Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.06

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 269-334).

CHAPITRE VI.

DÉVELOPPEMENT APPROCHÉ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

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Énoncé du problème.

90.J’ai dit que M. Flamme avait donné une remarquable expression approchée des termes de rang élevé de la fonction perturbatrice. Il y est parvenu en appliquant à ce problème la méthode de M. Darboux qui permet de trouver les coefficients de rang élevé dans la série de Fourier ou dans celle de Taylor, quand on connaît les propriétés analytiques de la fonction représentée par ces séries.

Mais la méthode de M. Darboux n’est applicable qu’aux fonctions d’une seule variable, tandis que la fonction perturbatrice doit être développée suivant les sinus et cosinus des multiples des deux anomalies moyennes. Voici donc quel est le détour employé par M. Flamme : il obtient d’abord, par les procédés ordinaires, un premier développement de la fonction perturbatrice dont les termes sont de la forme

$\Lambda \rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)},\quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')},$

$\rho$ rayon vecteur de la première planète, $v$ anomalie vraie, $u$ anomalie excentrique ; $\rho ',$ $v'$ et $u'$ quantités analogues pour la seconde planète.

Alors les deux facteurs

$\rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)}\quad \mathrm {et} \quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')}$

ne dépendent plus que d’une seule variable, à savoir : le premier de l’anomalie moyenne $\zeta$ de la première planète, le second de l’autre anomalie moyenne $\zeta '.$ M. Flamme applique à chacun de ces deux facteurs la méthode de M. Darboux.

Cet artifice ne saurait nous suffire pour notre objet ; il nous faut, au contraire, appliquer directement à la fonction perturbatrice la méthode de M. Darboux et pour cela étendre cette méthode au cas des fonctions de deux variables.

91.La fonction qu’il s’agit de développer est celle que nous avons appelée $\mathrm {F} _{1}$ et dont je vais rappeler l’expression en reprenant les notations du n^o 11.

On a alors

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {m_{2}m_{3}}{\mu \mathrm {BC} }}-{\frac {m_{3}m_{1}}{\mu \mathrm {AC} }}-{\frac {m_{1}m_{2}}{\mu \mathrm {AB} }}\cdot$

La fonction $\mathrm {F}$ ainsi définie dépend des variables (4) du n^o 11 de $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3}$ et de $\mu .$ Si nous supposons que $m_{1},$ $m_{2}$ et $m_{3}$ soient des fonctions données du paramètre $\mu$ et soient développables suivant les puissances croissantes de ce paramètre, $\mathrm {F}$ ne dépendra plus que des variables (4) et de $\mu ,$ et sera développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Cela peut se faire d’une infinité de manières ; nous supposerons, par exemple, que $m_{1},$ $\beta$ et $\beta '$ sont des constantes indépendantes de $\mu .$

Les variables (4) sont les variables képlériennes relatives à deux orbites osculatrices définies dans le n^o 11. Le rayon vecteur dans la première orbite osculatrice est AB, dans la seconde orbite le rayon vecteur est CD. L’angle de ces deux rayons vecteurs (qui n’est autre chose que la différence des deux longitudes vraies dans les deux orbites osculatrices, si ces deux orbites sont dans un même plan) est l’angle BDC que j’appellerai simplement D.

Les quantités $(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}),$ $(y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}),$ et AB dépendent seulement des variables (4) et non de $\mu .$ Au contraire, $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ AC et BC dépendent non seulement des variables (4) mais encore de $\mu .$ Nous pouvons donc nous proposer de développer $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ ${\frac {1}{\mathrm {AC} }}$ et ${\frac {1}{\mathrm {BC} }}$ suivant les puissances de $\mu .$ Nous trouvons ainsi

${\begin{aligned}&\qquad \alpha _{2}=\beta \,\,+{\frac {\mu \beta ^{2}}{m_{1}}}\,+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\&\qquad \alpha _{3}=\beta '+{\frac {\mu \beta '^{2}}{m_{1}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\{\frac {1}{\mathrm {BC} }}&={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} \,\cos \mathrm {D} }}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ,\\{\frac {1}{\mathrm {AC} }}&={\frac {1}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \mu }{m_{1}}}\,{\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2}.\end{aligned}}$

Si l’on pose alors

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\ldots ,$

il vient

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {\beta '_{1}m_{1}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta _{2}m_{1}}{\mathrm {AB} }},\\\mathrm {F} _{1}&=-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}}+{\frac {\beta \beta '\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice $\mathrm {F} _{1}.$

Tout d’abord Le premier terme

$-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}$

ne dépend que de l’anomalie moyenne $l$ et nullement de l’anomalie moyenne $l'\,;$ il ne pourra donc donner dans le développement des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $n\gtrless 0.$

De même le second terme

$-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}=-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}$

ne pourra donner dans le développement final des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $m\gtrless 0.$

Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.

