ANALISE TRANSCENDANTE.
Par
M. le professeur
Kramp, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
L’objet que nous nous proposons dans ce mémoire est d’enseigner à déterminer, entre des limites données quelconques, l’intégrale de toute différentielle de la forme
quelle que puisse être d’ailleurs la forme de la fonction de
désignée par
La méthode que nous allons faire connaître a cela de particulier qu’elle est, en quelque sorte, étrangère aux principes du calcul intégral et à la notion des infinimens petits ; elle ne suppose que les principes connus de l’algèbre élémentaire ; elle s’étend à toutes les fonctions quelconques, à celles même qui se sont constamment refusées jusqu’ici à tous les moyens d’intégration connus ; elle donne l’intégrale demandée, moyennant un nombre très-limité de termes, avec une précision bien supérieure à tout ce qu’on pourrait se promettre de l’usage des suites infinies.
1. On sait que l’intégration de toute formule
entre des limites données,
et
par exemple, revient à quarrer l’aire mixtiligne terminée d’une part par la courbe dont l’équation serait
d’une autre par l’axe des
, et enfin par les ordonnées
de cette courbe répondant respectivement aux abscisses
et
C’est même de là que ce problème a été appelé problème des quadratures, et c’est sous ce point de vue que nous l’envisagerons constamment, dans tout ce qui va suivre.
2. Soit fait, pour abréger
; et, pour fixer les idées, imaginons que l’on ait divisé l’intervalle
en douze parties égales ; désignons par ![{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72469c332beb767c78b4a886c286a7f07abd9861)
les abscisses qui répondent aux treize points de divisions ; au moyen de l’équation
nous pourrons calculer les ordonnées qui leur correspondent ; représentons-les respectivement par ![{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots b_{10},b_{11},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7d5214b718b28613a81f13a66859a4cf7bbeb6)
nous connaîtrons ainsi treize points de la courbe qu’il s’agit de quarrer entre les limites
et
pour lesquelles on a respectivement
3. Soient joints les deux points extrêmes
par une corde, cette corde, avec sa projection
et les deux ordonnées extrêmes formera un trapèze ; en désignant son aire par
et posant
![{\displaystyle 12\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c288697e7761af824fe09ae5f3c61979a3f197e5)
nous aurons
![{\displaystyle S_{12}={\tfrac {1}{12}}cb'_{12}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebd0370dbe398cdd5d4b250bcf3a446b13cf2f0)
4. Soient joints consécutivement les trois points
par deux cordes ; ces cordes formeront, avec
et les trois ordonnées
deux trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par
et posant
![{\displaystyle 6\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{6}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42707402e741f1b1b7b80be534e7d284c4926178)
nous aurons
![{\displaystyle S_{6}={\tfrac {1}{12}}cb'_{6}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542da6b4251316643278699f4a581ed9c1777f32)
5. Soient joints consécutivement les quatre points ![{\displaystyle \left(a_{0},b_{0}\right),\left(a_{4},b_{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2484a2e318dea35668f067cab929b95e3ebf73ce)
trois cordes ; ces cordes formeront, avec
et les quatre ordonnées
trois trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par
et posant
![{\displaystyle 4\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{4}+b_{8}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c29b7f87fa5e14edbb60248a7f0a9637a0a627)
nous aurons
![{\displaystyle S_{4}={\tfrac {1}{12}}cb'_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25526dceae2124ba260c9ca288dcb48bc0906387)
6. Soient joints consécutivement les cinq points ![{\displaystyle \left(a_{0},b_{0}\right),\left(a_{3},b_{3}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a806a7030e0f22e0a77dbf00e663f1d3181c56)
par quatre cordes ; ces cordes formeront, avec
et les cinq ordonnées
quatre trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par
et posant
![{\displaystyle 3\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{3}+b_{6}+b_{9}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a275d6f722fdd8a835da30588639066f0bc5d439)
nous aurons
![{\displaystyle S_{3}={\tfrac {1}{12}}cb'_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd2572d650701e64558090c98dd7e0af48ed91c)
7. Soient joints consécutivement les sept points ![{\displaystyle \left(a_{0},b_{0}\right),\left(a_{2},b_{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b328244841d292cf1e5319205c53a092f1441ef6)
![{\displaystyle \left(a_{4},b_{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16586b595ce6a32ce4ae561a83424609e0575cfa)
par six cordes ; ces cordes formeront, avec
et les sept ordonnées
six trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par
et posant
![{\displaystyle 2\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}+b_{10}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06a2fde2184d7bf20856766f072b7b560b4a01)
nous aurons
![{\displaystyle S_{2}={\tfrac {1}{12}}cb'_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fcd90cbdcd840b82fda53b1bf6f162e59cc51d)
8. Enfin, soient joints consécutivement tous les treize points de la courbe par douze cordes ; ces cordes formeront, avec
et les
treize ordonnées, douze trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par
, et posant
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}+b_{11}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}=b'_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2883a4fd6ab4abbcf457ec91978f103b444afda2)
nous aurons
![{\displaystyle S_{1}={\tfrac {1}{12}}cb'_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43b2a60f6920ee2834b62b364b437b5e35f9af9)
9. Aucune des aires
n’est l’aire demandée mais il résulte évidemment de notre procédé que ces aires convergent de plus en plus vers celle-là. Donc aussi la ligne par laquelle il faut multiplier
pour avoir l’aire demandée n’est aucune des lignes
mais une ligne vers laquelle celles-là convergent de plus en plus.
