Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.04

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 162-232).

CHAPITRE IV.

EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

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Équations aux variations.

53.Il y a peu de chances pour que, dans aucune application, les conditions initiales du mouvement soient exactement celles qui correspondent à une solution périodique ; mais il peut arriver qu’elles en diffèrent fort peu. Si alors on considère les coordonnées des trois corps dans leur mouvement véritable, et, d’autre part, les coordonnées qu’auraient ces trois mêmes corps dans la solution périodique, la différence reste très petite au moins pendant un certain temps et l’on peut, dans une première approximation, négliger le carré de cette différence.

Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

un système d’équations différentielles où les $\mathrm {X} _{i}$ sont des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}.$

Soit

(1 bis)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)\end{aligned}}$

une solution quelconque de ces équations que nous appellerons solution génératrice.

Soit

(1 ter)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t)+\xi _{1},&x_{2}&=\varphi _{2}(t)+\xi _{2},&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)+\xi _{n}\end{aligned}}$

une solution peu différente de la première.

Si l’on néglige les carrés des $\xi ,$ on pourra écrire

(2)

${\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\dots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}}}\xi _{n}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Les équations (2) seront ce que nous appellerons les équations aux variations des équations (1). On conçoit qu’on puisse dans une première approximation se servir de ces équations aux variations pour déterminer les $\xi .$

Ce qui précède suffit pour faire comprendre l’importance de ces équations aux variations. Nous allons donc en faire une étude détaillée, en insistant surtout sur les équations aux variations des équations de la Dynamique.

54.Reprenons les équations (1) du numéro précédent et les équations (2) qui en sont les équations aux variations.

Quand on connaît une solution des équations (1) contenant un certain nombre de constantes arbitraires, on peut en déduire des solutions particulières des équations (2).

Supposons, en effet, que les équations (1) soient satisfaites quand on y fait

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\\x_{2}&=\varphi _{2}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\\\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .,\\x_{n}&=\varphi _{n}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\end{aligned}}\right.$

Je suppose que la solution génératrice s’obtienne en faisant dans ces équations (3)

$h_{1}=h_{2}=\dots =h_{p}=0,$

où $h_{1},\,h_{2},\,\dots ,\,h_{p}$ sont $p$ constantes arbitraires.

Il est clair que les équations (2) admettront les $p$ solutions particulières

${\begin{aligned}\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{1}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{1}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{1}}},\\\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{2}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{2}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{2}}},\\\dots &\dots \dots .,&\dots &\dots \dots .,&&\dots ,&\dots &\dots \dots .,\\\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{n}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{n}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{n}}}\cdot \end{aligned}}$

Il faut, bien entendu, que dans ces dérivées ${\frac {d\varphi _{i}}{dh_{k}}}$ on fasse après la différentiation

$h_{1}=h_{2}=\dots =h_{p}=0.$

Supposons maintenant que l’on connaisse une intégrale des équations (1), et soit

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})=\mathrm {const.}$

cette intégrale.

On aura, pour la solution (1 bis),

$\mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)\right]=c,$

et, pour la solution (1 ter),

$\mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t)+\xi _{1},\,\varphi _{2}(t)+\xi _{2},\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)+\xi _{n}\right]=c'.$

$c$ et $c'$ étant deux constantes numériques.

Si nous supposons que les $\xi$ soient très petits, il en sera de même de $c'-c$ et, si l’on néglige les carrés de ces quantités, il vient

(4)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\xi _{2}+\dots {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\xi _{n}=c'-c=\mathrm {const.}$

Dans les dérivées partielles ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ il faut, bien entendu, faire après la différentiation

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t).\end{aligned}}$

L’équation (4) nous donne alors une intégrale des équations (2) ; il importe d’observer que cette intégrale contiendra en général le temps explicitement.

Ainsi, si l’on connaît une intégrale des équations (1), on peut en déduire une intégrale des équations (2).

Application à la théorie de la Lune.

55.J’ai parlé plus haut, au n^o 53, des applications possibles des équations aux variations et de leur utilité pour l’Astronomie. Un exemple frappant nous en est fourni par l’admirable théorie de la Lune, de M. Hill.

J’ai dit au n^o 41 comment ce savant astronome, après avoir formé les équations du mouvement de la Lune, étudie en détail une solution particulière de ces équations qui diffère assez peu de la solution correspondant aux véritables conditions initiales du mouvement. Cette solution est périodique et de celles que j’ai désignées dans le Chapitre précédent sous le nom de solutions de la première sorte.

S’en tenir à cette solution, cela revient à négliger à la fois non seulement la parallaxe et l’excentricité du Soleil, mais les inclinaisons des orbites et l’excentricité de la Lune.

Néanmoins cette première approximation nous fait connaître assez exactement, ainsi que je l’ai dit au n^o 49, le coefficient de l’une des plus importantes inégalités de la Lune connue sous le nom de variation.

Soient maintenant

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad x_{3}=\varphi _{3}(t)=0$

les coordonnées de la Lune dans cette solution particulière périodique.

Soient

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}$

les véritables coordonnées de la Lune.

Dans une deuxième approximation, M. Hill néglige les carrés des $\xi$ et il arrive ainsi à un système d’équations différentielles linéaires. En d’autres termes, il forme les équations aux variations en prenant pour solution génératrice la solution périodique qu’il avait d’abord étudiée.

Néanmoins cette seconde approximation lui donne quelques-uns des éléments les plus importants du mouvement de la Lune, à savoir le mouvement du périgée, celui du nœud et le coefficient de l’évection.