Le dernier terme

${\frac {\beta \beta '\,\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}$

peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par $i$ l’inclinaison des orbites et par $v$ et $v'$ les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a

$\cos \mathrm {D} =\cos v\cos v'+\cos i\sin v\sin v',$

d’où

${\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}=(\mathrm {AB} \,\cos v){\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}+\cos i(\mathrm {AB} \,\sin v){\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

La méthode de M. Flamme est directement applicable aux quatre facteurs

$\mathrm {AB} \,\cos v,\quad {\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}},\quad \mathrm {AB} \,\sin v,\quad {\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

Il reste donc à développer le troisième terme

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}},$

qui est connu sous le nom de partie principale de la fonction perturbatrice. C’est du développement de cette partie principale que nous allons maintenant nous occuper.

Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice.

92.On pourrait être tenté d’éviter la nécessité de développer la partie principale de la fonction perturbatrice en employant l’artifice suivant :

Nous avons trouvé

$\mathrm {F} _{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r\cos \omega }{r'^{2}}},$

en désignant par $r$ et $r'$ les deux rayons vecteurs et par $\omega$ l’angle de ces deux rayons vecteurs.

Pour arriver à ce résultat, nous avons pris, comme dans le n^o 11, pour orbites osculatrices l’orbite de B par rapport à A et celle de C par rapport à D, centre de gravité de A et de B.

Mais il est clair qu’on aurait pu également choisir comme orbites osculatrices celle de C par rapport à A et celle de B par rapport à E, centre de gravité de A et de C.

Cela revient à permuter les deux planètes B et C ; on aurait donc trouvé ainsi, comme nouvelle fonction perturbatrice,

$\mathrm {F} '_{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r'\cos \omega }{r^{2}}},$

d’où

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}=\beta \beta '\left({\frac {r'\,\cos \omega }{r^{2}}}-{\frac {r\,\cos \omega }{r'^{2}}}\right)\cdot$

S’il existe une intégrale

$\Phi =\mathrm {const.} ,$

on pourra l’écrire, en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux premières orbites [variables (4) du n^o 11], et l’on aura ainsi

$\Phi _{0}+\mu \Phi _{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

On pourra l’écrire également en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux nouvelles orbites (orbites de C par rapport à A et de B par rapport à E) ; on aura alors

$\Phi '_{0}+\mu \Phi '_{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

$\Phi '_{0}$ sera formé avec les éléments des deux nouvelles orbites comme $\Phi _{0}$ avec les éléments correspondants des deux anciennes, mais $\Phi '_{1}$ ne sera pas formé comme $\Phi _{1}.$

On devra avoir alors, ainsi que nous l’avons vu au n^o 81,

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} _{1}]+[\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

et de même

$[\Phi '_{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0\,;$

comme $\Phi '_{0}$ est formée comme $\Phi _{0},$ je puis supprimer l’accent et écrire

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

d’où

(1)

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}]+[\Phi '_{1}-\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0.$

Nous avons vu que, s’il existe une intégrale uniforme et si, après avoir développé $\mathrm {F} _{1}$ on forme les expressions (14) du n^o 84, il doit y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.

Mais, en raisonnant sur l’équation (1) comme nous l’avons fait sur l’équation (3) du n^o 81, on arriverait à un résultat analogue. Développons $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ et formons à l’aide de ce développement les expressions (14) ; s’il existe une intégrale uniforme, il devra y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.

Si donc on pouvait établir que ces relations n’existent pas, on aurait démontré qu’il ne peut exister non plus d’intégrale uniforme. Comme le développement de $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ est incomparablement plus facile que celui de $\mathrm {F} _{1},$ il semble que ce procédé doit simplifier beaucoup notre tâche.

Mais il est tellement artificiel, qu’a priori on conçoit des doutes sur son efficacité et qu’on se demande s’il n’est pas illusoire. Il l’est en effet, car les expressions (14) formées à l’aide de $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ sont nulles ou indéterminées.