10. Portons les ordonnées
sur leurs correspondantes
et imaginons une courbe située au-dessus de la première, passant par les six points ![{\displaystyle \left(a_{1},b'_{1}\right),\left(a_{2},b'_{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45908280b32c7ecbf5b9904d61dab8b617f9eb3)
![{\displaystyle \left(a_{3},b'_{3}\right),\left(a_{4},b'_{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d3f331f716cdd37d8fbbf11c72ae42471f394)
cette courbe prolongée rencontrera le prolongement de l’ordonnée
en quelque point, en désignant par
son ordonnée qui répond à celle-là, et conséquemment à l’abscisse
les ordonnées ![{\displaystyle b'_{12},b'_{6},b'_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a578cb554011ed77df88ff93973e6b1cd2d843)
tendant continuellement vers la ligne par laquelle il faut multiplier
pour avoir l’aire cherchée, en désignant cette aire par
nous pourrons prendre sensiblement
![{\displaystyle S_{0}={\tfrac {1}{12}}cb'_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618b7de7aad98072a4f66781f7228397958a3cce)
et tout se réduira à trouver
; problème qui rentre dans les méthodes connues d’interpolation. Par la nature même de ces méthodes, et de l’espèce d’arbitraire auquel elles sont inévitablement assujetties, la valeur que nous trouverons pour
ne sera point proprement la véritable ; mais sa différence avec elle sera comparable à celle qui existe entre le rayon et le sinus-verse d’un très-petit angle, tel que serait, par exemple, celui d’une minute ou même d’une seconde. Effectivement nous verrons bientôt que, dans tous les cas ordinaires d’intégration, cette différence n’est sensible qu’à la dixième ou à la douzième décimale. D’ailleurs on peut la diminuer à volonté, en augmentant le nombre des parties égales de
qu’on pourra porter à
ou
au lieu de ![{\displaystyle 12.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ee8bf1c252cecdcbd35ffeae377d0e64dd73e2)
11. Il est facile de voir, par la nature de la courbe dont les ordonnées sont
qu’elle doit couper perpendiculairement l’ordonnée
c’est-à-dire, en d’autres termes, qu’en prenant
pour le symbole général des ordonnées de cette courbe, et faisant répondre l’origine à l’ordonnée
on doit avoir en même temps
ce qui exîge que l’expression de
ne renferme point la première puissance de
Pour plus d’uniformité, nous en exclurons également toutes les autres puissances impaires, et nous poserons simplement
![{\displaystyle y'=A+Bx^{2}+Cx^{4}+Dx^{6}+Ex^{8}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f18de5f55adbcb955607eda176240d764439314)
il s’agira donc de déterminer le coefficient
auquel se réduit
lorsque ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
12. En prenant
pour unité, il faudra donc qu’aux valeurs
de
, répondent pour
les valeurs
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}b'_{1}\ =&A+\quad \ \,B+\quad \ \,C+\quad \ \ D+\quad \ \,E+\quad \ \ \ F,\\b'_{2}\ =&A+\ \ 2^{2}B+\ \ 2^{4}C+\ \ 2^{6}D+\ \ 2^{8}E+\ \ 2^{10}F,\\b'_{3}\ =&A+\ \ 3^{2}B+\ \ 3^{4}C+\ \ 3^{6}D+\ \ 3^{8}E+\ \ 3^{10}F,\\b'_{4}\ =&A+\ \ 4^{2}B+\ \ 4^{4}C+\ \ 4^{6}D+\ \ 4^{8}E+\ \ 4^{10}F,\\b'_{6}\ =&A+\ \ 6^{2}B+\ \ 6^{4}C+\ \ 6^{6}D+\ \ 6^{8}E+\ \ 6^{10}F,\\b'_{12}\ =&A+12^{2}B+12^{4}C+12^{6}D+12^{8}E+12^{10}F\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c40091eeaf5a9ebfb1e09357a7df75b27fdea2)
et, en éliminant, entre ces six équations, les cinq coefficiens
la valeur de
que l’on tirera de l’équation finale, en fonction de
sera, pour
l’intégrale demandée ; nous avons vu d’ailleurs qu’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}b'_{1}&={\tfrac {1}{2}}b_{0}+\ \ b_{1}+\ \ b_{2}+\ \ b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}+b_{11}+{\tfrac {1}{2}}b_{12},\\b'_{2}&=\ \ \ b_{0}+\ \ b_{2}+\ \ b_{4}+\ \ b_{6}+b_{8}+b_{10}+b_{12},\\b'_{3}&={\tfrac {1}{2}}b_{0}+3b_{3}+3b_{6}+3b_{9}+{\tfrac {1}{2}}b_{12},\\b'_{4}&=\ 2b_{0}+4b_{4}+4b_{8}+2b_{12},\\b'_{6}&=\ 3b_{0}+6b_{6}+3b_{12},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da9dda4c7c8ba66aa914b97cf84b002c1c5df2a)
[1]
13. Les équations qu’il s’agit de résoudre étant au nombre de six, nous allons les présenter sous la forme plus générale que voici
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=A+Ba+Ca^{2}+Da^{3}+Ea^{4}+Fa^{5},\\b'&=A+Bb+Cb^{2}+Db^{3}+Eb^{4}+Fb^{5},\\c'&=A+Bc+Cc^{2}+Dc^{3}+Ec^{4}+Fc^{5},\\d'&=A+Bd+Cd^{2}+Dd^{3}+Ed^{4}+Fd^{5},\\e'&=A+Be+Ce^{2}+De^{3}+Ee^{4}+Fe^{5},\\f'&=A+Bf+Cf^{2}+Df^{3}+Ef^{4}+Ff^{5}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b583f30ae992573cd8e81e12ea7c8550638e571a)
Les quantités
de même que
sont regardées comme données, et il s’agit uniquement d’obtenir la valeur de
; de sorte que les cinq autres quantités
sont tout à fait indifférentes au problème qui nous occupe. Or, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {bcdefa'}{(b-a)(c-a)(d-a)(e-a)(f-a)}}\\&+{\frac {cdefab'}{(c-b)(d-b)(e-b)(f-b)(a-b)}}\\&+{\frac {defabc'}{(d-c)(e-c)(f-c)(a-c)(b-c)}}\\&+{\frac {efabcd'}{(e-d)(f-d)(a-d)(b-d)(c-d)}}\\&+{\frac {fabcde'}{(f-e)(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)}}\\&+{\frac {abcdef'}{(a-f)(b-f)(c-f)(d-f)(e-f)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489464b20c9138bc71d3176b9ab63ac91407e276)
La loi que suit cette expression générale est évidente, et on peut aisément l’étendre au cas où l’on aurait un plus grand nombre d’équations.