À la vérité, les résultats ne sont publiés qu’en ce qui concerne le mouvement du périgée (Cambridge U. S. A., 1877, et Acta mathematica, t. VIII), mais le chiffre obtenu est extrêmement satisfaisant.

Équations aux variations de la Dynamique.

56.Soit $\mathrm {F}$ une fonction d’une double série de variables

${\begin{array}{rrrr}x_{1},&x_{2},&\ldots ,&x_{n},\\y_{1},&y_{2},&\ldots ,&y_{n}\,\\\end{array}}$

et du temps $t.$

Supposons que l’on ait les équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Considérons deux solutions infiniment voisines de ces équations :

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n},$

qui servira de solution génératrice et

$x_{1}\!+\!\xi _{1},\;\;x_{2}\!+\!\xi _{2},\;\;\ldots ,\;\;x_{n}\!+\!\xi _{n},\quad y_{1}\!+\!\eta _{1},\;\;y_{2}\!+\!\eta _{2},\;\;\ldots ,\;\;y_{n}\!+\!\eta _{n},$

les $\xi$ et les $\eta$ étant assez petits pour qu’on puisse négliger leurs carrés.

Les $\xi$ et les $\eta$ satisferont alors aux équations différentielles linéaires

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=\;\;\;\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}+\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k},\end{aligned}}\right.$

qui sont les équations aux variations des équations (1).

Soit $\xi '_{i},\eta '_{i}$ une autre solution de ces équations linéaires, de sorte que

(2′)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi '_{i}}{dt}}&=\;\;\;\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi '_{k}+\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta '_{k},\\{\frac {d\eta '_{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi '_{k}-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta '_{k},\end{aligned}}\right.$

Multiplions les équations (2) et (2′) respectivement par $\eta '_{i},$ $-\xi '_{i},$ $-\eta _{i},$ $\xi _{i}$ et faisons la somme de toutes ces équations, il viendra

${\begin{aligned}&\sideset {}{_{i}}\sum \left(\eta '_{i}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}-\xi '_{i}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}-\eta _{i}{\frac {d\xi '_{i}}{dt}}+\xi _{i}{\frac {d\eta '_{i}}{dt}}\right)\\&=\;\;\;\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\xi _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\&\;\;\;-\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\eta _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\xi _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\\end{aligned}}$

ou

$\sum {\frac {d}{dt}}\left[\eta '_{i}\xi _{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right]=0$

ou enfin

(3)

$\eta '_{1}\xi _{1}-\xi '_{1}\eta _{1}+\eta '_{2}\xi _{2}-\xi '_{2}\eta _{2}+\ldots +\eta '_{n}\xi _{n}-\xi '_{n}\eta _{n}=\mathrm {const.}$

Voilà une relation qui lie entre elles deux solutions quelconques des équations linéaires (2).

Il est aisé de trouver d’autres relations analogues.

Considérons quatre solutions des équations (2)

${\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i},\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}.\end{array}}$

Considérons ensuite la somme des déterminants

$\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left|{\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i}\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}\\\xi _{k},&\xi '_{k},&\xi ''_{k},&\xi '''_{k}\\\eta _{k},&\eta '_{k},&\eta ''_{k},&\eta '''_{k}\end{array}}\right|,\qquad \quad$

où les indices $i$ et $k$ varient depuis 1 jusqu’à $n.$ On vérifierait sans peine que cette somme est encore une constante.

Plus généralement, si l’on forme à l’aide de $2p$ solutions des équations (2) la somme de déterminants

${\begin{array}{c}\sum _{a_{1}\,a_{2}\,\ldots \,a_{p}}\left|\xi _{a_{1}}\eta _{a_{1}}\xi _{a_{2}}\eta _{a_{2}}\ldots \xi _{a_{p}}\eta _{a_{p}}\right|\\\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{p}=1,\,2,\,\ldots ,\,n\right),\end{array}}$

cette somme sera une constante.

En particulier, le déterminant formé par les valeurs des $2n$ quantités $\xi$ et $\eta$ dans $2n$ solutions des équations (2) sera une constante.

Ces considérations permettent de trouver une solution des équations (2) quand on en connaît une intégrale et réciproquement.

Supposons, en effet, que

$\xi _{i}=\alpha _{i},\qquad \eta _{i}=\beta _{i}$

soit une solution particulière des équations (2) et désignons par $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ une solution quelconque de ces mêmes équations. On devra avoir

${\textstyle \sum }\left(\xi _{i}\beta _{i}-\eta _{i}\alpha _{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

ce qui sera une intégrale des équations (2).

Réciproquement, soit

${\textstyle \sum }\mathrm {A} _{i}\xi _{i}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{i}\eta _{i}=\mathrm {const.}$

une intégrale des équations (2), on devra avoir

${\begin{aligned}\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}\xi _{i}+\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}\eta _{i}&+\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {A} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\\&-\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {B} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\!=\!0,\end{aligned}}$

d’où en identifiant

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {B} _{k},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {B} _{k},\end{alignedat}}$

ce qui montre que

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {B} _{i},&\eta _{i}&=-\mathrm {A} _{i}\end{aligned}}$

est une solution particulière des équations (2).

Si maintenant

$\Phi (x_{i},\,y_{i},\,t)=\mathrm {const.}$

est une intégrale des équations (1),

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\xi _{i}+\sum {\frac {d\Phi }{dy_{i}}}\eta _{i}=\mathrm {const.}$

sera une intégrale des équations (2), et par conséquent

${\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

sera une solution particulière de ces équations.

