Solution du problème de géométrie proposé à la pag. 321
du XII.e volume des Annales ;
Par
M. Pagani Michel, ingénieur à Genève.
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PROBLÈME. On demande l’équation d’une courbe telle que, si de l’origine on mène un rayon vecteur quelconque et une perpendiculaire à la tangente à son extrémité, 1.o le cube construit sur le rayon vecteur soit double en volume du cube construit sur la perpendiculaire à la tangente ; 2.o que l’angle formé par la perpendiculaire avec l’axe des
soit le tiers de l’angle formé par le rayon vecteur avec la même droite ?
Solution. Ce problème est évidemment un problème plus que déterminé, non pas de ceux qui renferment seulement quelques conditions superflues, mais bien de ceux dans lesquels les conditions sont incompatibles. Soient, en effet,
l’origine,
la direction de l’axe des
un quelconque des points de la courbe cherchée, et
le pied de la perpendiculaire abaissée de
sur la tangente en ce point. Puisque le rapport du cube de
à celui de
est donné, le rapport de ces deux droites est aussi donné ; le triangle rectangle
est donc donné d’espèce ; l’angle
de ce triangle est donc donné ; mais cet angle doit être les deux tiers de
et le double de
donc ces derniers sont aussi donnés ; donc les directions
et
sont tout-à-fait fixes et déterminées ; donc tous les points de la courbe cherchée devraient être sur la droite
cette courbe devrait donc se confondre avec cette droite, ce qui est impossible, puisqu’alors ses tangentes ne pourraient être perpendiculaires à la direction
On ne peut donc résoudre le problème qu’en faisant tour-à-tour abstraction de chacune des deux conditions ; et c’est aussi ce que nous allons faire successivement ; nous montrerons ensuite que les deux courbes obtenues sont essentiellement différentes.
I. Nous venons de voir qu’en exigeant seulement que le cube construit sur
soit le double du cube construit sur
l’angle
est tout-à-fait déterminé ; l’angle
l’est donc aussi ; la question revient donc alors simplement à trouver une courbe dans laquelle les rayons vecteurs fassent un angle constant avec la tangente à leur extrémité.
Soit
la tangente tabulaire de cet angle, et soit fait, suivant l’usage,
l’angle que fait
avec l’axe des
étant \frac{y}{x}, nous devrons avoir
![{\displaystyle {\frac {p-{\frac {y}{x}}}{1+p{\frac {y}{x}}}}=a\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0329781cabe61bb044ff50b45483e0b1343ae5f)
ou
![{\displaystyle \quad (ay-x)p+(ax+y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cff958c008460ce43dd344e051e6a3bb6ee170c)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=Ce^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17e86473de02259644f98faed893df1b9e205d1)
C’est l’équation d’une spirale logarithmique, comme l’on pouvait bien s’y attendre[1].
Dans le cas particulier qui nous occupe, on a
![{\displaystyle a=\operatorname {Tang} .\mathrm {OMN={\frac {OM}{\sqrt {{\overline {OM}}^{2}-{\overline {ON}}^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {ON}{OM}}\right)^{2}}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de3da8fd53b720c191a20305d2be4eab4402c05)
mais
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {ON}{OM}}={\sqrt[{3}]{\frac {{\overline {ON}}^{3}}{{\overline {OM}}^{3}}}}} ={\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfe1913c00aff33f10a28b792973c8c82c9d7c4)
donc
![{\displaystyle a={\frac {\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b509e160c58541745934782c21fe7bfa255bb80)
de sorte que l’équation de la courbe sera
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=Ce^{\frac {{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}{\sqrt[{3}]{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc0c2e3ef2a3f2b3ea7b993391a3b3df8f8a74f)
(1)
où
est une constante arbitraire.