14. J’appellerai diviseur général le nombre des parties égales dans lesquelles on aura divisé l’intervalle
qui sépare les ordonnées extrêmes qui terminent l’espace mixtiligne qu’il s’agit de quarrer ; nombre qui a constamment été supposé
dans ce qui précède. Le choix de ce nombre n’est point indifférent ; et à grandeur à peu près égale, on doit donner la préférence à celui qui a le plus grand nombre de petits diviseurs, tel que
Nous allons voir, au surplus, que, dans les applications pratiques, il doit être à peu près superflu d’aller au-delà de
attendu qu’en se bornant à ce nombre, on peut, dans les cas ordinaires, obtenir les intégrales avec douze
chiffres décimaux exacts, au moins.
15. Le diviseur général étant choisi, le nombre et la nature des parties aliquotes à employer sont encore arbitraires. Il convient de ne jamais donner l’exclusion aux aliquotes
et le plus exact sera de les employer toutes ; mais il en résultera nécessairement plus de peine pour le calculateur ; d’ailleurs en n’allant pas même au-delà de
on peut obtenir des résultats qui, pour la précision, excèdent déjà les besoins ordinaires de l’analise.
16. Première formule.
Prenons d’abord pour diviseur général le nombre
en employant tous les aliquotes
; nous aurons simplement ici
![{\displaystyle A={\tfrac {bcda'}{(b-a)(c-a)(d-a)}}+{\tfrac {cdab'}{(c-b)(d-b)(e-b)}}+{\tfrac {dabc'}{(d-c)(a-c)(b-c)}}+{\tfrac {abcd'}{(a-d)(b-d)(c-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759b807ee27f29d95ee336abc6c7d87bcea50433)
Or, on a, dans le cas actuel,
ce qui donne, en substituant,
![{\displaystyle A={\frac {1296a'-567b'+112c'-d'}{840}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d579786dab589fbb4ee7143fca39d50d9799d840)
et, en prenant pour unité l’intervalle entre deux ordonnées consécutives, ce sera là l’intégrale demandée.
17. Pour plus de simplicité, appelons les sept ordonnées du cas actuel
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +{\tfrac {1}{2}}\eta ,\\b'&=\alpha +2\gamma +2\varepsilon +\eta ,\\c'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +3\delta +{\tfrac {1}{2}}\eta ,\\d'&=3\alpha +3\eta \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4170def08deb9b26e703c0d0c7da553d2af07327)
qui donnera ; en substituant,
![{\displaystyle A={\frac {246(\alpha +\eta )+1296(\beta +\zeta )+162(\gamma +\varepsilon )+1632\delta }{840}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00443f7bdc868eed32d3f54b33984c590eeb486)
En prenant donc l’intervalle entier qui sépare les ordonnées extrêmes
et
pour unité ; on aura finalement pour l’intégrale cherchée
![{\displaystyle \int X\operatorname {d} x={\frac {41(\alpha +\eta )+216(\beta +\zeta )+27(\gamma +\varepsilon )+272\delta }{840}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca4062a34d0441f75c6e0d2cd3e22e3990da046)
(1)
Si, dans cette dernière formule, on fait
elle devient
ainsi que cela doit être.
18. Exemple premier. On demande le logarithme naturel de deux ?
Le logarithme d’un nombre quelconque
est l’intégrale de
depuis
jusqu’à
En divisant donc en six parties égales l’intervalle compris entre un et deux, et remarquant qu’ici
nous aurons d’abord
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha &={\tfrac {6}{6}}=1,00000000,&\alpha +\eta &=1,50000000,\\\beta &={\tfrac {6}{7}}=0.85714286,&\beta +\zeta &=1,40259740,\\\gamma &={\tfrac {6}{8}}=0,75000000,&\gamma +\varepsilon &=1,35000000,\\\delta &={\tfrac {6}{9}}=0,66666667,&2\delta &=1,33333333.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c1aba00f9e4245b3ca2f761f40afc08ad86e49)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\varepsilon &={\tfrac {6}{10}}=0,60000000,\\\zeta &={\tfrac {6}{11}}=0,54545455,\\\eta &={\tfrac {6}{12}}=0,50000000\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b414b3ec07a6996fa1d2de561427f3dea353963d)
Ces valeurs étant substituées dans la formule (I), on aura
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0,69314806.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc7d6a2b43f607fe0dc94888b208b1dad247d4f)
La valeur rigoureuse est
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0,69314718.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7164ea954e4af639bedd3730b4595d2d2a9c353f)
La différence est donc
moindre qu’un millionième.
19. Exemple II. On demande la longueur du demi-quadrans
?