Si $\Phi =\mathrm {const.,} \,\Phi _{1}=\mathrm {const.}$ sont deux intégrales des équations (1), on aura

$\sum \left({\frac {d\Phi }{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}-{\frac {d\Phi }{dy_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\right)=\mathrm {const.}$

C’est le théorème de Poisson.

Considérons le cas particulier où les $x$ désignent les coordonnées rectangulaires de $n$ points dans l’espace ; nous les désignerons par la notation à double indice

$x_{1i},\quad x_{2i},\quad x_{3i},$

le premier indice se rapportant aux trois axes rectangulaires de coordonnées et le second indice aux $n$ points matériels. Soit $m_{i}$ la masse du $i$^ième point matériel. On aura alors

$m_{i}{\frac {d^{2}x_{ki}}{dt^{2}}}={\frac {dV}{dx_{ki}}},$

$\mathrm {V}$ étant la fonction des forces.

On aura alors pour l’équation des forces vives

$\mathrm {F} =\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{ki}}{dt}}\right)^{2}-\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

Posons ensuite

$y_{ki}=m_{i}{\frac {dx_{ki}}{dt}},$

d’où

(3)

$\mathrm {F} =\sum {\frac {y_{ki}^{2}}{2m_{i}}}-\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

et

(1′)

${\frac {dx_{ki}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{ki}}},\quad {\frac {dy_{ki}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{ki}}}\cdot$

Soit

(4)

$x_{ki}=\varphi _{ki}(t),\quad y_{ki}=m_{i}\varphi '_{ki}(t)$

une solution de ces équations (1′), une autre solution sera

$x_{ki}=\varphi _{ki}(t+h),\quad y_{ki}=m_{i}\varphi '{ki}(t+h),$

$h$ étant une constante quelconque.

En regardant $h$ comme infiniment petit, on obtiendra une solution des équations (2′) qui correspondent à (1′) comme les équations (2) correspondent à (1)

$\xi _{ki}=h\varphi '_{ki}(t)=h{\frac {y_{ki}}{m_{i}}},\quad \eta _{ki}=hm_{i}\varphi ''_{ki}(t)=h{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}},\quad$

$h$ désignant un facteur constant très petit que l’on peut supprimer quand on ne considère que les équations linéaires (2′).

Connaissant une solution

$\xi ={\frac {y}{m}},\quad \eta ={\frac {d\mathrm {V} }{dx}}$

de ces équations, on peut déduire une intégrale

$\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi =\mathrm {const.}$

Mais cette même intégrale s’obtient très aisément en différentiant l’équation des forces vives (3).

Si les points matériels sont soustraits à toute action extérieure, on peut déduire de la solution (4) une autre solution

${\begin{alignedat}{6}x_{1i}&=\varphi _{1i}(t)+h+kt,\quad &y_{1i}&=m_{i}\varphi '_{1i}(t)+m_{i}k,\\x_{2i}&=\varphi _{2i}(t),&y_{2i}&=m_{i}\varphi '_{2i}(t),\\x_{3i}&=\varphi _{3i}(t),&y_{3i}&=m_{i}\varphi '_{3i}(t),\\\end{alignedat}}$

$h$ et $k$ étant des constantes quelconques. En regardant ces constantes comme infiniment petites, on obtient deux solutions des équations (2′)

${\begin{alignedat}{6}\xi _{1i}&=1,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{1i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,&\\\xi _{1i}&=t,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,\quad &\eta _{1i}&=m_{i}\\\end{alignedat}}$

On obtient ainsi deux intégrales de (2′)

${\begin{array}{c}\sum _{i}\eta _{1i}=\mathrm {const.} ,\\\sum \eta _{1i}t-\sum m_{i}\xi _{1i}=\mathrm {const.} \end{array}}$

On peut obtenir ces intégrales en différentiant les équations du mouvement du centre de gravité

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,m_{i}x_{1i}&=t\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,y_{1i}+\mathrm {const.} ,\\{\textstyle \sum }\,y_{1i}t&=\mathrm {const.} \\\end{aligned}}$

Si l’on fait tourner la solution (4) d’un angle $\omega$ autour de l’axe des $z,$ on obtient une autre solution

${\begin{aligned}x_{1i}&=\varphi _{1i}\cos \omega -\varphi _{2i}\sin \omega ,&{\frac {y_{1i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\cos \omega -\varphi '_{2i}\sin \omega ,\\[1ex]x_{2i}&=\varphi _{1i}\sin \omega +\varphi _{2i}\cos \omega ,&{\frac {y_{2i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\sin \omega +\varphi '_{2i}\cos \omega ,\\[1ex]x_{3i}&=\varphi _{3i},\quad &{\frac {y_{3i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{3i}.\end{aligned}}$

En regardant $\omega$ comme infiniment petit, on trouve comme solution de (2′)

${\begin{aligned}\xi _{1i}&=-x_{2i},&\eta _{1i}&=-y_{2i},\\\xi _{2i}&=\;\;\;x_{1i},&\eta _{1i}&=\;\;\;y_{1i},\\\xi _{3i}&=\;\;\;0,&\eta _{3i}&=\;\;\;0,\end{aligned}}$

d’où l’intégrale de (2′)

${\textstyle \sum }_{i}\left(x_{1i}\eta _{2i}-y_{1i}\xi _{2i}-x_{2i}\eta _{1i}+y_{2i}\xi _{1i}\right)=\mathrm {const.,}$

que l’on pouvait obtenir aussi en différentiant l’intégrale des aires de (1′)

${\textstyle \sum }\left(x_{1i}y_{2i}-x_{2i}y_{1i}\right)=\mathrm {const.}$

Supposons maintenant que la fonction $\mathrm {V}$ soit homogène et de degré $-1$ par rapport aux $x,$ ce qui est le cas de la nature.