II. Supposons, en second lieu, qu’on ne veuille avoir égard qu’à la seconde condition seulement ; il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {MOX} =3\operatorname {Ang} .\mathrm {NOX} \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f8b397f16193e5e25e0db890e4f54367ee5332)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {MOX} ={\frac {3\operatorname {Tang} .\mathrm {NOX} -\operatorname {Tang} .^{3}\mathrm {NOX} }{1-3\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {NOX} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febd5f78b485f1633a53e6ce6663fc4c68404037)
mais on a,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {MOX} ={\frac {y}{x}},\qquad \operatorname {Tang} .\mathrm {NOX} =-{\frac {1}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d1264ef5a79d8120973e923a39adbf22f4bf61)
donc
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1-3p^{2}}{p^{3}-3p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0752e882f9f57dc5fc4d3797af16fe570ffdf398)
cette équation donne d’abord la solution particulière
mais il est clair qu’elle ne saurait convenir à la question qui nous occupe.
En éliminant
entre dite et sa différentielle, il vient, toutes réductions faites
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{x}}={\frac {3\left(p^{2}+1\right)\operatorname {d} p}{p\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-3\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c682afbd8276bfe0d84fb5fd9281d4d372eed7dc)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle Cx={\frac {p\left(p^{2}-3\right)}{\left(p^{2}-1\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d302d0855cdaeececb681198ac6d788dcb509944)
étant la constante arbitraire. Mais nous avons
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1-3p^{2}}{p\left(p^{2}-3\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533eb25a3231e23bdfb590e9e93da1c7d36d0623)
ce qui donne, en multipliant,
![{\displaystyle Cy={\frac {1-3p^{2}}{\left(p^{2}-1\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ca5f8bb88e47d2b20a12b58cc6541b3e4e0e01)
prenant donc la somme des quarrés des valeurs de
et
il viendra, en réduisant,
![{\displaystyle C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ff9041f00841250636cba5e55ab86e9a606787)
d’où
![{\displaystyle {\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58990b3570f6c7f8de8a43c5f0a3dde1173280a5)
ce qui donne
![{\displaystyle p={\sqrt {\frac {{\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}+1}{{\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9db42e32f279a1e3e67afd4b606e8e3efc3aee3)
substituant cette valeur dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{p}}.{\frac {1-3p^{2}}{p^{2}-3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a3af5a40819a8603076c1c63d665d2bcca325d)
et changeant la constante
en
il vient
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}+2}{{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}-2}}.{\sqrt {\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}-1}{{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}+1}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c38ee7e8103885d97826c8f20405c6e49bc6856)
(2)
III. En passant, pour plus de simplicité, aux coordonnées polaires, les équations (1 et 2) deviennent
![{\displaystyle r=Ce^{\frac {t{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}}{\sqrt[{3}]{2}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b0e6e4eef4aec1d60fba7a1ad73d4f29b3a5e2)
(1)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .t={\frac {\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+2}{\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-2}}{\sqrt {\frac {\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-1}{\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+1}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22acd36516d05dc6c622dc2ea7b037b8cc8faa74)
(2)
étant le rayon vecteur et
l’angle qu’il fait avec l’axe des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
On voit, à cause des constantes arbitraires
et
qu’il y a une infinité de courbes qui résolvent le premier des deux problèmes, sans résoudre le second, et une infinité de courbes qui résolvent le second sans résoudre le premier.
Afin donc que le problème pût être résolu tel qu’il a été proposé, il faudrait que dans les deux séries de courbes il se trouvât une ou plusieurs courbes communes ; c’est-à-dire, qu’il faudrait que, par une détermination convenable des constantes
et
on pût amener les équations (1 et 2) à être identiquement les mêmes : or, c’est une chose évidemment impossible, puisque la première de ces équations est toujours transcendante quel que soit
et la seconde toujours algébrique quel que soit
Le problème, tel qu’il a été proposé, ne saurait donc être résolu, comme nous l’avons d’ailleurs déjà prouvé dès le début.
Genève, le 4 juin 1822.