Supposons que l’on développe $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ sous la forme suivante

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.$

Les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ seront fonctions de $\beta \mathrm {L} ,$ $\beta '\mathrm {L'} ,$ et des autres éléments osculateurs ($l$ et $l'$ exceptés). Donnons à $\mathrm {L}$ et à $\mathrm {L} '$ des valeurs telles que

$m_{1}\,n+m_{2}\,n'=0$

(en appelant $n$ et $n'$ les moyens mouvements).

Je dis que, pour ces valeurs de $\mathrm {L}$ et de $\mathrm {L} ',$ le coefficient $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ s’annulera.

Pour cela je vais me servir du lemme suivant.

Soit

(2)

$x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}$

un système de variables conjuguées deux à deux ; soit

(3)

$x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{n}\,;\;\;y'_{1},\,y'_{2},\,\ldots ,\,y'_{n}$

un autre système de variables conjuguées. Supposons que ces deux systèmes soient liés par des relations telles que l’on puisse passer de l’un à l’autre sans altérer la forme canonique des équations. On devra avoir alors, d’après le n^o 5,

(4)

${\textstyle \sum }\left(dx_{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta x_{i}\right)={\textstyle \sum }\left(dx'_{i}\,\delta y'_{i}-dy'_{i}\,\delta x'_{i}\right).$

Supposons que les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$ dépendent d’un certain paramètre $\mu$ et soient développables par rapport aux puissances de $\mu \,;$ que, pour $\mu =0,$ $x'_{i}$ et $y'_{i}$ se réduisent à $x_{i}$ et à $y_{i}.$

On aura alors

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x'_{i}&=x_{i}+\mu \xi _{i}+\ldots ,\\y'_{i}&=y_{i}+\mu \eta _{i}+\ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ étant des fonctions des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Alors l’expression

${\textstyle \sum }(\xi _{i}\,dy_{i}-\eta _{i}\,dx_{i})=d\mathrm {S}$

sera une différentielle exacte. C’est là une conséquence nécessaire de l’identité (4), qui entraîne évidemment la suivante

${\textstyle \sum }(d\xi _{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta \xi _{i}+dx_{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta x_{i})=0.$

Considérons maintenant les équations canoniques

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},$

où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})+\ldots .$

Changeons de variables et prenons les variables (3) comme nouvelles variables, il viendra

$\mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})+\mu \mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})+\ldots .$

Si nous remplaçons les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$ par leurs valeurs (5), il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \,{\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dy_{i}}}\eta _{i}\right)\\&\;\;+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\[1.0ex]\mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ,\\\end{aligned}}$

d’où, en identifiant les deux développements,

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i}),\\\mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})&+\sum \left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{d\mathrm {y_{i}} }}\,\eta _{i}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on observe que $\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})$ et que

$\xi _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad \eta _{i}=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},$

on pourra écrire

(6)

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}=[\mathrm {F} _{0},\,\mathrm {S} ].$

Supposons que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende que de deux variables $x_{1}$ et $x_{2}$ et que $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2}$ soient périodiques de période $2\pi$ par rapport à $y_{1}$ et $y_{2}.$ C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons traités jusqu’ici.

Supposons de même que $\mathrm {S}$ soit périodique en $y_{1}$ et $y_{2}$ et soit

$\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})},$

$\mathrm {A}$ dépendant de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{3},\,y_{4},\,\ldots ,\,y_{n}.$

Supposons qu’on veuille développer $\mathrm {F} '_{1},$ et $\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}$ sous la même forme, et soit

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})}.$

L’équation (6) montre que

$\mathrm {B} ={\sqrt {-1}}\,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right).$

Si donc on donne à $x_{1}$ et à $x_{2}$ des valeurs telles que

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

on aura également

$\mathrm {B=0.}$

Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.

Soient

(7)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta '\,;\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux orbites osculatrices anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.

Soient

(8)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta _{1}\mathrm {L} _{1},&\beta _{1}\mathrm {G} _{1},&\beta _{1}\Theta _{1},&\beta '_{1}\mathrm {L} '_{1},&\beta '_{1}\mathrm {G} '_{1},&\beta '_{1}\Theta '_{1}\,;\\l_{1},&g_{1},&\theta _{1},&l'_{1},&g'_{1},&\theta '_{1}\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux nouvelles orbites (B par rapport à E, C par rapport à A).

Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront des variables (7) et de $\mu \,;$ elles seront développables suivant les puissances de $\mu \,;$ elles se réduiront aux variables (7) pour $\mu =0.$

Nous nous trouverons donc dans les conditions où le résultat précédent est applicable et nous devons conclure que, si l’on pose

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m'_{1}l')},$

$\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ s’annule pour

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.$

Ce résultat peut se vérifier directement sans difficulté. Reportons-nous en effet aux expressions données par M. Tisserand dans sa Mécanique céleste (t. I, p. 312).

Le résultat qu’il s’agit de vérifier, traduit dans les notations de M. Tisserand, peut s’énoncer ainsi (je rappelle que M. Tisserand désigne par $\sigma$ le cosinus de l’angle des deux rayons vecteurs).

Si l’on pose

$\sigma \left({\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {r'}{r^{2}}}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n,n'}e^{{\sqrt {-1}}(n\zeta +n'\zeta ')},$

$\mathrm {B} _{n,n'}$ s’annule pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0\,;$

et, en effet, en se reportant aux expressions de la page que je viens de citer, on trouve

$\mathrm {B} _{n,n'}=\left({\frac {n'a}{n\,a'^{2}}}-{\frac {n\,a'}{n'a^{2}}}\right)\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ dépendant seulement des excentricités, des inclinaisons, des longitudes des périhélies et des nœuds ; cette expression s’annulera donc pour

${\frac {n^{2}}{a^{3}}}={\frac {n'^{2}}{a'^{3}}},$

et par conséquent pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0.$
C.Q.F.D.

J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions analogues.

Principes de la méthode de M. Darboux.

93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui doivent nous servir de point de départ.

1^o Soit une série

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

admettant pour rayon de convergence $r.$

On aura, quand $n$ croîtra indéfiniment

${\begin{array}{ll}\lim a_{n}\rho ^{n}=0&\;\mathrm {si} \;\rho <r,\\\lim a_{n}\rho ^{n}=\infty &\;\mathrm {si} \;\rho >r.\\\end{array}}$

2^o Imaginons maintenant que la fonction

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

demeure finie sur la circonférence de rayon $r$ ainsi que ses $p$ premières dérivées ; le produit $n^{p+1}a_{n}r^{n}$ ne croîtra pas au delà de toute limite quand $n$ augmente.

3^o Si l’on a

$\varphi (x)=(1-\alpha x)^{k}={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

on aura approximativement

(1)

$a_{n}={\frac {n^{1-k}\alpha ^{n}}{\Gamma (-k)}}\,;$

je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra vers 1, quand $n$ croîtra indéfiniment.

4^o Supposons maintenant que la fonction $\varphi (x)$ ait sur la circonférence de rayon $r$ deux points singuliers $x=\alpha$ et $x=\beta \,;$ que dans le voisinage du point $x=\alpha$ nous ayons

$\varphi (x)=\mathrm {A} _{1}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{1}}+\mathrm {A} _{2}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{2}}+\ldots +\mathrm {A} _{h}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{h}}+\psi (x)$

et dans le voisinage du point $\beta$

$\varphi (x)=\mathrm {B} _{1}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{1}}+\mathrm {B} _{2}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{2}}+\ldots +\mathrm {B} _{k}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{k}}+\psi _{1}(x)$

$\psi (x)$ et $\psi _{1}(x)$ restant finis ainsi que leurs $p$ premières dérivées. Il viendra alors, pour $n=\infty ,$

$\lim n^{p+1}r^{n}\left[a_{n}-\sum \mathrm {A} _{i}{\frac {n^{1-\gamma _{i}}}{\alpha ^{\gamma _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\gamma _{i})}}-\sum \mathrm {B} _{i}{\frac {n^{1-\delta _{i}}}{\alpha ^{\delta _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\delta _{i})}}\right]=0,$

d’où l’on déduit la valeur approximative de $a_{n}.$

5^o Si l’on a

$\varphi (x)=\log(1-x),$

on aura

$a_{n}=-{\frac {1}{n}}\,;$

si

$\varphi (x)=\log(1-x)(1-x)^{k},$

nous aurons approximativement

$a_{n}={\frac {-n^{1-k}\log {n}}{\Gamma (-k)}}\cdot$

Cette dernière formule n’est applicable que si $k$ n’est pas entier positif ; dans ce cas, on aurait