Les équations (1′) ne changeront pas quand on multipliera $t$ par $\lambda ^{3},$ les $x$ par $\lambda ^{2}$ et les $y$ par $\lambda ^{-1},$ $\lambda$ étant une constante quelconque. De la solution (4) on déduira donc la solution suivante :

${\begin{aligned}x_{ki}&=\lambda ^{2}\varphi _{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right),&y_{ki}&=\lambda ^{-1}m_{i}\varphi '_{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Si l’on regarde $\lambda$ comme très voisin de l’unité, on obtiendra comme solution des équations (2′)

${\begin{aligned}\xi _{ki}&=2\varphi _{ki}-3t\varphi '_{ki},&\eta _{ki}&=-m_{i}\varphi '_{ki}-3m_{i}t\varphi '_{ki}\end{aligned}}$

ou

(5)

${\begin{aligned}\xi _{ki}&=2x_{ki}-3t{\frac {y_{ki}}{m_{i}}},&\eta _{ki}&=-y_{ki}-3t{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}},\end{aligned}}$

d’où l’intégrale suivante des équations (2′), laquelle, à la différence de celles que nous avons envisagées jusqu’ici, ne peut être obtenue en différentiant une intégrale connue des équations (1′)

${\textstyle \sum }\left(2x_{ki}\eta _{ki}+y_{ki}\xi _{ki}\right)=3t\left[\sum \left({\frac {y_{ki}\eta _{ki}}{m_{i}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}}\xi _{ki}\right)\right]+\mathrm {const.}$

Application de la théorie des substitutions linéaires.

57.Avant d’aller plus loin, je suis obligé de rappeler quelques-unes des propriétés des transformations linéaires qui nous seront utiles dans la suite.

Soit

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\gamma _{1}&=a_{1}\beta _{1}&{}+{}&a_{2}\beta _{2}&{}+{}&a_{3}\beta _{3},\\\gamma _{2}&=b_{1}\beta _{1}&{}+{}&b_{2}\beta _{2}&{}+{}&b_{3}\beta _{3},\\\gamma _{3}&=c_{1}\beta _{1}&{}+{}&c_{2}\beta _{2}&{}+{}&c_{3}\beta _{3}\end{alignedat}}\right.$

une substitution linéaire qui lie les variables $\beta$ aux variables $\gamma .$ Le déterminant de cette substitution est

$\Delta =\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}}\right|,\qquad$

et l’équation

(2)

$\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}-\mathrm {S} &a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}-\mathrm {S} &b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

est ce qu’on appelle l’équation en $\mathrm {S}$ de la substitution (1). Si l’on fait subir aux $\beta$ et aux $\gamma$ une même substitution linéaire, c’est-à-dire si l’on pose

${\begin{alignedat}{5}\beta '_{i}&=\lambda _{i,1}\beta _{1}&{}+{}&\lambda _{i,2}\beta _{2}&{}+{}&\lambda _{i,3}\beta _{3},\\\gamma '_{i}&=\lambda _{i,1}\gamma _{1}&{}+{}&\lambda _{i,2}\gamma _{2}&{}+{}&\lambda _{i,3}\gamma _{3},\end{alignedat}}$

les $\lambda$ étant des constantes ; les $\gamma '$ et les $\beta '$ seront liés entre eux par des relations linéaires de même forme que (1), et l’on aura

(3)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\gamma '_{1}&=a'_{1}\beta '_{1}&{}+&a'_{2}\beta '_{2}&{}+&a'_{3}\beta '_{3},\\\gamma '_{2}&=b'_{1}\beta '_{1}&{}+&b'_{2}\beta '_{2}&{}+&b'_{3}\beta '_{3},\\\gamma '_{3}&=c'_{1}\beta '_{1}&{}+&c'_{2}\beta '_{2}&{}+&c'_{3}\beta '_{3}.\end{alignedat}}\right.$

La substitution linéaire (3) s’appellera alors la transformée de la substitution (1).

La théorie des substitutions linéaires nous apprend :

1^o Que la nouvelle équation en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}-\mathrm {S} &a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}-\mathrm {S} &b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

ne diffère pas de l’ancienne équation en $\mathrm {S}$ (2)' ;

2^o Que si le déterminant $\Delta$ est nul ainsi que tous ses mineurs jusqu’aux mineurs de l’ordre $p$ inclusivement, il en sera de même du déterminant

$\Delta '=\left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}&a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}&b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}\end{array}}\right|.\qquad$

Les mineurs d’ordre $p$ de $\Delta '$ sont, en effet, des combinaisons linéaires des mineurs d’ordre $p$ de $\Delta \,;$

3^o Que l’on peut choisir les $\lambda$ de façon à ramener la substitution (2) à une forme aussi simple que possible, dite forme canonique. Voici en quoi consiste cette forme :

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a toutes ses racines simples, on peut annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3},$ $b'_{1},$ $b'_{3},$ $c'_{1},$ $c'_{2}.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine double, on peut annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3},$ $b'_{3},$ $b'_{1},$ $c'_{1}\,;$ on a alors $b'_{2}=c'_{3}.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine triple, on peut s’annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3}$ et $b'_{3}\,;$ on a alors $a'_{1}=b'_{2}=c'_{3}.$

Dans tous les cas, on peut toujours supposer que les $\lambda$ ont été choisis, de telle sorte que

$a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine nulle, $\Delta$ est nul et réciproquement.

