Soit par exemple $\cos x=-{\frac {5}{6}}$.

En prenant $\mathrm {OQ} ={\frac {5}{6}}$ de $\mathrm {OA^{\prime }}$ et menant $\mathrm {NN^{\prime }}$ parallèle à $\mathrm {BB^{\prime }}$, on a pour les arcs cherchés les deux arcs $\mathrm {ABN} =a$ et $\mathrm {ABN^{\prime }} =2\pi -a$, et tous les arcs formés en ajoutant un nombre entier de circonférences à l’arc $a$ et à l’arc $\pi -a$. Ces arcs forment les deux suites

$a,\;2\pi +a,\;4\pi +a,\ldots$

$\left.{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right\}$

représentées par $2n\pi \pm a,$

$\quad \,2\pi -a,\,4\pi -a,\ldots .$

n étant un nombre entier positif.

Au cosinus donné correspondent encore l’arc négatif $\mathrm {AB^{\prime }N^{\prime }}$ égal à $-a$ et l’arc négatif $\mathrm {AB{^{\prime }}N}$ égal à $-2\pi +a$, et tous les arcs obtenus en ajoutant à ces deux arcs un nombre entier de circonférences négatives. Ces arcs forment les deux suites

$\qquad \;-a,\;-2\pi -a,\;-4\pi -a,\ldots$

$\left.{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right\}$

représentées par $-2n\pi \pm a,$

$-2\pi +a,\,-4\pi +a,\ldots \ldots \ldots \ldots$

Mais si l’on regarde n comme un nombre entier positif ou négatif, $-2n\pi \pm a$ sera contenu dans $2n\pi \pm a$ ; donc tous les arcs correspondant à un cosinus donné sont exprimés par la formule
(30)                                $2n\pi \pm a$.

3^o En faisant le même raisonnement, on trouvera facilement, pour les arcs correspondant à une sécante donnée,
(31)                                $2n\pi \pm a$ ;
pour les arcs correspondant à une cosécante donnée
(32)                    $2n\pi \pm a,\quad (2n+1)\pi -a$ ;
pour les arcs correspondant à une tangente et une cotangente données (33)                                $n\pi +a$.

62. Formules relatives à la somme et à la différence de deux arcs.

Cette question a été traitée au n^o 35 pour deux arcs a et b, dont la somme ne surpasse pas 180°, l’arc b étant plus petit que l’arc a pour le sinus et le cosinus de la différence $a-b$. Nous allons montrer que les formules s’appliquent à deux arcs quelconques. Nous partirons de ce point qu’elles sont démontrées pour le cas où les deux arcs a et b font une somme moindre que 90° comme dans la figure 12.

Considérons d’abord les deux formules

(8)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

1^o Démontrons qu’elles conviennent à deux arcs u et v dont la somme $u+v$ est $>90^{\circ }$, chacun étant $<90^{\circ }$.

Soient $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$, leurs compléments ; on aura

$u^{\prime }=90^{\circ }-u\;;\quad v^{\prime }=90^{\circ }-v\;;\quad u^{\prime }+v^{\prime }<90^{\circ }$.

Les deux arcs $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ étant dans le cas pour lequel les formules ont été démontrées, on a

${\begin{aligned}\qquad \qquad \sin(u^{\prime }+v^{\prime })&=\sin u^{\prime }\cos v^{\prime }+\sin v^{\prime }\cos u^{\prime },\\\cos(u^{\prime }+v^{\prime })&=\cos u^{\prime }\cos v^{\prime }-\sin u^{\prime }\sin v^{\prime }.\end{aligned}}$

Remplaçant $u^{\prime }$ par $90^{\circ }-u$, et $v^{\prime }$ par $90^{\circ }-v$, afin d’éliminer $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$, on obtient
xx$\sin[180^{\circ }-(u+v)]=\sin(90^{\circ }-u)\cos(90^{\circ }-v)+\sin(90^{\circ }-v)\cos(90^{\circ }-v)$
xx$\cos[180^{\circ }-(u+v)]=\cos(90^{\circ }-u)\cos(90^{\circ }-v)+\sin(90^{\circ }-u)\sin(90^{\circ }-v)$