$a_{n}={\frac {(-1)^{k+1}\,k!}{n(n-1)-(n-k)}}\cdot$

6^o Soit

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}x^{-n}\,;$

une série contenant des puissances positives et négatives est convergente pourvu que

$|x|<\mathrm {R} \quad |x|>r$

Soient $\alpha$ et $\beta ,$ deux points singuliers de la fonction $\varphi (x)$ situés sur la circonférence $|x|=\mathrm {R} \,;$ soient $\gamma$ et $\delta$ deux points singuliers de $\varphi (x)$ sur la circonférence $|x|=r.$ Supposons que $\varphi (x)$ n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.

Soient

$\psi (x)={\textstyle \sum }b_{n}x^{n},\quad \psi _{1}(x)={\textstyle \sum }c_{n}x^{n}$

deux séries convergentes pour

$|x|<\mathrm {R} .$

Soient

${\begin{aligned}\psi _{2}(x)&={\textstyle \sum }b_{-n}x^{-n},&\psi _{3}(x)&={\textstyle \sum }c_{-n}x^{-n}\end{aligned}}$

deux séries convergentes pour

$|x|>{r}.$

Si les différences $\varphi -\psi ,$ $\varphi -\psi _{1},$ $\varphi -\psi _{2},$ $\varphi -\psi _{3}$ sont finies ainsi que leurs $p$ premières dérivées, la première dans le voisinage du point $x=\alpha ,$ la seconde dans le domaine du point $x=\beta ,$ la troisième dans celui du point $x=\gamma ,$ la quatrième quand $x$ est voisin de $\delta ,$ on aura

$\left.{\begin{aligned}\lim n^{p+1}\mathrm {R} ^{n}(a_{n}-b_{n}-c_{n})&=0\\\lim n^{p+1}{r}^{n}(a_{-n}-b_{-n}-c_{-n})&=0\\\end{aligned}}\right\}\;(\mathrm {pour} \;n=\infty ).$

Les valeurs approximatives des coefficients $a_{n}$ dépendent donc uniquement des singularités que présente la fonction $\varphi (x)$ sur les circonférences qui limitent la convergence.

Extension aux fonctions de plusieurs variables.

94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.

Il s’agit de développer une certaine fonction $\mathrm {F} _{1}^{0}$ des deux anomalies moyennes $l$ et $l'$ sous la forme suivante

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,;$

On a donc

$4\pi ^{2}\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}^{0}e^{-{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,dl\,dl'.$

Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ quand, le rapport ${\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}$ étant donné et fini, les deux nombres $m_{1}$ et $m_{2}$ sont très grands ou plus généralement quand on a

$m_{1}=an+b,\quad m_{2}=cn+d,$

$a,\,b,\,c,\,d$ étant des entiers finis et $n$ un entier très grand ; $a$ et $c$ sont premiers entre eux.

Si je dis alors qu’on a approximativement

$\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\varphi (n),\quad (m_{1}=an+b,\;m_{2}=cn+d),$

cette égalité signifiera que le rapport

${\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{\varphi (n)}}$

tend vers l’unité quand $n$ croît indéfiniment et que $a,$ $b,$ $c,$ $d$ restent finis.

Le problème à résoudre étant ainsi défini, j’emploierai les notations suivantes.

Posons

${\begin{aligned}e^{{\sqrt {-1}}l}&=t^{c},&e^{{\sqrt {-1}}l'}&=t^{-a}z^{\frac {1}{c}},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{m_{1}c-m_{2}a}z^{\frac {m_{2}}{c}}.$

Si nous posons alors, pour abréger,

$\mathrm {F} (z,\,t)=\mathrm {F} _{1}^{0}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},$

il viendra

$\mathrm {F} (z,\,t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{\alpha }z^{\frac {m_{2}-d}{c}},$

en faisant, pour abréger,

$\alpha =m_{1}c-m_{2}a+ad-bc-1.$

Soit maintenant

$\Phi (z)={\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt,$

l’intégrale étant prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1$ Nous aurons

$\Phi (z)=\sum {\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{2i\pi }}z^{\frac {m_{2}-d}{c}}\int t^{\alpha }\,dt.$

Toutes les intégrales sont nulles, sauf celles pour lesquelles $\alpha =-1$ et qui sont égales à $2i\pi .$