Supposons maintenant que $\Delta$ ait tous ses mineurs du premier ordre nuls ; alors il en sera de même de $\Delta '.$ Mais comme

$a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0,$

il y a trois des mineurs de $\Delta '$ qui se réduisent à

$a'_{1}b'_{2},\quad b'_{2}c'_{3},\quad a'_{1}c'_{3}\,;$

ils ne peuvent s’annuler que si deux des trois quantités $a'_{1},$ $b'_{2},$ et $c'_{3}$ sont nulles.

Mais ces trois quantités sont les trois racines de l’équation en $\mathrm {S.}$ Donc, si les mineurs de $\Delta$ sont tous nuls, l’équation en $\mathrm {S}$ a deux racines nulles.

La réciproque n’est pas vraie.

En effet, l’équation en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{ccc}1-\mathrm {S} &0&0\\0&-\mathrm {S} &0\\0&1&-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

a deux racines nulles et tous ses mineurs ne sont pas nuls.

Nous avons supposé, pour fixer les idées, que nous avions affaire à une substitution linéaire portant sur trois variables seulement : mais le même raisonnement s’applique, quel que soit le nombre des variables.

Si le déterminant d’une substitution linéaire est nul, ainsi que tous ses mineurs du premier, du second, etc., du $(p-1)$^ième ordre ; l’'équation en $\mathrm {S}$ aura $p$ racines nulles.

58.Soient, comme dans le Chapitre précédent,

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles. Soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution périodique de ces équations de période $\mathrm {T} .$

Soit, dans une solution voisine de cette solution périodique, $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ et $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau .$

Envisageons le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}\end{array}}\right|,$

On peut le regarder comme le tableau des coefficients d’une substitution linéaire $\mathrm {T} .$

Si l’on fait subir aux $x$ un changement linéaire de variables, les $\beta$ et les $\psi$ subiront ce même changement linéaire, et la substitution linéaire $\mathrm {T}$ se changera dans la substitution transformée au sens du numéro précédent.

Nous pourrons donc choisir le changement linéaire de variables subi par les $x,$ les $\beta$ et les $\psi$ de façon à simplifier autant que possible le tableau des coefficients de $\mathrm {T,}$ ainsi qu’il a été expliqué plus haut. Nous pouvons donc toujours supposer que l’on a fait un changement linéaire de variables tel que

(1)

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}=0$

toutes les fois que $i<k.$

Dans ce cas les racines de l’équation en $\mathrm {S}$ relative à la substitution $\mathrm {T}$ sont

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},\quad {\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}},\quad \dots ,\quad {\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}},$

On peut d’ailleurs choisir le changement de variables que subissent les $x,$ les $\beta$ et les $\psi$ de façon que ces racines de l’équation en $\mathrm {S}$ se présentent dans tel ordre que l’on veut. Si, par exemple, l’équation en $\mathrm {S}$ a deux racines nulles, on peut choisir ce changement de variables de telle façon que,

${\frac {d\psi _{n-1}}{d\beta _{n-1}}}={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}=0.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ n’a qu’une racine égale a ${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},$ on pourra encore choisir le changement de variables, de telle sorte que l’on ait en outre

(2)

${\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}={\frac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}=0.$

Supposons donc que l’équation en $\mathrm {S}$ ait une racine nulle et une seule ; nous pourrons d’après ce qui précède supposer que cette racine nulle est ${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},$ de sorte que

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}=0,$

et choisir en même temps le changement de variables, de façon à satisfaire aux conditions (1) et (2).

Si donc l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine nulle et une seule, il est toujours permis de supposer que

${\begin{alignedat}{5}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&=&0,\\[0.5ex]{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&=&0.\end{alignedat}}$

Définition des exposants caractéristiques.

59.Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles où $\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {X} _{n}$ seront des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$ Nous pourrons supposer, ou bien que le temps $t$ n’entre pas explicitement dans ces fonctions $\mathrm {X} _{i},$ ou au contraire que ces fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent non seulement de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$ mais encore du temps $t\,;$ mais dans ce dernier cas les $\mathrm {X} _{i}$ devront être des fonctions périodiques de $t.$

Imaginons que ces équations (1) admettent une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Prenons cette solution comme solution génératrice et formons les équations aux variations (voir n^o 53) des équations (1), en posant

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}$

et négligeant les carrés des $\xi .$

Ces équations aux variations s’écriront

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}}}\xi _{n}.$

Ces équations sont linéaires par rapport aux $\xi ,$ et leurs coefficients ${\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}$ [quand on y a remplacé $x_{i}$ par $\varphi _{i}(t)$] sont des fonctions périodiques de $t.$ Nous avons donc à intégrer des équations linéaires à coefficients périodiques.