Or on a

$\sin[180^{\circ }-(u+v)]=\ \ \ \;\sin(u+v),\qquad \sin(90^{\circ }-u)=\cos u,$
xxxx $\cos[180^{\circ }-(u+v)]=-\cos(u+v),\qquad \cos(90^{\circ }-v)=\sin v.$

En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve

(p)	$\sin(u+v)=\sin u\cos v+\sin v\cos u,$
	$\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\;;$

ce qui montre que la règle exprimée par les formules (8) s’applique aussi au cas de deux arcs dont la somme ne surpasse pas 180°, chacun étant moindre que 90°.

2^o Les deux formules démontrées pour les deux arcs u et v sont encore vraies si l’on augmente ces deux arcs d’un nombre quelconque de quadrants.

En effet, ajoutons d’abord 90° à l’arc u ; soit

$m=u+90^{\circ }$,xx d’où xx$u=m-90^{\circ }$.

Remplaçant u par cette valeur dans les formules (p), nous aurons

$\sin(m-90^{\circ }+v)=\sin(m-90^{\circ })\cos v+\sin v\cos(m-90^{\circ })$,
xxx $\cos(m-90^{\circ }+v)=\cos(m-90^{\circ })\cos v-\sin(m-90^{\circ })\sin v$.

Or, quand on change le signe d’un arc, son cosinus ne change pas, mais le sinus prend un signe contraire (n^o 60) ; on aura donc

$\sin(m-90^{\circ }+v)=-\sin[90^{\circ }-(m+v)]=-\cos(m+v),$

$\cos(m-90^{\circ }+v)=\cos[90^{\circ }-(m+v)]=\sin(m+v),\quad$

$\sin(m-90^{\circ })=-\sin(90^{\circ }-m)=-\cos m,$

$\cos(m-90^{\circ })=\cos(90^{\circ }-m)=\sin m.\quad$

En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve

                ${\begin{aligned}\cos(m+v)&=\cos m\cos v-\sin m\sin v,\\\sin(m+v)&=\sin m\cos v+\sin v\cos m.\end{aligned}}$

Cette démonstration fait voir qu’on pourrait augmenter l’arc m encore d’un quadrant, puis d’un second, etc., ainsi que l’arc v ; donc les formules (8) sont vraies pour deux arcs quelconques positifs.

3^o Démontrons maintenant que les formules

(9)	$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$
	$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

sont vraies, quels que soient les arcs positifs a et b.

Soit $b>a$. On peut augmenter a d’un nombre entier positif de circonférences $2n\pi$ assez grand pour que l’arc $2n\pi -b$ soit positif, ce qui ne change pas le sinus et le cosinus. Les deux arcs $a$ et $2n\pi -b$ étant positif, on a

$\sin(a+2n\pi -b)=\sin a\cos(2n\pi -b)+\sin(2n\pi -b)\cos a,$
xxx $\cos(a+2n\pi -b)=\cos a\cos(2n\pi -b)-\sin a\sin(2n\pi -b).$

On peut ôter un nombre entier de circonférences $2n\pi$ à ces arcs sans altérer les lignes trigonométriques ; on a donc

$\sin(a-b)=\sin a\cos(-b)+\sin(-b)\cos a,$
xxxx $\cos(a-b)=\cos a\cos(-b)-\sin a\sin(-b)\;;$

ou

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a,$
xxxx $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\;;$
ce qui démontre la question.

4^o Les formules s’appliquent aussi au cas où les deux arcs seraient négatifs.

En effet, on a

$\sin(-a-b)=-\sin(a+b)=-\sin a\cos b-\sin b\cos a\;;$
or on a aussi

$-\sin a=\sin(-a),\ \cos b=\cos(-b),\ -\sin b=\sin(-b),\ \cos a=\cos(-a)\;;$
on obtiendra, par la substitution de ces valeurs,
$\sin(-a-b)=\sin(-a)\cos(-b)+\sin(-b)\cos(-a)\;;$
on aurait de même
$\cos(-a-b)=\cos(-a)\cos(-b)-\sin(-a)\sin(-b).$

Ainsi, pour trouver le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs négatifs, on doit suivre la même règle que pour deux arcs positifs.