Si $\alpha =-1,$ on aura

${\begin{aligned}m_{1}&=an+b,&m_{2}&=cn+d,&{\frac {m_{2}-d}{c}}&=n.\end{aligned}}$

Il vient alors

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}z^{n}.$

Si donc on développe $\Phi (z)$ sous la forme

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }\,a_{-n}z^{-n},$

le coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ ne sera autre chose que $a_{n}$ si $m_{1}=an+b,$ $m_{2}=cn+d.$

Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée de $a_{n}$ pour $n$ très grand et par conséquent à étudier les singularités de la fonction $\Phi (z).$

95.La fonction $\Phi (z)$ est définie comme une intégrale prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1.$ On peut remplacer cette circonférence par un contour $\mathrm {C}$ quelconque, à une condition toutefois.

Regardons un instant $z$ comme une constante et $\mathrm {F} (z,t)$ comme une fonction de $t.$ Cette fonction admettra un certain nombre de points singuliers.

Il faut qu’entre la circonférence $|t|=1$ et le contour $\mathrm {C}$ il n’y ait aucun de ces points singuliers.

Faisons maintenant varier $z$ d’une manière continue ; ces points singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même temps, on déforme le contour $\mathrm {C}$ d’une façon continue, et de telle sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction $\Phi (z)$ restera holomorphe.

La fonction $\Phi (z)$ ne peut donc cesser d’être continue que s’il devient impossible de déformer le contour $\mathrm {C}$ de façon qu’il ne passe pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons que, pour une certaine valeur de $z,$ nous ayons deux points singuliers $\alpha$ et $\beta ,$ l’un extérieur, l’autre intérieur au contour $\mathrm {C.}$ Si, en faisant varier $z$ d’une manière continue, l’un d’eux, $\alpha$ par exemple, vient sur le contour $\mathrm {C} ,$ nous pourrons déformer $\mathrm {C} ,$ en le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de façon que ce point $\alpha$ ne puisse jamais atteindre ce contour. Ainsi $\alpha$ restera toujours extérieur à $\mathrm {C}$ et $\beta$ intérieur à $\mathrm {C} .$ Mais supposons maintenant que $\alpha$ et $\beta$ se rapprochent indéfiniment l’un de l’autre ; le contour $\mathrm {C} ,$ pris pour ainsi dire entre deux feux, ne pourra plus fuir devant ces deux points mobiles et la fonction $\Phi (z)$ ne sera plus holomorphe.

Par conséquent, pour obtenir tous les points singuliers de $\Phi (z),$ il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,t)$ considérés comme fonction de $t$ se confondent en un seul.

La série

$\Phi (z)={\textstyle \sum }a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n}$

sera convergente dans une région limitée par deux circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r,$

ces deux circonférences iront passer par un ou plusieurs des points singuliers que je viens de définir.

Mais, si l’on veut savoir quels sont ceux de ces points singuliers qui sont sur ces circonférences et qui définissent par conséquent les limites de convergence de notre série, une discussion plus approfondie est nécessaire.

Tous les points singuliers ne conviennent pas, en effet, à la question, et cela pour plusieurs raisons.

En premier lieu, la fonction $\mathrm {F} (z,t)$ n’est pas uniforme ; si deux points singuliers $\alpha$ et $\beta$ de cette fonction $\mathrm {F}$ considérée comme fonction de $t$ viennent à se confondre pour une certaine valeur de $z,$ il faut, pour que cette valeur soit un véritable point singulier de $\Phi (z)$ que $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à une même détermination de $\mathrm {F}$ et de plus que cette détermination soit encore la même que celle qui figure dans l’intégrale

${\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} \,dt,$

laquelle prise le long de $\mathrm {C}$ définit la fonction $\Phi .$

Il faut, en outre, qu’avant de se confondre en un seul, ces deux points $\alpha$ et $\beta$ ne soient pas d’un même côté du contour $\mathrm {C} .$

Soit $\mathrm {H}$ un chemin tracé dans le plan des $z$ et allant d’un point $z_{0}$ de module 1 à des points singuliers $z_{1}$ définis plus haut. Supposons qu’on suive ce chemin de $z_{0}$ en $z_{1}$ et qu’on étudie les variations de $\Phi (z)$ en prenant pour valeur initiale

$\Phi (z_{0})={\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z_{0}^{-n}$

Bien que la fonction $\Phi (z)$ puisse ne pas être et ne soit pas en général uniforme, la détermination particulière de $\Phi (z)$ que nous avons en vue est ainsi entièrement définie, puisque nous nous donnons la valeur initiale et le chemin parcouru.