On a vu au n^o 29 quelle est en général la forme des intégrales de ces équations ; on obtient $n$ intégrales particulières de la forme suivante

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{1}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{11},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{21},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{n1},\\\xi _{1}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{12},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{22},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,\\\xi _{1}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{1n},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{2n},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{nn},\end{aligned}}\right.$

les $\alpha$ étant des constantes et les $\mathrm {S} _{ik}$ des fonctions périodiques de $t$ de même période que les $\varphi _{i}(t).$

Les constantes $\alpha$ s’appellent les exposants caractéristiques de la solution périodique.

Si $\alpha$ est purement imaginaire de façon que son carré soit négatif, le module de $e^{\alpha t}$ est constant et égal à 1. Si au contraire $\alpha$ est réel, ou si $\alpha$ est complexe de telle façon que son carré ne soit pas réel, le module $e^{\alpha t}$ tend vers l’infini pour $t=+\infty$ ou pour $t=-\infty .$ Si donc tous les $\alpha$ ont leurs carrés réels et négatifs, les quantités $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\ldots ,$ $\xi _{n}$ resteront finies ; je dirai alors que la solution périodique $x_{i}=\varphi _{i}(t)$ est stable ; dans le cas contraire, je dirai que cette solution est instable.

Un cas particulier intéressant est celui où deux ou plusieurs des exposants caractéristiques $\alpha$ sont égaux entre eux. Dans ce cas les intégrales des équations (2) ne peuvent plus se mettre sous la forme (3). Si, par exemple,

$\alpha _{1}=\alpha _{2}$

les équations (2) admettraient deux intégrales particulières qui s’écriraient

$\xi _{i}=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}}$

et

$\xi _{i}=te^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}} +e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,2}} ,$

les $\mathrm {S} _{i,1}$ et les $\mathrm {S} _{i,2}$ étant des fonctions périodiques de $t$ (voir n^o 29).

Si trois des exposants caractéristiques étaient égaux entre eux, on verrait apparaître, non seulement $t,$ mais encore $t^{2}$ en dehors des signes trigonométriques et exponentiels.

Équation qui définit ces exposants.

60.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; considérons une solution quelconque

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}.$

Soit $\mathrm {T}$ la période de la solution périodique génératrice $x_{i}=\varphi _{i}(t)\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ et $\varphi _{i}(\mathrm {T} )+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} .$

Comme les $\psi _{i}$ s’annulent avec les $\beta _{i}$ et sont développables suivant les puissances croissantes des $\beta _{i},$ nous pouvons écrire, par la formule de Taylor,

$\psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}+\ldots .$

Si la solution considérée diffère assez peu de la solution périodique pour qu’on puisse négliger les carrés des $\xi ,$ on pourra également négliger les carrés des $\beta$ et il restera

$\psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Considérons une des solutions particulières des équations aux variations (2), nous aurons pour $t=0$

$\xi _{i}=\beta _{i}$

et pour $t=\mathrm {T}$

$\xi _{i}=\beta _{i}+\psi _{i}$

Parmi ces solutions particulières, nous avons vu au n^o 59 qu’il y en a $n$ qui sont d’une forme remarquable : ce sont les solutions (3) ; soit

${\begin{aligned}\xi _{1}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{1,k},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{2,k},&&\ldots ,&\xi _{n}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{n,k},&\end{aligned}}$

l’une de ces solutions (3), ou, en supprimant l’indice $k$ pour abréger l’écriture,

$\xi _{i}=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i}(t).$

Les fonctions $\mathrm {S} _{i}(t)$ sont des fonctions périodiques de $t,$ de période $\mathrm {T} \,;$ on a donc, pour $t=0,$

$\beta _{i}=\mathrm {S} _{i}(0)$

et, pour $t=\mathrm {T} ,$

$\beta _{i}+\psi _{i}=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(\mathrm {T} )=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(0)=e^{\alpha \mathrm {T} }\beta _{i}$

ou, en remplaçant $\psi _{i}$ par sa valeur,

$\beta _{i}\left(e^{\alpha \mathrm {T} }\!-\!1\right)={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

En éliminant $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n}$ entre des $n$ équations, il vient

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\vdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\vdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\end{array}}\right|=0,$

d’où la règle suivante

Pour obtenir les exposants caractéristiques $\alpha ,$ on forme le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta \,;$ on forme l’équation en $\mathrm {S}$ correspondante : les racines de cette équation sont égales à $e^{\alpha \mathrm {T} }-1.$

Dans les dérivées partielles ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}$ il va sans dire qu’il faut, après les différentiations, annuler tous les $\beta _{i}.$

Cas où le temps n’entre pas explicitement.

61.Quand le temps $t$ n’entre pas explicitement dans les équations (1) du n^o 59, l’un au moins des exposants caractéristiques est nul. Soit, en effet,

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

la solution génératrice ; si l’on fait

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h),$

$h$ étant une constante quelconque, on aura encore une solution des équations (1) ; alors, d’après le n^o 51, on aura une solution des équations aux variations, en faisant

(4)

$\xi _{i}={\frac {d\varphi _{i}}{dh}}={\frac {d\varphi _{i}}{dt}}\cdot$

Mais, $\varphi _{i}$ étant une fonction périodique de $t,$ il en sera de même de sa dérivée ${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}.$

La solution (4) est bien de la forme (3) (c’est-à-dire égale à une exponentielle multipliée par une fonction périodique de $t$). Seulement ici l’exponentielle se réduit à l’unité et l’exposant caractéristique est égal à 0. C.Q.F.D.

D’ailleurs nous avons vu déjà au Chapitre précédent que, dans ce cas, le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est nul.