La longueur de l’arc dont la tangente est
est l’intégrale de
prise depuis
jusqu’à
; celle de l’arc
sera donc cette même intégrale, prise entre zéro et un ; divisant donc cet intervalle en six parties égales, et remarquant qu’ici
il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha &={\tfrac {36}{36}}=1,00000000,&\alpha +\eta &=1,50000000,\\\beta &={\tfrac {36}{37}}=0,97297297,&\beta +\zeta &mm=1,56313690,\\\gamma &={\tfrac {36}{40}}=0,90000000,&\gamma +\varepsilon &=1,59230769,\\\delta &={\tfrac {36}{45}}=0,80000000,&2\delta &=1,60000000.\\\varepsilon &={\tfrac {36}{52}}=1,69230769,&&\\\zeta &={\tfrac {36}{62}}=0,59016393,&&\\\eta &={\tfrac {36}{72}}=0,50000000\,;&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bfcf66501bb56a71c5883fd28a971972e6ce28)
Ces valeurs étant substituées dans la formule (I), on aura
![{\displaystyle ={\frac {\varpi }{4}}=0,78539271.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10912b39cde146d03708812025ac2c60584a0a07)
La valeur rigoureuse est
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4}}=0,78539816.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90dc2c2775ccb045af58769e6c679542ffed4832)
Ainsi l’erreur est
moindre que un cent millième.
20. Cette première formule (17) est la plus simple et la plus aisée de toutes ; c’est celle qui exige le moins de calculs ; mais c’est aussi c’elle qui donne les résultats les moins approchés. Celles qui vont suivre seront beaucoup plus exactes.
21. Deuxième formule. Prenons
pour diviseur général, mais n’admettons d’abord que les parties aliquotes
; cela donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {bcdea'}{(b-a)(c-a)(d-a)(e-a)}}+{\tfrac {cdeab'}{(c-b)(d-b)(e-b)(a-b)}}+{\tfrac {deabc'}{(d-c)(e-c)(a-c)(b-c)}}\\&\qquad +{\tfrac {eabcd'}{(e-d)(a-d)(b-d)(c-d)}}+{\tfrac {abcde'}{(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a327f0aeb54add255fd15a3bf5aa5758d7a1db27)
Or, nous avons ici
nous aurons donc, en prenant pour unité l’intervalle entre les deux ordonnées extrêmes,
![{\displaystyle A={\frac {1728a'-945b'+320c'-54d'+e'}{12600}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4577074c66f19f59faa4619c46ef6c8eed21dfc1)
mais on a, dans le cas actuel,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +\eta +\theta +\iota +\varkappa +\lambda +\mu +{\tfrac {1}{2}}\nu ,\\b'&=\alpha +2\gamma +2\varepsilon +2\eta +2\iota +2\lambda +\nu ,\\c'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +3\delta +3\eta +2\varkappa +{\tfrac {1}{2}}\nu ,\\d'&=2\alpha +4\eta +4\iota +2\nu \,;\\e'&=3\alpha +6\eta +3\nu \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5955a11dda0a62db13e91a725e07b3a4d1287ec4)
qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle \int X\operatorname {d} x={\tfrac {49(\alpha +\nu )+288(\beta +\mu )-27(\gamma +\lambda )+448(\delta +\varkappa )-63(\varepsilon +\iota )+288(\zeta +\theta )+134\eta }{2100}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fcd8443f15df6a399346b4046f77940a82b5e2)
22. Exemple I. On demande de nouveau le logarithme de deux ?
En divisant en douze parties égales l’intervalle entre un et deux, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha &={\tfrac {12}{12}}=1,0000000000,&\alpha +\nu &=1,5000000000,\\\beta &={\tfrac {12}{13}}=0,9230769231,&\beta +\mu &=1,4448160535,\\\gamma &={\tfrac {12}{14}}=0,8571428571,&\gamma +\lambda &=1,4025974026,\\\delta &={\tfrac {12}{15}}=0,8000000000,&\delta +\varkappa &=1,3714285714,\\\varepsilon &={\tfrac {12}{16}}=0,7500000000,&\varepsilon +\iota &=1,3500000000,\\\zeta &={\tfrac {12}{17}}=0,7058823529,&\zeta +\theta &=1,3374613003,\\\eta &={\tfrac {12}{18}}=0,6666666667,&2\eta &=1,3333333333\,;\\\theta &={\tfrac {12}{19}}=1,6315789474,&&\\\iota &={\tfrac {12}{20}}=0,6000000000,&&\\\varkappa &={\tfrac {12}{21}}=0,5714285714,&&\\\lambda &={\tfrac {12}{22}}=0,5454545455,&&\\\mu &={\tfrac {12}{23}}=0,5217391304,&&\\\nu &={\tfrac {12}{24}}=0,5000000000\,;&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9c9d36be4bd52888f93e8b0823b13ffc9e82ea)
ce qui donnera, en substituant dans la formule (II)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0.6931471816\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4055dfb93c0229f375c952b8f5bb75e5ba38827)
la valeur rigoureuse est
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0,6931471806\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b982a268e44674aee3a7b835b76f692349f6a2e0)
l’erreur est donc
![{\displaystyle 0,0000000010,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8900d564c4a43cc21fd4122f59bbd9dd8278f54)
c’est-à-dire, que cette valeur est exacte dans les huit premiers chiffres décimaux,
23. Remarque. Avec le seul logarithme de deux on peut facilement trouver tous les autres. Soit
un nombre absolument quelconque dont il faille chercher le logarithme. Soit
la puissance de deux qui lui est immédiatement inférieure ; et soit
le quotient qu’on obtient en divisant le premier de ces deux nombres par le second. Comme
sera certainement un nombre moindre que l’unité, la formule (I) suffira pour déterminer le logarithme de
divisant donc à en six parties égales on aura
Il faudra multiplier par
l’intégrale obtenue par la formule ; on aura alors le logarithme de
auquel ajoutant
fois celui de deux, on aura celui de
avec une erreur qui ne tombera pas au-dessus de la huitième ou même de la neuvième décimale.