63. Autre démonstration des formules (8) et (9).

Soient (fig. 22) deux arcs quelconques $\mathrm {AM} =a$ et $\mathrm {AL} =b$ ; l’arc $\mathrm {ML}$ sera égal à $a-b$. Si l’on tire $\mathrm {MN}$ et $\mathrm {LQ}$ perpendiculaires à $\mathrm {AA^{\prime }}$ et $\mathrm {MC}$ parallèle à

Fig. 22.

$\mathrm {AA^{\prime }}$, on aura $\mathrm {MP} =\sin a,\ \mathrm {LQ} =\sin b,\ \mathrm {OQ} =\cos b,\ -\mathrm {OP} =\cos a,$
d’où $\mathrm {OP} =-\cos a$.

Le triangle $\mathrm {MOL}$ donne, d’après le n^o 30,

${\overline {\mathrm {ML} }}^{2}={\overline {\mathrm {MO} }}^{2}+{\overline {\mathrm {LO} }}^{2}-2\mathrm {MO} \times \mathrm {LO} \cos \mathrm {MOL} =2-2\cos(a-b)$.

Le triangle rectangle $\mathrm {MCL}$ donne aussi
-----${\begin{aligned}{\overline {\mathrm {ML} }}^{2}&={\overline {\mathrm {MC} }}^{2}+{\overline {\mathrm {LC} }}^{2}=\mathrm {(PO+OQ)} ^{2}+\mathrm {(LQ-MP)} ^{2}\\&=(-\cos a+\cos b)^{2}+(\sin b-\sin a)^{2}.\end{aligned}}$

En effectuant les carrés, et en se rappelant qu’on a $\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1$,
on trouve

${\overline {\mathrm {ML} }}^{2}=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$.

Égalant cette valeur de $\mathrm {ML^{2}}$ avec celle qu’a donnée le triangle $\mathrm {MOL}$, on a :

$2-2\cos(a-b)=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$,

ou, en réduisant et transposant les termes :

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Si l’on remplace $b$ par $-b$, on obtient
$\qquad \qquad \cos(a+b)=\cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b),$
ou $\qquad \ \ \,\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

On peut tirer $\sin(a-b)$ de $\cos(a+b)$ en remarquant que $\sin(a-b)$ est égal à $\cos(90^{\circ }-a+b)$. En effet, on a alors

$\sin(a-b)=\cos \left((90^{\circ }-a)+b\right)=\cos(90^{\circ }-a)\cos b-\sin(90^{\circ }-a)\sin b$,

ou                                   $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$

Pour avoir $\sin(a-b)$, on remplacera $b$ par $-b$ dans $\sin(a-b)$, et il viendra

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

Ainsi de l’une des formules (8) et (9) on peut déduire les trois autres.

Remarque. — Si les extrémités des deux arcs partant du point $\mathrm {A}$ tombaient sur une droite perpendiculaire à l’un des diamètres $\mathrm {AA^{\prime },\;BB^{\prime }}$ comme les arcs $\mathrm {ABM}$ et $\mathrm {ABN}$, le triangle rectangle $\mathrm {MCL}$ n’existerait plus ; mais on aurait la 2^e valeur de $\mathrm {{\overline {MN}}^{2}}$ en écrivant

$\mathrm {MN=MP+NP} =\sin b-\sin a$,

ce qui amènerait au même résultat.

Cette démonstration est donc générale.

64. Problème. — Étant donné $\operatorname {tang} a$, calculer $\sin a$ et $\cos a$.

Soit $\operatorname {tang} a=k$. On a les deux équations

                                                  $\;\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1,$

                                                  ${\frac {\sin a}{\cos a}}=k.$

En résolvant ces deux équations par la méthode ordinaire, on trouve

$\sin a=\pm {\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}},\qquad \cos a=\pm {\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}$.

