Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 34

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 235-236).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λδʼ.	PROPOSITIO XXXIV.
Απὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν, δε- χόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυ- γράμμῳ.	A dato circulo segmentum auferre, capiens angulum æqualem dato angulo rectilineo.
Εστω ο δοθεὶς κύκλος δ ΑΒΙ͂, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ. δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ χὐύκλου τμῆμα ἀφελεῖν, δεχόμενον γωνίαν ἰσὴν τῇ δοθειίσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δι.	Sit datus circulus ABΓ, datus vero angulus rectilineus ad Δ ; oportetigitur ab ABΓ circulo segnentum auferre, capiens angulum æqua- lem dato angulo rectilineo ad Δ.
Ηχθω τοῦ ΑΒΓ κάκλου2 ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΕΖ εὐθείᾳ κωαὶ τῷ πρὸς αὐτῃ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ ἃΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.	Ducatur ipsum ABΓ circulum contingen ; rz ad B punctum, et constituatur ad EZ rectam et ad punctum in eià B ipsi ad ^ angulo æÁWqua- lis ZBΓ.
᾿Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ εφάστεται τις εὐἍ θεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς δρῖκται ἃ ΒΓᾺῬ κα ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ	Quoniam igitur circulum ABΓ contingit alj qua recta EZ, eta contactu ad B ducta est Bà, ipse ZBΓ igitur æqualis est angulo constitut

ΒΑΓ ἐγαλχλὰξ τμήριτι συνισνσαμένῃ γωνίᾳ. Αλλίʼ ἢ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ “ρὸς ρτῷ ἃ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ γω- γίᾳ3.	in BAΓ alterno segmento. Sed ZBΓ ipsi adA æqualis est ; et ipse in BAΓ igitur segmento z- qualis est ipsi ad Δ angulo.
Απὸ τοῦ δοθέντος ἄρα καὐκλόυ τοῦ ΑΒΓ τμήμα ἀφήρηται τὸ ΒΑΓ, δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δο- θεῖσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	A dato igitur circulo ABΓ segmentum abl- tum est BAΓ, capiens angulum æqualem ipi dato angulo rectilineo ad Δ. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XXXIV.

Dʼun cercle donné, retrancher un segment, qui reçoive un angle égal à un angle rectiligne donné.

Soit ABΓ le cercle donné, et Δ l’angle rectiligne donné ; il faut du cercle ΑΒΓ retrancher un segment ; qui reçoive un angle égal à l’angle rectiligne donné Δ. Menons une droite EZ qui touche le cercle ABΓ au point B (17. 3) , et sur la droite EZ, et au point B de cette droite, faisons l’angle zBΓ égal à l’angle Û (23. 1) .

Puisque la droite EZ touche le cercle ΑΒγ, et que la droite BΓ a été menée du point de contact B, l’angle zBΓ est égal à l’angle placé dans le segment alterne ΒΑΓ du cercle (32. 3) . Mais l’angle zBΓ est égal à l’angle Δ ; donc l’angle placé dans le segment ΒΑΓ est égal à l’angle Δ.

Donc du cercle donné ΑΒΓ on : a retranché un segment BAT, qui reçoit un angle égal à l’angle rectiligne donné Δ. Ce qu’il fallait faire.