24. Exemple II. On demande le logarithme naturel de 10000 ?
La puissance de deux immédiatement inférieure à 10000 est
. On aura ainsi ![{\displaystyle m=10000,n=13,1+h={\frac {10000}{8192}}=1+{\frac {1808}{8192}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990f6a3905f9fe1f3584d37ed6a3d2d3fb118369)
on aura donc
![{\displaystyle \operatorname {Log} .10000=13\operatorname {Log} .2+\operatorname {Log} (1+{\frac {113}{512}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba72a247985a5b9252552c70983abcaa6205483)
Pour trouver ce dernier logarithme, on fera ![{\displaystyle \alpha ={\frac {3072}{3072}},\beta ={\frac {3072}{3185}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a2d62af44f11706606a43f98febd81993fd6f)
On trouvera ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}41(\alpha +\eta )&=\ \ 74,58720000,\\216(\beta +\zeta )&=390,78145008,\\27(\gamma +\varepsilon )&=\ \ 48,68667756,\\272\ \delta &=244,96745680.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbc22f53d98b38956b1a70a29ff68df51117a5e)
La somme
de ces quatre nombres, divisée par
et multipliée par
donne pour le logarithme de
ou ![{\displaystyle h={\frac {625}{512}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd5b6555076a6f2f77dd0501722520a1272871e)
La valeur rigoureuse est
la différence est donc seulement de quatre unités décimales du dixième ordre.
25. D’un autre côté, ayant trouvé
on aura
Ajoutant celui qu’on vient de trouver, il en résultera le logarithme de
égal à
En prenant le quart de ce logarithme, on aura, pour le module de nos tables vulgaires
![{\displaystyle \operatorname {Log} .10=2,3025850963.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fac4883e95484f901fdf714a45eae332a56e2)
La valeur rigoureuse étant
![{\displaystyle \operatorname {Log} .10=2,3025850930\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053caa4844c7323fb80232e5801b6ced1871a3f3)
on voit que l’erreur est au-dessous de quatre unités décimales du neuvième ordre.
26. Exemple III On demande la longueur de tout arc dont on connaît la tangente ?
L’arc dont la tangente est
est l’intégrale de
prise depuis
jusqu’à
En se servant de la formule (II) les quantités qu’il faudra y substituer pour
seront des fractions ayant pour numérateur commun
et pour dénominateurs respectifs les nombres ![{\displaystyle 144,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252e921b7172d45deab44b7f0e3cd05cbe2c4c38)
![{\displaystyle 144+100t^{2},144+121t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5155464d325adf120a5f85f2592fafafbd01a2a5)
et l’arc cherché sera la valeur qui en résultera pour
multipliée par
L’exemple suivant nous fera juger du degré d’exactitude de ce procédé.
27. Exemple IV. On demande, suivant la formule précédente, la longueur de l’arc
?
Les dénominateurs de nos quantités
sont ici
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha +\nu &={\frac {144}{144}}+{\frac {144}{288}}&={\frac {3}{2}}&=1,5000000000,\\\beta +\mu &={\frac {144}{145}}+{\frac {144}{265}}&={\frac {11808}{5.29.53}}&=1,5364996746,\\\gamma +\lambda &={\frac {144}{148}}+{\frac {144}{244}}&={\frac {3528}{37.61}}&=1,5631369074,\\\delta +\varkappa &={\frac {144}{153}}+{\frac {144}{225}}&={\frac {672}{17.25}}&=1,5811764706,\\\varepsilon +\iota &={\frac {144}{160}}+{\frac {144}{208}}&={\frac {207}{130}}&=1,5923076923,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa6d57a10b27d319dfc89968b12e9946a2354ac)
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\zeta +\theta &={\frac {144}{169}}+{\frac {144}{193}}&={\frac {52128}{169.193}}&=1,5981849955,\\2\eta &={\frac {144}{180}}+{\frac {144}{180}}&={\frac {8}{5}}&=1,6000000000,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e71505bb71e85fa99b8f566e012db59998514)
d’où on conclura finalement
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4}}=0,7853981727.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5a42582d07100fe9dbceb5034f0d26584baa78)
La valeur rigoureuse étant
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4}}=0,7853981634.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee516cb33dda80376c4d9cfca4941fa4a2315068)
il s’ensuit que l’erreur tombe au-dessous d’une unité décimale du huitième ordre.
28. Exemple V. Rectification générale de l’ellipse.
Ce célèbre problème qui exerce, depuis plus d’un siècle, le génie de nos plus grands analistcs, rentre de lui-même dans nos formules générales, dont il ne présente qu’un cas très-particulier.
Soient
les deux demi-axes, et proposons-nous de rectifier l’arc compris depuis l’extrémité de
jusqu’au point dont la normale fait avec
un angle
la formule à intégrer sera
![{\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}\operatorname {d} \lambda }{\left(a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda \right)^{\tfrac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1138eadf73d33c6c5c12b6f8d40d91bd40ba744d)
depuis
Si l’on veut se contenter de la première formule, on remplacera successivement la lettre
dans
![{\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda \right)^{\tfrac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8beee1aa1b7a98886a0977d6570716d34acd7fa8)
d’abord par zéro et ensuite pars
de
On aura ainsi les valeurs de
d’où on conclura celles de
et par suite celle de
qui, multipliée par l’arc entier
exprimé en parties du rayon, fera connaître la longueur de l’arc cherché.
