Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 33
C. F. Patris, (1, p. 231-235).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγ. | PROPOSITIO XXXIII. |
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Επὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύ- κλου, δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳᾳ. |
Super datà rectá describere segmentum cir- culi, capiens angulum æqualem dato angulo rectilineo. |
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Εστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ » δεῖ δὴ επὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμήμα κύκλου, δεχόμεένον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ ΓΊ, Η δὲ πρὸς τῷ Γ γωνία3 ἤτοι ὀξε ; αά ἐστιν, ἡ ὀρθὴ, ἢ ἀμάλεϊα. |
Sit data recta AB, datus autem angulus rec- tilineus ad Γ ; oportet igitur super daià rectá AB describere segmentum circuli, capieus an- gulum æqualem ipsi ad Γ. Ipse autem ad Γ angulus vel est acutus, vel rectus, vel obtusus.
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Εστω πρότερον ὀξεῖα, ὡς32 ἐπὶ πρώτης κα- ταγραφῆς, καὶῖ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, Καὶ32 ἤχθω τῇ ΑΔ ἀπὸ τοῦ Α σημείου πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ τε- τμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ 1 σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ͂, καὶ ἐπε- ζεύχθω ἡ ΗΒ. Καὶι ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἢ |
Sit primum acutus, ut in primá figuri, et con. Ltituatur ad AB rectam et ad punctum in A, ipsi ad Γ angulo æqualis ipse BAΔ ; acutus igitur est et BAΔ. Ducatur ipsi AΔ ab A puncto ad rectos ipsa AE, et secetur AB bitfariam in z, et ducatur a Z puncto ipsi AB ad rcetos ipsa ZH, et jungatur HB. Et quoniam æqualis est AZ ipsi ZB, comununis autem ZH, duk utique |
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κοινὴῊ δὲ ἡ ΖΗ͂, δύο δὴ αἱ ΑΖ, Ζ22 δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΖΗ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒΗΒ. γω- νίᾳθ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση-. βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βα͵ασει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν. Ο ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η, δεαστύά- ματι δὲ τῷ ΗΑ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ. Β, Γεγράφθω, καὶ ἐστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, Επεὶ οὐν ἀπὶ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου, ἀπὸ. τοῦ Α, τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθὰς ἐστὶν ἡ ΑΔ, ἡ. ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ κύκλου. Ἐπεὶ |
AZ, £H duabus ZB j ZH æquales sunt, et at- gulus AZH ipsi angulo BZH æqualis ; basis igitur AH basi HB æqualis est. EÉrgo cenitro quidem H, intervallo vero HA, circulus descriptu transibit et per B. Describatur, et sit ABE, et jungatur BE. Quoniam igitur ab. extremitate A ipsius AE diametri ipsi AE ad rectos est AΔ, ipsa utique AΔ contingit circulum. Quoniam igitur cireulum ABE tangit aliqua recta AΔ, eta
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οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφαπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ7, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἀφῆς εἰςϑὺ το ABE κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ’ ἡ ἀρὰ ὑπῦ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ κύκλουθ τμήματι γωνίᾳ τή ὑπὸ ΔΕΒ, Αλλ ἡ υὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστὶν ἰσηὴΎ καὶ ἡ πρὸς Τώ Γὶ ἀρὰ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. Επὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κὐύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ, δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῆ, δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ. |
contactu ad A in ABE circulum ducta est aliqua AB, , angulus utique ΔAB æqualis est angulo AEB in alterno circuli segmento. Sed AAB ipsi ad Γ est æqualis ; et ad Γ igitur angulus æqualis est ipsi AEB. Super datà igitur rectá AB seg- mentum circuli descriptum est AEB, capiens angulum AEB æqualem dato ad Γ. |
