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Le tracé des figures 1 et 2 n'est pas à l'échelle, et suivant les valeurs de β il peut ne pas y avoir d’intersection entre les courbes pour $x<0.$ Les coordonnées des 4 points d'intersection sont effectivement données par l'équation

$(x-\tau )^{2}(1-\tau x)^{2}=x^{2}\beta ^{2}(1+\tau ^{2})^{2}$

ce qui implique pour l’existence de 4 solutions en $x$ que

$|\beta \pm 1|\left(\tau +{\frac {1}{\tau }}\right)\geq 2$

Comme $\left(\tau +{\frac {1}{\tau }}\right)\geq 2,$ 2 solutions positives existent toujours ; les solutions négatives n’existent que si $\beta -1>{\frac {2}{\tau +{\frac {1}{\tau }}}}$, ou encore $\beta >{\frac {(1+\tau )^{2}}{1+\tau ^{2}}}\cdot$

Les positions des droites verticales AS et A'S' sur la fig. 1 indique que la valeur $\tau =0.5$ a été choisie pour ces figures ; il faut dans ces conditions que $\beta \geq {\frac {9}{5}}$ pour que des solutions négatives existent, et que donc les courbes de la fig. 2 se croisent.

Pour illustrer ces conditions, la table ci-dessous illustre les graphes (calculés par gnuplot, V5.2), pour $\tau =0.5\,:$ (gnuplot n'acceptant pas les lettres grecques, les noms des paramètres sont a à la place de τ et b à la place de β.

β	$x>0$	$x<0$
0.1
0.2
0.5
1.0
1.8
2.5
5.0

--F0x1 (d) 6 novembre 2020 à 14:52 (UTC)