29. Supposons, par exemple, qu’il soit question d’assigner la longueur du quart de l’ellipse ;
sera un angle droit, et devra
conséquemment devenir successivement
Or, on sait que
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\operatorname {Sin} .^{2}\ \ 0^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}90^{\circ }&=0,\\\operatorname {Cos} .^{2}\ 0^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}90^{\circ }&=1,\\\operatorname {Sin} .^{2}15^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}75^{\circ }&={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}},\\\operatorname {Cos} .^{2}15^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}75^{\circ }&={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}},\\\operatorname {Sin} .^{2}30^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}60^{\circ }&={\frac {1}{4}},\\\operatorname {Cos} .^{2}30^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}60^{\circ }&={\frac {1}{4}},\\\operatorname {Sin} .^{2}45^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}90^{\circ }&={\frac {1}{2}}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db25e75eb502f7acd02c3050d424349918a075f)
Il viendra donc, en posant pour abréger le quarré
de l’excentricité ![{\displaystyle =c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34301fea12ce6191c7ff62e0de52f11835a7555e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {b^{2}}{a}},\\\beta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\gamma &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\delta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\varepsilon &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {3}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\zeta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\eta &={\frac {a^{2}}{b}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a23e0c86fa10ea9d19806c87cb2cf2e5615c77a)
Ayant obtenu la valeur de
on la multipliera par
et
l’on aura ainsi une valeur du quart d’ellipse qui, dans les cas
ordinaires, ne sera pas fautive d’un cent-millième.
30. Exemple VI. On demande l’intégrale de
depuis
jusqu’à
?
L’intervalle étant divisé en douze parties égales, on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}{\text{Pour }}t=0{,}00,&{\text{la fonction }}e^{-t^{2}}=1{,}0000000,\\0{,}25&0{,}9394332,\\0{,}50&0{,}7788009,\\0{,}75&0{,}5697828,\\1{,}00&0{,}3678794,\\1{,}25&0{,}2096113,\\1{,}50&0{,}1053992;\\1{,}75&0{,}0467706,\\2{,}00&0{,}0183156,\\2{,}25&0{,}0063297,\\2{,}50&0{,}0013904,\\2{,}75&0{,}0005244,\\3{,}00&0{,}0001234.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef81aa59142c04542fb9e8a9775ee8fee90d4a6d)
En employant la formule (II), on trouve, pour le numérateur de
l’intégrale
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 620{,}3635233,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256f70a5c5282b00d490e3a5d4b3d4bbbcd25968)
et pour son dénominateur
![{\displaystyle \ldots 2100\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc0856a35ad79d537a4d1b61e5274e9059d0ca3)
mais, à cause de l’intervalle
il faudra diviser par
seulement,
ce qui donnera finalement
![{\displaystyle \int e^{-t^{2}}\operatorname {d} t=0{,}8862336.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12feb4a95cf4ec5e1a1a140ff6103dabad710c9)
31. Dans mon Analise des réfractions astronomiques, j’ai donné
une table des intégrales de
prises jusqu’à l’infini. J’y trouve
Depuis
![{\displaystyle t=0,\ldots \ldots 0{,}88622692,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4aa10409cff392aac6f43b93c32d7aeef5cd5a)
Depuis
![{\displaystyle t=2,\ldots \ldots 0{,}00001958\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1876ab734d9e2cff444b941480e31ae854b5eaa1)
Elle est donc de
![{\displaystyle 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5)
à
![{\displaystyle \,3,\ldots \ldots 0{,}88620734\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b55b3066519d44f74740d7b99a1bca4d87e34d)
la différence avec la précédente n’excède guère un quarante-millième d’unité.
32. Exemple VII. On demande l’intégrale de
depuis
jusqu’à une valeur quelconque de
?
La courbe dont l’équation est
n’a aucun de ses points situé
dans les angles des coordonnées de signes contraires ; mais elle a,
dans chacun des angles des coordonnées de mêmes signes, une partie qui
présente deux branches infinies. Les axes sont les asymptotes de la
partie située dans l’angle des coordonnées négatives ; quant à l’autre
partie, elle n’a qu’une seule asymptote qui est l’axe des
elle
a une ordonnée minimum qui répond au point pour lequel on a
et conséquemment
et, à partir de ce point jusqu’à
l’origine, l’accroissement de l’ordonnée est très-rapide, et s’élève à
un ordre d’infini qu’il n’est pas même possible de déterminer ; de
sorte que cette branche ne peut approcher indéfiniment d’aucune
courbe connue, à moins peut-être que ce ne soit la branche curviligne de la Logistique ordinaire.
33. Cherchons, par la première formule, l’aire de la courbe, d’abord
entre
et
puis entre
et
et nous chercherons ensuite,
par la seconde formule, l’aire totale entre
et
laquelle doit
être rigoureusement égale à la somme des deux premières. La différence que nous trouverons entre les deux résultats nous mettra, à
même d’apprécier l’erreur que notre méthode laisse subsister, dans
le cas particulier de ce problème.
