Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 25
C. F. Patris, (1, p. 215-218).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κεʹ. | PROPOSITIO XXV. |
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Κύκλου τμήματος δοθέγτος, προσαναγράψαι τὸν κύκλον οὑπέρ ἐστι τμῆμα. |
Circuli segmento dato, describere circulum cujus est segmentum.
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Εστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου, τὸ ΑΒΓ. δεῖ δὴ1 προσανωγράψαι τὸν κύκλον αὑπέρ ἐστι τὸ ΑΒΓ τμῆμα. |
Sit datum circuli segmentum : ABΓ ; oportet igitur describere circulum, cujus est ABΓ I mentum. |
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Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείσυ τῇὁ ΑΓ πρῦς ὀρθὰς ἡ ΔῚ, κἀϊἐέπεζεύχθω ἡ ΑΒκ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄραλ τῆς ὑπὸ ΒΆΔ ἤἥτοι μείζων ἐστὶν, ἢ ἴση, ὃ ἐλάττων. |
Secetur enim ACΓ bhifariam in ^Ü, et ducatu a Δ puncto ipsi AΓ ad rectos AB, et junga. tur AB. Érgo ABΔ augulus ipso BAAΔ vel mg. jer est, vel æqualis, vel minor. |
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Εστὼω προτέρον μείζων οτ΄ἴαι συνεστατω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α, τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ δ5, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ, ; ἰσήη εἰρ α ἐστι καὶ ἡ ΒΒΕ εὐθεία εὐθείᾳὉ τή ΒΑ. Και ἐτειῖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δυύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἐκατέερᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔῈ γωνίᾳ τῇ υὑπὸ ΓΔΕ ἐστὶν ἴσηϑ, ὀρθὴ γὰρ ἐκατέρα" βάσιςϑ ἄρὰ |
Sit prinum major, et constituatur ad B rectam, et ad punctum in eà A, ipsi ABAΔ ar gulo æqualis ipse BAE, et producatur AB ad g, et jungatur EΓ. , Et quoniam igitur æqualis est ABΓ angulus ipsi BAE, æqualis utique est et BE rect rectæ EA. Et quoniam æqualis est AΔ ipsi À, communis autem AE, duæ utique AΔ, AE du bus ΓΔI, &E æquales sunt, utraque utrique, e angulus AΔM angulo Γ4WE est æqualis ; rectu enim uterque ; basis igitur AE basi ΓE est ÓqÀ-
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ἡ ἈΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστὶν ἴσηἡἤ. Αλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ ἐδείχθη ἴσηο καὶ ἡ ΒΕ ὅρὰ τῇ Γἐ ἐστὶν ἰση αἱ τρεῖς ἀρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷϑ Ε, διαστήματι δὲ ἐνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ, κύκλος γραφομενοςὦ ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπὼν σημείων. κΚαὶ ἐσται προσαναγεγραμ- ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττὸον ἐστιν ἡμικυκλίου, διὰ τὸ. τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐυτου10 τυγχάνειν. |
lis. Sed AE ipsi EB ostensa est æqualis ; et BE igitur ipsi ΓE est æqualis ; tres igitur AE, EB, EΓ æÀquales inter se sunt ; erga centro E, intervall ! autem unà ipsarum AE, EB, EΓ circulus deseriptus transibit et per reliqua puncta, et erit descriptus circulus. Circuli igitur segmento dato, descriptus est circulus. Et manifestum est ABΓ segmentum minus esse semicirculo, propterea quod E centrum extra ipsum eadit. |
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Ομοίως καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση 11 τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἐκατερᾷ τῶν ΒΔ, ΔΙ, αἱ τρεις ἀρὰ αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι, μἢΙ ἀλλήλαις ἐσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοὺ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηχαδῃ ἔσται τὸ ΑΒΓ ημικυκλιον. |
Similiter et si angulas ABΔ æqualis sit ipsi BAB, ips AΔ æquali factá alterutri ipsarum BΔ, AΓ, tres igitur óΔ, AB, AΓ ÀB5quales inter se erunt, et eritautem Δ centrum conipleti circuli, et erit utique ABΓ semicirculus. |
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Εὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλαττων ἡ τἴἥς ύπο ΒΑΔ, καὶ συστησομεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Αἴῖ͵, τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίαν ἴσην. ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμηματος πέσειται τὸ χέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ ὡς τὸ Ε13. λαὶ ἐσται διλαδῃὴ τὸ ΑΒΓ τμημα μείζον ημηκυκλίου. |
Si autem ABΔ minor sit ipso BAΔB, et si constituamus ad BA rectam, et ad punctum in cá, ipsi ABΔ angulum æqualem, iutra ABΓ segmentum cadet centrum in ZB, ut E, et erit utique ABΓ segmentum majus semicirculo.
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Κύκλου ἀρὰ τμήματος δοθέντος. προσαναγέ- γράπσται ὁ κύκλος, οὑπέρ ἐστι τὸ τμημαϊή, Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
Circuli igitur segmento dato, descriptus & circulus cujus est segnentum. Quod opertea facere. |
Un segment de cercle étant donné, décrire le cercle dont il est le segment. Soit ΑΒΓ le segment de cercle donné ; il faut décrire le cercle dont ABΓ est le segment.
Coupons la droite ΑΓ en deux parties égales au point Δ (10. 1) , du point menons ΔΒ perpendiculaire à ΑΓ, et joignons AB (11. 1) ; d’angle ΑΒΔ sera ou plus grand que l’angle ΒΑΔ, ou il lui sera égal, ou il sera plus petit.
Qu’il soit d’abord plus grand ; sur la droite donnée BA, et au point # de cette droite faisons l’angle BAB égal à l’angle ΑΒΔ (23. 1) ; prolongeons ΔΒ versE, ἐἶ joignons ΕΓ. Puisque l’angle ΑΒΕ est égal à angle BAB, la droite BE est égalei la droite EA (6. 1) . Et puisque ΑΔ est égalà ΔΓ, et que la droite ñB est commune, les deux droites Añ ΔῈ sont égales aux deux droites Γa, ñz, chacune a ; chacune ; mais l’angle ΑΔΒ est égal à l’angle ΓΔῈ, car ils sont droits l’un et lʼautre donc la base XE est égale à la base TE (1. 1) Mais XEa été démontré égal à EB ; donc BE est égal à ΓE ; donc les trois droites ΑΒ, ΕΒ, E [sont égales entre elles ; donc le cercle décrit du centre EB et d’un intervalle égal à une des droites ΑΒ, EB, ΕΓ, passera par les autres points, et le cercle sera décrit. Donc un segment de cercle ayant été donné, , on a décrit le cercle dont il est le segment (g. 3) . Il est évident que le segment ΑΒΓ est plus petit qu’un demi- cercle ; car le centre E tombe hors du segment.
Semblablement, si l’angle ΑΒΔ est égal à l’angle BAA, la droite ΑΔ étant égale à chacune des droites ΒΔ, ÛΓ, les trois droites ΔΑ, δΒ, AΓ seront égales entre elles ; donc le point Δ sera le centre du cercle entier (g. 3) , et le segment ABΓ sera évidemment un demi-cercle.
Mais si l’angle ΑΒΔ est plus petit que l’angle BAA, et si sur la droite ΒΑ, et au point de cette droite, nous faisons l’angle BAB égal à l’angle ΑΒΔ, le centre tombera en dedans du segment ΑΒΓ dans la droite ΔB, comme en EB, et le segment sera évidemment plus grand qu’un demi-cercle. Donc un segment de cercle ayant donné, on a décrit le cercle dont il est le segment ; ce qu’il fallait faire.