Il faut observer que, pour une tangente donnée $k$, on trouve deux sinus égaux et de signes contraires, et qu’il en est de même pour le cosinus. En effet, la tangente donnée $k$ correspondant non-seulement à l’arc $a$, mais à tous les arcs représentés par la formule (33) $n\pi +a$, on doit obtenir le sinus et le cosinus de tous ces arcs, c’est-à-dire $\sin(n\pi +a)$ et $\cos(n\pi +a)$.

Or tous ces sinus se réduisent à deux, ainsi que ces cosinus.
En effet, si on prend $n$ pair, on a

${\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos a\;;\end{aligned}}$

car une ligne trigonométrique ne change pas quand son arc est augmenté ou diminué d’un nombre entier de circonférences.

Si on prend $n$ impair, on a, pour la même raison,

${\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin(\pi +a)=-\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos(\pi +a)=-\cos a.\end{aligned}}$

Cela est facile à vérifier sur une figure.

65. Problème. — Calculer $\sin {\frac {a}{2}}$ et $\cos {\frac {a}{2}}$ en fonction de $\sin a$.

Prenons les équations

$2\sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {a}{2}}=\sin a,\qquad \sin ^{2}{\frac {a}{2}}+\cos ^{2}{\frac {a}{2}}=1$,

fournies par les formules (10) et (1).

En représentant $\sin {\frac {a}{2}}$ par $x$ et $\cos {\frac {a}{2}}$ par $y$, on a à résoudre les équations

$2xy=\sin a,\qquad x^{2}+y^{2}=1$.

En additionnant membre à membre, on a

$x^{2}+y^{2}+2xy=1+\sin a$,

d’où

$x+y=\pm {\sqrt {1+\sin a}}$.

En retranchant la première de la seconde, membre à membre, on a

$x^{2}+y^{2}-2xy=1-\sin a$,

d’où

$x-y=\pm {\sqrt {1-\sin a}}$.

Connaissant ainsi la somme et la différence des inconnues, on obtient

(34)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$x=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1+\sin a}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\sin a}},$

$y=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {1+\sin a}}\mp {\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\sin a}}.$

Il y a donc pour $\sin {\frac {a}{2}}$ et pour $\cos {\frac {a}{2}}$ quatre valeurs qui sont égales deux à deux et de signes contraires : c’est ce que met en évidence le tableau suivant :
$\sin ^{I}{\frac {a}{2}}\ \ =+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{I}{\frac {a}{2}}\ \ =+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{II}{\frac {a}{2}}\ =-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{II}{\frac {a}{2}}\ =-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{III}{\frac {a}{2}}=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{III}{\frac {a}{2}}=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right);$
$\sin ^{IV}{\frac {a}{2}}=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}-{\sqrt {1-\sin a}}\right),\;\cos ^{IV}{\frac {a}{2}}=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+\sin a}}+{\sqrt {1-\sin a}}\right).$

Les quatre valeurs de $\cos {\frac {a}{2}}$ sont les mêmes que celles de $\sin {\frac {a}{2}}$. Nous allons voir qu’il en devait être ainsi.

En effet, les équations doivent donner le sinus et le cosinus de la moitié de tous les arcs correspondant au sinus donné, $\sin a$, c’est-à-dire de la moitié de tous les arcs représentés par les formules (29)

$2n\pi +a,\quad (2n+1)\pi -a.$

On doit donc obtenir

$\sin \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)$xx et xx$\cos \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)$.

$\sin \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)$xx et xx$\cos \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)$.

Or le sinus et le cosinus d’un arc ne changent pas quand l’arc est diminué d’un nombre pair de demi-circonférences positives ou négatives, et ne font que changer de signe quand le nombre de ces demi-circonférences est impair.

D’après cela, on a

$\sin \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \sin {\frac {a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$-\sin {\frac {a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\sin \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \sin {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$\quad \sin \left(\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=-\sin {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\cos \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \cos {\frac {a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$-\cos {\frac {a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\cos \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \cos {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$\quad \cos \left(\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=-\cos {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ impair.

De plus, comme les arcs ${\frac {a}{2}}$ et ${\frac {\pi -a}{2}}$ sont complémentaires, on a encore

$\sin {\frac {a}{2}}=\cos {\frac {\pi -a}{2}}$xx et xx$\sin {\frac {\pi -a}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}$.

