Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 24

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 214-215).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ καἱ.	PROPOSITIO XXIV.
τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὁμοια τμήματα κύὐκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.	Super æqualibus reclis similia segmenta cir- culorum æqualia inter se sunt.
Εστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῆς ΑΒ, ΓΔ ὑμοιια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ" λέγω	Sint enim super æqualibus rectis AB, rΓa similia segmenta circulorum ipsa AEB, LbzH :

ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμήμα τῷ ΤΖΔ τμή- μλὰατι.

dico æquale esse AEB segmentum ipsi ΓZA seg- mento.

Εφαρμοζ ομένου γαρ του ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ, καὶ τιϑεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ, , τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμό- σει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον, διὰ τὸ ἴσην εἶνραι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ. τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΤΔ ἐφαρμοσασης2, ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμήμα ἐπὶ τὸ ΓήΔ. Εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεξὰ ἐπὶ τήν ΓΔ ἐφαρ- μόύσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μη εφαρ- μύσει, ἤτοι ἱντὸς αὐτοῦ πεσεῖται, ἢ ἐκτὸς, ἤ παραλλαάξει ὡς τὸ ΓΘΗΔ, χαιὶ κὐῦκλος κὐύκλον, τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἡ δὅο, τα Γ, Η, Δ3, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρὰ ἐφαρμοζομέ- νης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμήῆμα ἐπὶ τὸ ΓάἧἄΖΔ. ο ἐφαρμόσει ἄρὰ, καὶ ἰσὸν αυὐτὼ ἐσται. Τὰ ἀρὰ ἐπί τῶν ἰσὼν ευ- θειῶν, καὶ τὰ ἐξῆς.

Congruente enim AEB segmento ipsi ΓZΔ, et posito quidem A puncto super Γ, rectá vero AB super Γ-Ó, congruet et B punctum ipsi puncto, propterea quod æqualis est AB ipsi ΓΔ ; ipsà autem AB ipsi Γ4Δ congruente, con- gruet et AEB segmentum ipsi ΓZAΔ. Si enim AB recta ipsi ΓΔ congruat, segmentum autem AEB ipsi ΓZ* non congruat, vel intra ipsum cadet, vel extra, vel situm mutabit ut ΓaH á, et circulus circilum secabit in pluribus punctis quam duobus, in punctis Γ, H, Δ, quod est impossibile. Non igitur congruente AB rectà ipsi ΓΔY non congruet et AEB segmentum ipsi ΓZBÜ. Congruet igitur, et æquale ipsi erit. Erge super æqualibus, etc.

PROPOSITION XXIV.

Sur des droites égales, les segments de cercles semblables sont égaux entreux.

Que sur les droites égales ΑΒ, ΓΔ soient décrits les segments de cercles semblables ΑΕΒ, ΓΖΔ ; je dis que le segment AEB est égal au segment ΓΖΔ. Car le segment ΑEB étant appliqué sur le segment rz5, le point À étant posé sur le point Γ, et la droite ΑΒ sur la droite ΓΔ, le point B tombera sur le point à, parce que la droite AB est égale à la droite ΓΔ ; mais la droite ΑΒ coïncidant avec la droite rn, le segment AEB coïncidera avec le segment ΓΖΔ. Car si la droite AB coïncidant avec la droite ra, le segment AEB ne coïncidait pas avec le segment ΓΖΔ, ou il tomberait en dedans, ou en dehors, ou bien prenant une position comme ΓΘΗΔ, un cercle couperait un cercle en plus de deux points, aux pointsT, H, ñà, ce qui est impossible (10. 3) . Donc la droite AB coïncidant avec la droite ΓΔ, le segment ΑΒΔ ne peut pas ne pas coïncider avec le segment ΓΖΔ ; donc il coïncide avec lui, et lui est par conséquent égal. Donc, etc.