Nouvel énoncé du théorème des n^os 37 et 38.

62.Nous avons, dans le n^o 37, envisagé d’abord le cas où les équations (1) dépendent du temps $t$ et d’un paramètre $\mu ,$ et admettent pour $\mu =0$ une solution périodique et une seule. Nous avons vu que, si le déterminant fonctionnel

$\Delta ={\frac {\partial (\psi _{1},\psi _{2},\ldots ,\psi _{n})}{\partial (\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n})}}\lessgtr 0,$

les équations admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$

Ce déterminant peut s’écrire

$\Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}\end{array}}\right|.$

Or les exposants caractéristiques $\alpha$ sont donnés par l’équation

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\\\end{array}}\right|=0.$

Dire que $\Delta$ est nul, c’est donc dire que l’un des exposants caractéristiques est nul ; de sorte que nous pouvons énoncer ainsi le premier des théorèmes démontrés au paragraphe précédent :

Si les équations (1) qui dépendent d’un paramètre $\mu$ admettent pour $\mu =0$ une solution périodique dont aucun des exposants caractéristiques ne soit nul, elles admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$

63.On peut arriver à un résultat analogue quand on suppose, comme au n^o 38, que le temps n’entre pas explicitement dans les équations différentielles.

Nous avons vu au n^o 38 que la condition suffisante pour qu’il y ait encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu ,$ c’est que pour $\mu =0$ tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\end{array}}\right|\right|$

ne soient pas nuls à la fois.

Cela posé, considérons l’équations en $\mathrm {S} \,:$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0.$

Ses racines sont, comme nous l’avons vu au n^o 60, égales à $e^{\alpha \mathrm {T} }-1,$ $\mathrm {T}$ étant la période et $\alpha$ un exposant caractéristique. Le temps n’entrant pas explicitement dans les équations, un de ces exposants doit être nul d’après ce que nous avons vu au n^o 61.

L’équation en $\mathrm {S}$ a donc au moins une racine nulle ; je dis que si elle n’en a qu’une, il y aura encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$

En effet, d’après ce que nous avons vu au n^o 58, il est toujours permis de supposer que

${\begin{aligned}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{3}}}=\cdots ={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}=0,\\{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}={\frac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}=\cdots ={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}=0.\end{aligned}}$

Le premier membre de l’équation en $\mathrm {S}$ s’écrit

$-\mathrm {S} \,\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{3}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{3}}}-\mathrm {S} &\cdots &{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{3}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|.$

Si donc l’équation en $\mathrm {S}$ n’a qu’une racine nulle, le déterminant fonctionnel $\delta$ de $\psi _{2},$ $\psi _{3},,$ $\ldots ,$ $\psi _{n},$ par rapport à $\beta _{2},$ $\beta _{3},,$ $\ldots ,$ $\beta _{n},$ ne sera pas nul.

Alors le déterminant obtenu en supprimant dans la matrice la première colonne se réduit à

$\delta {\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}\cdot$

Je dis qu’il n’est pas nul ; en effet, ${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}$ ne peut s’annuler pour la raison suivante :

On ne peut pas avoir à la fois

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

S’il en était ainsi, cela voudrait dire que, si l’on considère la solution périodique

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

qui correspond à $\mu =0$ et qui nous sert de point de départ, on a pour $t=\mathrm {T}$ (et par conséquent encore pour toutes les valeurs de $t$)

${\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,$

de sorte que $\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),$ $\ldots ,\,\varphi _{n}(t)$ seraient des constantes, ce que nous ne supposerons pas.

D’autre part, je dis que

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Nous avons, en effet, comme on l’a vu plus haut, page 91

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}+{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Or ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}=0\,;$ nous avons donc une série d’équations linéaires

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),$

et, comme le déterminant de ces équations (c’est-à-dire $\delta$) n’est pas nul, il vient

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Comme nous avons exclu le cas où $\varphi _{1}(t),$ $\varphi _{2}(t),$ $\ldots ,$ $\varphi _{n}(t),$ sont des constantes, cas qui sera examiné à part, au n^o 68, nous en concluons que

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}\gtrless 0.$ C.Q.F.D.

Ainsi, si les équations différentielles ne contiennent pas le temps explicitement, si elles admettent une solution périodique pour $\mu =0,$ l’un des exposants caractéristiques de cette solution sera toujours nul ; si, de plus, aucun autre de ces exposants n’est nul, il y aura encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$

Cas où les équations admettent des intégrales uniformes.

64.Supposons que les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

où les $\mathrm {X} _{i}$ sont des fonctions uniformes de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}$ et de $t,$ périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t,$ admettent une solution périodique de période $2\pi ,$

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

de telle sorte que $\varphi _{i}(2\pi )=\varphi _{i}(0)$ est une intégrale indépendante du temps

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})=\mathrm {const.} ,$

uniforme par rapport à $x_{1},\,x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n}.$ Je dis qu’un des exposants caractéristiques est nul, sauf dans un cas exceptionnel dont je parlerai plus loin.

Définissons, en effet, les quantités $\psi$ et $\beta$ comme au n^o 37, et envisageons le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta .$ Je dis que ce déterminant est nul.