34. On trouve, dans les Tables logarithmiques de Schulze (Berlin, 1778), une table des puissances de
depuis la première jusqu’à la vingt-quatrième. Divisant donc les treize premiers par leurs exposans respectifs, nous aurons nos
treize ordonnées ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\alpha =&\qquad 2{,}718282,\\\beta =&\qquad 3{,}694528,\\\gamma =&\qquad 6{,}695178,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fde15804318c6acd38653d1f8807128f434a9f)
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\delta =&29{,}682632,\\\varepsilon =&29{,}682632,\\\zeta =&67{,}238132,\\\eta =&156{,}661880,\\\theta =&372{,}619748,\\\iota =&900{,}342659,\\\varkappa =&2202{,}646579,\\\lambda =&5443{,}103792,\\\mu =&13562{,}899285,\\\nu =&34031{,}769385.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4996ceb4199769357e44fee09552772653fad237)
35. On aura d’abord, par la formule (I), pour l’aire comprise
entre
et
![{\displaystyle {\frac {41(\alpha +\eta )+216(\beta +\zeta )+27(\gamma +\varepsilon )+272\delta }{140}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd116a73874f442092a2ead484bbc1ac2c4c9458)
et pour l’aire comprise entre
et ![{\displaystyle 13,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eec95299911f39f2e54999eb8ef3b45373ed69f)
![{\displaystyle {\frac {41(\eta +\nu )+216(\theta +\mu )+27(\iota +\lambda )+272\varkappa }{140}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afa74ff7c5273d2dbdbc2e75e92649927145fb9)
On trouvera ensuite, par la formule (II), pour l’aire totale, comprise entre
et ![{\displaystyle 13,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eec95299911f39f2e54999eb8ef3b45373ed69f)
![{\displaystyle {\frac {7}{25}}(\alpha +\nu )+{\frac {288}{175}}(\beta +\zeta +\theta +\mu )-{\frac {27}{175}}(\gamma +\lambda )+{\frac {64}{25}}(\delta +\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8d54903e696c2e9314723ec4d643a35dda33b0)
![{\displaystyle -{\frac {9}{25}}(\varepsilon +\iota )+{\frac {134}{175}}\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad50f49a6235bc5012bf126d38b174faf216863)
36. On aura ainsi
Pour l’aire entre
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
et
![{\displaystyle \ 7,\ldots \ldots \quad 189{,}649401,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58dc6cb23461b02954200d3f91a31622403b43e4)
Pour l’aire entre
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8)
et
![{\displaystyle 13,\ldots \ldots 37015{,}696762,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6608b4bce15a1513455c9f9e457bb0e90466c37f)
Pour l’aire entre
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
et
![{\displaystyle 13,\ldots \ldots 37198{,}443648.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2212e50ac36fec596b0a17e74ec39155846652ae)
Cette dernière est un peu moindre que la somme des deux autres ;
et elle doit naturellement être réputée plus exacte ; la différence
est
; c’est environ la
partie de l’intégrale entière. Cette différence est un peu plus sensible que celles de tous les problèmes précédens ; mais il faut considérer aussi à quelle intégrale on avait à faire. Celle de
tient une des premières places parmi ces intégrales éminemment réfractaires, qui se sont constamment jusqu’ici montrées rebelles à tous les moyens d’intégration connus, sans même en exclure l’emploi des séries infinies. Hinc ergo natura hujus functionis transcendentis parum cognoscitur, dit Euler (Calc. intég., vol. 1, n.o 228).
37. Égalant entre elles la somme des deux formules qui nous ont donné les aires partielles et celle qui nous a donné l’aire totale, on est conduit à cette nouvelle égalité très-remarquable
![{\displaystyle (\alpha +\nu )-8(\beta +\mu )+27(\gamma +\lambda )-48(\lambda +\varkappa )+43(\varepsilon +\iota )-8(\zeta +\theta )=14\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846df798e7c7da38d9ce1e7267b8de0a38b7996c)
C’est l’équation de condition ; pour que le point du milieu, ou bien tout autre de nos treize points, se trouve sur la courbe déterminée par les douze autres. Elle est rigoureusement satisfaite, dans le cas où nos treize ordonnées sont égales entre elles : elle est rigoureusement remplie encore dans une infinité d’autres courbes dont il serait trop long de faire ici l’énumération. Elle est remplie, quoiqu’avec une différence presque insensible, lorsque la portion de courbe qui est comprise entre les limites de l’intégrale, est sans asymptote, sans imaginaires, sans point d’inflexion ni de rebroussement ; lorsqu’enfin elle ne s’écarte pas trop de quelque courbe rentrante ; telle que sont les ellipses de différens degrés. Ces sortes d’équation de condition, nouvelles dans l’analise, sont essentielles dans la théorie de l’interpolation ; elles pourront être le sujet d’un mémoire particulier.
38. Troisième formule. En conservant le diviseur général
ajoutons aux cinq premiers aliquotes
le nombre
lui-même. Nous aurons alors ![{\displaystyle a=1,\ b=4,\ c=9,\ d=16,\ e=36,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd1c1cdd8370e841c7baa351219d66ac351c429)
et ensuite (13)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}21621600A&=2985984a'&-1667952b'\\&+\quad 585728c'&-\ \ 104247d'\\&+\qquad 2288e'&-\qquad \quad f'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8da5fa2812e9da34ace6abb5d8c246d3b8609e1)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}1801800A&=41833(\alpha +\nu )+248832(\beta +\zeta +\theta +\mu )\\&-29160(\gamma +\lambda )+395264(\delta +\varkappa )\\&-63909(\varepsilon +\iota )+118416\eta .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aee561705beaad4737ac55d394b8a6c1a6ae65e)
Le calcul d’après cette formule est beaucoup plus compliqué, mais aussi elle réduit à peu près au quart l’erreur de l’autre.