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Αλλὰ δι ὀρθὴ ἐστω ἡ πρὸς τῷ Γ καὶ δεὸον ἐστω πάλιν10 ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δε. χύμενον γων [ὰν ἰσῶν τὴ πορὸς τῷ Γ΄ʼ Οορὕῃμ γωνίᾷᾳ Συνεστάτω γὰρ πάλιν τῇ πρὸς τῷ Γ Οορθ γωνία ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέερὰΑς κατα- γραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ ὄζχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστέματι δὲ οποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγρσφθω ὁ ΑΕΒ. Ἐφαπτεέται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖω τοῦ ΑΒῈ κύκλου ὡ διὰ τὸ ορθὲν εἰναι τήν πρὸς τῷ Α γωνίαν. Κα ; ἐσὰ ἐστῬν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τή ἐν τῷ ΑΕΒ τμηματι12 ὀρθὴ γαρ καὶ αὐτή ἐεν ἡμικυκλίῳ οὔσα. Αλλὰ καιὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστ. 135, Καὶ ἡ ἐν |
Sed et rectus sit ipse ad Γ ; et oporteat rur- eus super AB describere segmentum circuli, capiens angulum æqualem ipsi ad Γ recto an- gulo. Constituatur enim rursus ipsi ad Γ recto angulus æqualis BAB, ut se habet in secundá figurá, et secetur AB bifariam in Z, et cen- tro quidem Z, intervallo vero alterutrá ipsa- rum AZ, ZB, circulus describatur AEB ; con- tingit igitur AΔ recta ABE circulum, propterea quod rectus est ad A angulus. Et æqualis est quidem BAbM angulus ipsi in AEB segmento, rectus enim et ipse est in semicirculo con- sistens. Sed BAΔ ipsi ad Γ æqualis est ; et ipse
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τῷ ΑΕΒ τμήματι. ἀρὰ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γιή. γέγραπται ἀρὰ σπαλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμήημὰ χπύ- κλου τὸ ΑΕΒ, δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ. |
in AEB segmento igitur æqualis est Ipsi ad r, Descriptum est igitur rursus super AB segmen. tum circuli AEB, capiens angulum æqualem ipsi ad Γ. |
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Αλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμλεῖα ἔστω, καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθεῖῳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπεὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ὁἡς |
Sed etiam ad Γ obtusus sit, et Consti- tuatur ipsi æqualis ad AB rectam et ad A pune. tum ipse BAd, ut se labet in tertió figurà, e ipsi AΔ ad rectos ducatur AE, et secetur rur- |
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ΑΕ, ι καὶ τετμήσἝωυ πάλιν ἡ ΑΒ διχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπε. ζεύχθω ἡ ΗΒ, Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ Ζ2Β, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, Ζ2ΖΗ δυσὶ ταῖς ΒΖ, Ζ2Η ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ18 ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση. βάσις ἄρᾳ ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν. Ο ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η, ι διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. Ερχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒΙ16, Καὶ |
sus AB bifatiam in Z, et ipsi AB ad rectos da- catur ZH, ; et jungatur HB. Et queniam rursu æqualis est AZ ipsi ZB, et communis ZH, duæ utique AZ, ZH duabus BZ, ZH æquales sunt, et angulus AZH angulo BZH æqualis ; basis igi- tur AH basi BH æqualis est. Ergo centro qui- dem H, iutervallo vero HA, circulus descriy tus transibit et per B. Trauseat ut AEB. Et Que niam ipsi AB diametro ab extremitate ad rec
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ἐπεὶ τῇ ΔΕ διαμέτρῳ ἀπὶ ἄκρας πρὸς ὀρθὰς ἠκταιῷ2 ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου. Καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆ- κται ἡ ΑΒʼ ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ. Αλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίς καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήύ- ματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ. Επὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας21 τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ, δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
tos ducta est AΔ, ipsa AΔ igitur contingit AEB circulum. Et a coutactu ad A ducta est AB ; ergo BÁΔ angulus æqualis est angulo consti- tuto in alterno circuli seegemento AGB. Sed BAΔ angulus ipsi ad Γ æqualis est. Et ipse in AdB igitur segmento augulus æqualis est ipsi ad Γ. Ergo super datam rectam AB descriptum est segmentum circuli 4A9B, capiens angulum æ- qualem ipsi ad Γ. Quod oportebat facere. |
Sur une droite donnée, décrire un segment de cercle, qui reçoive un angle égal à un angle rectiligne donné.
