Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 35
C. F. Patris, (1, p. 237-239).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λέ. | PROPOSITIO XXXV. |
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Εὰν ἐν κύκλῳ δύο ! εὐθεῖωαι τέμνωσιν ἀχλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιὰς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογωνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμη- μάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. |
Si in circulo duæ rectæ sese secent, ipsum sub unius segmentis contentum rectangulum æquale est ipsi sub alterius segmentis contento rectangulo. |
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Ἐν γὰρ τῷ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθε, αι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε ση- μεῖον. λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν1 ΑΒ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ΄, ΕΒ Πε- ριεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. |
In circulo enim ABΓΔ duæ rectæ AΓ, BΔ sese secent in E puncto ; dico ipsum sub AE, EΓ contentum rectangulum æquale esse ipsi sub AE, EB contento rectangulo. |
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Εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν, ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. Φανερὸν ὅτι, ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. |
Si igitur ips& quidem AΓ, BΔ per centrum sunt, ita nt E centrum sit ipsius ABΓΔ circuli ; mani- festum est æqualibus existentibus AE, EΓ, AE, EB, et ipsum sub AE, EΓ contentum rectangulum ? quale esse ipsi sub AE, EB contento rectangulo.
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Μὴ2 ἔσ τωταν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου5, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐ- θείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύ- χθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ. |
Non sint auttn AΓ, ΔB per centrum, et sumatur centrum ipsius ABΓΔ circuli, et sit Z, et a Z ad AΓ, &B rectas perpendiculares du. cantur ZH, Ze, et jungantur ZB, ZΓ. , ZE |
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Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΗ εὐθειάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρρὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνειά90 ἴση |
Et quoniam recta aliqua ZH per centrum rec tam aliquum AΓ non per centrum ad recto ; secat, et bifariam ipsam secat ; æqualis igitur |
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ἄρὰ ἡ ΑΗ τῷ ΗΓ. Ἐπεὶ ον εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμη- ται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ α, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρ- θογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. Προσκείσθω κοινὸνδα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ. " τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸβ τῶν ΖΗ͂, Η͂ ἴσονῦ ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓῊ, ΗΖ. Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ͂, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΤΗ͂, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ |
AH ipsi HP. Quoniam igitur AΓ secta est in æqualia quidem in H, in inæqualia vero in E, ipsum utique sub AE, EtΓ contentum rectan gulum cum ipso ex HE quadrato æquale est ipsi exs HΓ. Commune addatur ipsum ex H ; ip- sum igitur sub AE, EΓ eum ipsis ex ZH, HE æquale est ipsis ex ΓH, HZ. Sed ipsis quidem ex EH, HZ est æquale ipsum ex ZE, ipsis vero ex ΓEH, HZ æquale est ipsi ex ZΓ ; ipsum igitur
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τῆς ΖΓ τὸ ἀρὰ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοὺ ἅτο τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷᾳ ἀπὸ τῆς ΖΓ. Ιση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΒΓ μετὰ τοὐ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοὺ απὸ τῆς Ζὲ ΙἰΙσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς 1Β. ΒΕδείχθη δὲ ὁτι7 καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ἘΓ μετὰ τοὺ απὸ τῆς 1Ε Ισον ἐστὶ. τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΣ μετὰ τοὺ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἰσον ἐστὶ τὼ ὑπὸ τῶν ΔΕ, Β8Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. Κοινὸν ἀφηρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ. λοιπὸν ἀρὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΓ περιέχο εες νον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΕΒ Ζεριε- χομένῳ ὀρθογωνίῳ. Εὰν ἀρὰα ἐν κύκλῳ, καὶ τὰ ἐξῆς. |
sub AE, EΓ cum ipso ex ZE, æquale est ipsi ZΓ. Æqualis autem ZΓ ipsi ZB, ipsum igitur sub AE, EΓ cum ipso ex EZ Àquale est ipsi ex ZB. BPropter eadem utique, ipsum sub AE, EB cum ipso ex ZE æquale est ipsi ex ZB. Os- tensum est autem et ipsum sub AE EΓ cum ipso ex ZE æquale esse ipsi ex ZB ; ipsur igi- tur sub AE, EΓ cum ipso ex ZE æquale est ipsi sub AE, EB cum ipso ex ZΓr. Communce au- feratur ipsum ex ZE ; reliquum igitur sub AE, En contentum rectangulum æquale est ipsi sub AE, EB contento rectangulo. Si igitur in circulo, etc. |
Si dans un cercle, deux droites se coupent mutuellement, le rectangle compris sous les segments de l’une est égal au rectangle compris sous les segments de lautre.
Que dans le cercle ΑΒΓΔ les deux droites ΑΓ, ΒΔ se coupent mutuellement au point E ; je dis que le rectangle compris sous ΑΕ, ΕΓ est égal au rectangle compris sous ΔΕ, EB. |
Si les droites aΓ, ΒΔ passent par le centre, de manière que le point E soit le centre du cercle ΑΒγδ, il est évident que les droites ñ, ET ; , ΔΕ, EB étant égales, le rectangle compris sous ΑΒ, E° est égal au rectangle compris sous ΔΕ, EB. Mais que les droites ΑΓ, ΔΒ ne passent pas par le centre ; prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 3) , qu’il soit le point z ; du point Z menons les droites zH, 2Θ perpendiculaires à AΓ, ÛB (12. 1) , et joignons ΖΒ, ZK, ZE.
Puisque la droite ΖΗ menée par le centre coupe à angles droits la droite ΑΓΓ non menée par le centre, elle la coupe en deux parties égales (3. 3) ; donc AH est égal à ΗΓ. Puisque ΑΓ est coupé en deux parties égales en H, et en deux parties inégales en Β, le rectangle compris sous Æ, ΒΕΓ, avec le quarré de HE, est égal au quarré de ΗΓ (5. 2) . Ajoutons le quarré commun de ; le rectangle sous ΑΒ, ΕΓ, avec les quarrés des droites ZH, HE sera égal aux quarrés des droites ΓΗ͂, ΗΖ. Mais le quarré de ΖΕ est égal aux quarrés des droites EH, HZ (47. 1) , et le quarré de zr égal aux quarrés des droites ΓΗ, ΗΖ ; donc le rectangle sous ΑΒ, ΕΓ, avec le quarré de ΖΕ, est égal au quarré de zr. Mais zΓ est égal à zB ; donc le rectangle sous AE, EX, avec lle quarré de EZ, est égal au quarré dc z8. Par la même raison, , le rectangle sous ΔΕ, EB, avec le quarré de ZE, est égal au, quarré de zB. Mais on a démontré que le rectangle sous ΑΒ, E°, avec le quarré de ZE, est égal au quarré de z ; donc le rectangle sous ΑΒ, EΓ, avec le quarré de ZE est égal au rectangle sous ΔΒ, EB, avec le quarré de 7E. Retranchons le quarré commun de ΖΕ ; le rectangle restant compris sous ΑΒ, EΓ sera égal au rectangle compris sous ΔΕ, EB. Donc, etc.