En effet, on a identiquement

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],$

en écrivant, pour abréger, $\mathrm {F} (x_{i})$au lieu de

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).$

En différentiant cette identité par rapport à $\beta _{i},$ on trouve

(2)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}=0.$

Il faut, dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}},$ remplacer $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}$ par $\varphi _{1}(0),$ $\varphi _{2}(0),$ $\ldots ,$ $\varphi _{n}(0).$

Nous pouvons faire dans les équations (2) $i=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;$ nous avons donc $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\cdot$

Alors de deux choses l’une : ou bien le déterminant de ces équations (2), c’est-à-dire le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ sera nul, et alors, d’après ce que nous avons vu au n^o 62, l’un des exposants caractéristiques sera nul.

Ou bien on aura à la fois

(3)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0.$

Ces équations devront être satisfaites pour

$x_{1}=\varphi _{1}(2\pi ),\quad x_{2}=\varphi _{2}(2\pi ),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(2\pi )$

ou, ce qui revient au même, pour

$x_{1}=\varphi _{1}(0),\quad x_{2}=\varphi _{2}(0),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(0).$

Mais l’origine du temps est restée entièrement arbitraire ; nous devons donc conclure que les équations (3) seront satisfaites, quel que soit $t,$ pour

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t).$

On peut d’ailleurs s’en rendre compte de la manière suivante :

Supposons que les équations (3) soient satisfaites pour un système de valeurs de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n},$ je dis qu’elles le seront encore pour un système infiniment voisin $x_{1}+dx_{1},$ $x_{2}+dx_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}+dx_{n},$ pourvu que l’on ait, conformément aux équations différentielles,

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$

En d’autres termes, je dis que les équations (3) entraînent les suivantes,

${\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

En effet, on a identiquement (puisque $\mathrm {F}$ est une intégrale des équations différentielles)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0.$

En différentiant cette identité par rapport à $x_{i},$ il vient

$\sum _{k=1}^{k=n}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\right)=0$

ou, en vertu des équations (3),

$\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}=0.$
C.Q.F.D.

Ainsi, si les équations différentielles admettent une intégrale uniforme, l’un des exposants caractéristiques d’une solution périodique quelconque sera nul, à moins que toutes les dérivées partielles de l’intégrale ne s’annulent en tous les points de cette solution périodique. Cette dernière circonstance ne pourra se présenter qu’exceptionnellement.

65.Supposons encore que les équations différentielles (1) contiennent le temps explicitement et soient, par rapport à cette variable, des fonctions périodiques de période $2\pi .$

Je dis que si les équations différentielles admettent deux intégrales uniformes, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1},$ deux des exposants caractéristiques seront nuls.

On trouvera, en effet, comme dans le numéro précédent,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}&=0,\\{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots {\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}&=0\\\end{aligned}}\right.$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

$\left[\,x_{1}=\varphi _{1}(0),\quad x_{2}=\varphi _{2}(0),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(0)\,\right].$

Nous pouvons en conclure que, non seulement le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est nul, mais qu’il en est de même de tous ses mineurs du premier ordre, à moins que l’on n’ait à la fois

(3)

${\dfrac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}}={\dfrac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}}}=\ldots ={\dfrac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{n}}}}\cdot$

Mais, d’après le n^o 57, cela ne peut avoir lieu que si l’équation en $\mathrm {S} ,$ formée à l’aide du déterminant fonctionnel des $\psi ,$ a deux racines nulles, c’est-à-dire (puisque ces racines sont égales à $e^{\alpha \mathrm {T} }-1$) s’il y a deux exposants caractéristiques nuls.

Si donc il y a deux intégrales uniformes, il y aura deux exposants caractéristiques nuls, à moins que les équations (3) ne soient satisfaites en tous les points de la solution périodique, ce qui évidemment ne peut arriver qu’exceptionnellement.

On démontrerait de même que s’il y a $p$ intégrales uniformes, $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {F} _{p},$ $p$ des exposants caractéristiques seront nuls à moins que tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{n}}}\\{\dfrac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{n}}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\dfrac {d\mathrm {F} _{p}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{p}}{dx_{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\mathrm {F} _{p}}{dx_{n}}}\end{array}}\right|\right|$

ne s’annulent en tous les points de la solution périodique considérée.

66.Imaginons maintenant que le temps n’entre pas explicitement dans nos équations différentielles et, de plus, que ces équations admettent une intégrale uniforme

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,x_{n})=\mathrm {const.} ,$

indépendante du temps $t.$

Je dis que deux exposants caractéristiques seront nuls.

Nous avons vu d’abord qu’un de ces exposants est toujours nul quand le temps n’entre pas explicitement. Si de plus il y a une intégrale $\mathrm {F} ,$ on aura, comme au n^o 64,

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],$

et, en différentiant cette relation par rapport à $\beta _{i}$ et à $\tau ,$ il viendra

${\begin{array}{c}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}=0\\(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),\end{array}}$

${\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

On en conclura ou bien que l’on a à la fois

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour tous les points de la solution périodique, ou bien que tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|$

sont nuls à la fois.

Or nous avons vu, au n^o 63, que cela ne peut avoir lieu que si deux exposants caractéristiques s’annulent.

67.Je me propose maintenant d’établir ce qui suit :

Supposons encore que le temps n’entre pas explicitement dans nos équations différentielles ; supposons que ces équations admettent $p$ intégrales analytiques et uniformes et où le temps n’entre pas non plus explicitement. Soient $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {F} _{p}$ ces $p$ intégrales.

Alors, ou bien $p+1$ exposants caractéristiques seront nuls, ou bien tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\frac {d\mathrm {F} _{i}}{dx_{k}}}\right|\right|\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,p\,;\;\;k=1,\,\ldots ,\,n)$