Construction des racines. — Soit $\mathrm {OC} =\sin a$ ; menons par le point $\mathrm {C}$ la droite $\mathrm {M^{\prime }M}$ parallèle à $\mathrm {A^{\prime }A}$, et prenons $\mathrm {AN}$ égal à ${\frac {1}{2}}\mathrm {AM}$ (fig. 23).

Tous les arcs correspondant au sinus donné sont :

$\mathrm {AM}$, et $\mathrm {AM}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences positives ;

$\mathrm {ABM^{\prime }}$, et $\mathrm {ABM^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences positives ;

$\mathrm {AB^{\prime }M}$, et $\mathrm {AB^{\prime }M}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences négatives ;

$\mathrm {AB^{\prime }M^{\prime }}$, et $\mathrm {AB^{\prime }M^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de circonférences négatives.

Fig. 23.

On a donc à construire les sinus et cosinus des arcs suivants :

1^o $\mathrm {{\frac {AM}{2}}=AN}$, et $\mathrm {AN}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences positives ;

2^o $\mathrm {{\frac {ABM^{\prime }}{2}}={\frac {180^{\circ }-AM}{2}}=90^{\circ }-AN=NB}$, et $\mathrm {NB}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences positives ;

3^o $\mathrm {{\frac {AB^{\prime }M}{2}}={\frac {-360^{\circ }+AM}{2}}=-180^{\circ }+AN=AB^{\prime }N^{\prime }}$, et $\mathrm {AB^{\prime }N^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences négatives ;

4^o $\mathrm {{\frac {AB^{\prime }M^{\prime }}{2}}=-\left({\frac {180^{\circ }+AM}{2}}\right)=-(90^{\circ }+AN)=NAB^{\prime }}$, et $\mathrm {NAB^{\prime }}$ augmenté d’un nombre entier de demi-circonférences négatives.

Les arcs de la première et de la troisième séries ont leur origine en $\mathrm {A}$ et se terminent en $\mathrm {N}$ et en $\mathrm {N^{\prime }}$. Leurs sinus sont $\mathrm {NP}$ et $-\mathrm {N^{\prime }P^{\prime }}$, égaux et de signes contraires ; leurs cosinus sont $\mathrm {OP}$ et $-\mathrm {OP^{\prime }}$, égaux et de signes contraires.

Les arcs de la deuxième et de la quatrième séries ont leur origine en $\mathrm {N}$ et se terminent en $\mathrm {B}$ et en $\mathrm {B^{\prime }}$. Leurs sinus sont $\mathrm {BH}$ et $-\mathrm {B^{\prime }H^{\prime }}$, égaux et de signes contraires ; leurs cosinus sont $\mathrm {OH}$ et $-\mathrm {OH^{\prime }}$, égaux et de signes contraires.

Il est facile de démontrer ensuite qu’on a

$\mathrm {NP=OH}$ et $\mathrm {BH=OP}$ ;

car l’égalité des triangles rectangles $\mathrm {ONQ}$, $\mathrm {OBH}$, donne

$\mathrm {NP=OQ=OH}$.

Ainsi, les quatre racines sont $\mathrm {NP,\;-N^{\prime }P^{\prime },\;OP,\;-OP^{\prime }}$.

Remarque. — Lorsque le sinus d’un arc a est donné en même temps que l’arc, il n’y a plus qu’une des quatre solutions qui convienne pour le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc. Le choix ne présente aucune difficulté.

D’abord, d’après l’arc lui-même, on verra si $\sin {\frac {a}{2}}$ est positif ou négatif. S’il est positif, par exemple, il reste à chercher quelle est celle des deux racines positives qu’on doit prendre pour $\sin {\frac {a}{2}}$ : or ces deux racines sont l’une $\sin {\frac {a}{2}}$ et l’autre $\cos {\frac {a}{2}}$. Tout se réduira donc à connaître, d’après la valeur de ${\frac {a}{2}}$, si le sinus est plus grand ou plus petit que le cosinus.

FIN.