39. Quatrième formule. En prenant pour diviseur général
et pour ses parties aliquotes
1,2,3,6,9, d’où
![{\displaystyle a=1,b=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36177ebd0eff216a8392f54810fa8453d9b9f3f)
on obtient d’abord (21)
![{\displaystyle 277200A=24057a'-10935b'+2310c'-33d'+e',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709204472e32ad28ef721547e71601b26afdad3b)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}30800A&=496(\alpha +\tau )+2673(\beta +\zeta +\theta +\mu +o+\sigma )\\&+243(\gamma +\varepsilon +\iota +\lambda +\zeta +\rho )+3443(\delta +\varpi )\\&\qquad 991(\eta +\nu )+3444\varkappa ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aab9304b7632168f895795b14279be5635d75a)
40. Cinquième formule. En prenant pour diviseur général
et pour ses aliquotes
d’où
![{\displaystyle a=1,b=4,c=9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4198b3d3f68412845ac1f02a9ebd4ba6d0112274)
on obtient d’abord
![{\displaystyle 25200A=1728a'-945b'=320c'-54d'+e'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f446fad2129d5ed8e437f67207bde3c082b65dc)
Cette formule paraît être, au dénominateur près, qui est double, identique avec notre seconde formule ; elle ne l’est pourtant pas ; parce que le nombre des ordonnées étant double, les lettres
en acquièrent des valeurs entièrement différentes. On trouve, en effet, en désignant par ȣ la 25.e ordonnée
![{\displaystyle {\begin{aligned}4200A&=49(\alpha +{\text{ȣ}})+288(\beta +\zeta +\theta +\mu +\xi +\sigma +\upsilon +\omega )\\&-27(\gamma +\lambda +o+\psi )+448(\delta +\varkappa +\varpi +\chi )\\&\qquad -63(\varepsilon +\iota +\varrho +\phi )+134(\eta +\tau )+98.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5114a12a0934587ca57a7220fc661d568699d2)
L’erreur que cette formule laisse subsister dans le calcul de l’arc
laquelle est soustractive, n’est sensible qu’à la onzième décimale.
41. Sixième formule. Le diviseur général étant encore
; si l’on emploie les parties aliquotes
; ce qui donne ![{\displaystyle a=1,b=4,c=9,d=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2a144deaf3d229d817b7d193ce6ed4a866cd37)
on aura d’abord (13)
![{\displaystyle 970200A=67584a'-38808b'+14336c'-2772d'+88e'-3f'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2cf297bc8327c85f74f19522566cfef89bcedc)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}80850A&=933(\alpha +{\text{ȣ}})+5632(\beta +\zeta +\theta +\mu +\xi +\sigma +\upsilon +\omega )\\&-836(\gamma +\lambda +o+\psi )+9216(\delta +\varkappa +\varpi +\chi )\\&-1760(\varepsilon +\phi )+2792(\eta +\tau )-1762(\iota +\varrho )+1868.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046153d13d7f760da429b7a7f7722b92d8dfb75d)
L’usage de cette formule réduit au quart l’erreur que la précédente avait laissé subsister.
42. Septième formule. Le diviseur général étant toujours
, prenons ses aliquotes
; ce qui donnera ![{\displaystyle a=1,b=4,c=9,d=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2a144deaf3d229d817b7d193ce6ed4a866cd37)
on aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}15765750A&=26542080a'-15567552b'+5963776c'\\&-1216215sd'+45760se'-2106f'+7g'\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a8711ec82f6bc36f4b3c2e45b408e708f1e8e4)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}315310500A&=362135(\alpha +{\text{ȣ}})+2211840(\beta +\zeta +\theta +\mu +\xi +\sigma +\upsilon +\omega )\\&-382782(\gamma +\lambda +o+\psi )+3702784(\delta +\varkappa +\varpi +\chi )\\&-788157(\varepsilon +\phi )+1131072(\eta +\tau )-789561(\iota +\varrho )+725674.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babbefe010689cfb66eeecaa3f134fcb29123cb8)
Par l’usage de cette formule l’erreur du calcul de
ne devient sensible que sur la douzième décimale.
43. Huitième formule. Prenons pour diviseur général
et pour ses aliquotes
d’où
cela donnera d’abord
![{\displaystyle 126A=210a'-120b'+45c'-10d'+e'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369fff59e4709b2509b95f9b0151ffb297f4645e)
Comme nous avons ici
ordonnées, nous représenterons
Les vingt premières par
Les vingt suivantes par
Les vingt autres par
Et enfin la dernière par
Il viendra ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}1512A&=7(\alpha +\alpha ''')+42(\beta +\theta +\mu +\xi +\sigma +\upsilon +\delta '+\varkappa '+\mu '+\sigma '\\&+\beta ''+\delta ''+\theta ''+\varkappa ''+\xi ''+\upsilon '')-6(\varepsilon +o+\gamma '+\eta '+o'+\tau '+\eta ''+\tau '')\\&+69(\delta +\varkappa +\beta '+\delta '+\xi '+\upsilon '+\mu ''+\sigma '')-14(\varepsilon +\iota +\varrho +\iota '+\nu '+\varepsilon ''+\nu ''+\varrho '')\\&+43(\zeta +\zeta '+\varpi '+\varpi '')+21(\eta +\tau +\gamma ''+o'')-5(\lambda +\lambda '')\\&+13(\upsilon +\varepsilon '+\varrho '+\tau '')+70(\varpi +\zeta '')-13(\alpha '+\alpha '')+110\lambda '.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e0c5660efb6186d6e7e8d8ac47d4d0cd82221d)
Nous n’avons point mis cette formule à l’épreuve ; mais on peut présumer que dans le calcul de
, l’erreur qu’entraînerait son usage tomberait au-delà de la vingtième décimale.
44. Nous ne craignons pas d’avancer qu’à l’aide de ces diverses formules, toute intégrale quelconque, de la forme
, peut-être évaluée numériquement, entre les limites données, moyennant un nombre fini et très-limité de termes, indépendamment du calcul intégral, et de toute notion d’infiniment petit, par les seuls moyens que fournit l’algèbre élémentaire, et avec toute la précision que l’on veut donner à son calcul ; pourvu seulement que la fonction
ne devienne ni infinie ni imaginaire, dans l’étendue de l’intégration. Toute fonction intégrale d’une seule variable, telle que
doit donc être comprise désormais dans la classe des quantités entièrement connues.