Soit ΑΒ la droite donnée et Γ l’angle rectiligne donné ; il faut sur la droite donnée AB décrire un segment de cercle qui reçoive un angle égal à l’angle donné Γ. L’angle Γ est aigu, ou droit, ou obtus. Premièrement qu’il soit aigu, comme dans la première figure ; sur la droite AB et au point Α construisons un angle ΒΑΔ égal à l’angle® (23. 1) ; l’angle B44 sera aigu. Du point A menons AE perpendiculaire à AΔ (11. 1) ; coupons ΑΒ en deux parties égales en Z (10. 1) , et du point Ζ menons ΖΗ perpendiculaire à ΑΒ, et joignons HB. Puisqueʼ 4z est égal à ZB, et que la droite zH est commune, les deux droites ΑΖ, ZH sont égales. aux deux droites zB, ZH ; mais l’angle 4ZH est égal à l’angle BzZH ; donc la base AH est égale à la base HB (4. 1) Donc le cercle décrit du centre H, et de l’intervalle H& passera par le point B. Qu’il soit décrit, et qu’il soit ABE, et joignons EB. Puisque la droite ΑΔ menée de l’extrémité du diamètre ΑΒ est perpendiculaire a ΑΒ, la droite ΑΔ touchera le cercle (16. 3) . Puisque la droite ΑΔ touche le cercle ABE, et que du point de contact en A on a mené une droite AB dans la cercle ABE, lʼangle ΔA7 est égal à l’angle ΑΕΒ placé dans le segment alterne du cercle (32. 3) Mais l’angle ΔAB est égal à l’angle Γ; donc l’angle Γ est égal à l’angle ΑΕΒ. Donc sur la droite donnée ΑΒ, on a décrit un segment de cercle AEB qui reçoit un angle ΑΕΒ égal à l’ange donné Γ.
Mais que l’angle Γ soit droit, et qu’il faille encore décrire sur la droite AB un segment de cercle qui reçoive un angle égal à l’angle droit Γ. Construisons un angle BAΔ égal à l’angle droit Γ (23. 1) , comme dans la seconde figure ; coupons AB en deux parties égales en Z (10. 1) ; du centre Z, et d’un intervalle égal à l’une ou à l’autre des droites ZA, ZB, décrivons le cercle ΑEB. La droite AΔ sera tangente au cercle ΑΒΕ (16. 3) , parce que l’angle est droit en Α. Mais l’angle BAΔ est égal à l’angle qui est placé dans le segment ΑEB, car cet angle est droit, puisqu’il est placé dans un demi-cercle (31. 3) . Mais l’angle BAA est égal à l’angle Γ ; donc l’angle placé dans le segment est égal à l’angle Γ, donc on a décrit sur la droite ΑΒ un segment de cercle AEB qui reçoit un angle égal à l’angle droit T.
Mais enfin que l’angle Γ soit obtus. Sur la droite ΑΒ et au point Α construisons un angle ΒΑΔ égal à l’angle Γ (23. 1) , et menons ΑΕ perpendiculaire à ΑΔ (i1. 1) ; coupons la droite 4B en deux parties égales en Ζ (10. 1) ; menons la perpendiculaire à ΑΒ (11. 1) , et joignons HB. Puisque 4Z est égal àZB, et que la droite ΖΗ est commune, les deux droites 4z, zH sont égales aux deux droites BZ, ΖΗ ; mais l’angle 4ZH est égal à l’angle BZH ; donc la base ΑH est égale à la base BH (4. 1) . Donc le cercle décrit du point Η et de l’intervalle ΗΑ passera par le point B. Qu’il y passe comme ΑΕΒ, puisqu’on a mené de l’extrémité du diamètre ΑΕ, la droite An perpendiculaire à ce diamètre, la droite ΑΔ touchera le cercle ΑΕΒ (16. 3) . Et puisque la droite AB a été menée du point de contact 4, l’angle ΒΑΔ est égal à l’angle placé dans le segment alterne ΑΘΒ du cercle. Mais l’angle BAÛ est égal à l’angle Γ ; donc l’angle placé dans le segment ΑΘΒ est égal à l’angle r. Donc on a décrit sur la droite donnée 4B un segment de cercle ΑΘΒ, qui reçoit un angle égal à l’angle Γ. Ce qu’il fallait faire.