Il s’agit alors de savoir si le point $z_{1}$ est bien un point singulier pour cette détermination particulière de $\Phi (z).$

La fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ n’étant pas uniforme, il faut faire varier $t$ non pas sur un plan, mais sur une surface de Riemann $\mathrm {S}$ possédant autant de feuillets que la fonction $\mathrm {F}$ possède de déterminations (ce nombre peut être infini).

Quand $z$ variera en suivant le chemin $\mathrm {H} ,$ les points singuliers se déplaceront et la surface de Riemann $\mathrm {S}$ se déformera.

C’est sur cette surface de Riemann qu’il faut supposer le contour $\mathrm {C}$ tracé.

Ce contour se réduira pour $z=z_{0}$ au cercle $|t|=1$ tracé sur un des feuillets de $\mathrm {S} \,;$ quand la surface $\mathrm {S}$ se déformera, on devra déformer également le contour $\mathrm {C} ,$ de telle sorte qu’il ne s’y trouve jamais de point singulier. Une discussion spéciale, souvent délicate, fera voir alors si, pour une valeur de $z$ très voisine de $z_{1},$ les deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ qui se confondent pour $z=z_{1}$ sont de part et d’autre du contour $\mathrm {C} ,$ ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que le point $z=z_{1}$ soit un point singulier pour la détermination particulière de $\Phi (z)$ que nous envisageons.

Comment reconnaître maintenant si le point $z_{1}$ se trouve sur une des circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r$

qui limitent la convergence de la série,

${\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n},$

et si, par conséquent, il est un de ceux dont dépend la valeur approchée que nous cherchons ?

Traçons le chemin $\mathrm {H}$ allant du point $z_{0}$ de module 1 au point $z_{1}$ de façon que le module de $z$ varie constamment dans le même sens. Si le point $z_{1}$ appartient à l’une de nos deux circonférences, il devra être un point singulier pour la détermination de $\Phi (z)$ définie par le chemin $\mathrm {H}$ et on le reconnaîtra parle moyen que je viens d’expliquer.

Si un point $z_{1}$ satisfait à cette condition, je dirai que ce point singulier est admissible.

Cela posé, parmi tous les points singuliers admissibles de module plus grand que 1, ceux-là seront sur la circonférence $|z|=\mathrm {R}$ dont le module sera le plus petit.

De même, parmi tous les points singuliers admissibles de module plus petit que 1, ceux-là seront sur la circonférence $|z|=r$ dont le module sera le plus grand.

J’ajouterai, en terminant, que la fonction $\Phi (z)$ possède plusieurs déterminations qui s’échangent entre elles, soit quand deux des déterminations de $\mathrm {F} (z,\,t)$ s’échangent entre elles, soit quand deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ tournent autour l’un de l’autre.

Je vais d’abord chercher à déterminer les points singuliers de $\Phi (z)\,;$ je déterminerai ensuite par une discussion spéciale quels sont ceux qui conviennent à la question.

Recherche des points singuliers.

96.Bornons-nous au cas où le mouvement se passe dans un plan.

Soient $u$ et $u'$ les anomalies excentriques, $\sin \varphi$ et $\sin \varphi '$ les excentricités, $\mathrm {L} ^{2}$ et $\mathrm {L'} ^{2}$ les grands axes, $\varpi$ et $\varpi '$ les longitudes des périhélies.

On aura

${\begin{aligned}l&=u-\sin \varphi \sin u,&l'&=u'-\sin \varphi '\sin u'.\end{aligned}}$

Les coordonnées de la première planète, par rapport au grand axe de son ellipse et à une perpendiculaire menée par le foyer, seront

$\mathrm {L} ^{2}(\cos u-\sin \varphi )\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {L} ^{2}\cos \varphi \sin u\,;$

ce seront donc les parties réelle et imaginaire de $\xi \mathrm {L} ^{2}.$ Si l’on pose

$\xi =\cos u-\sin \varphi +{\sqrt {-1}}\cos \varphi \sin u.$

Si l’on pose de même

$\eta =\cos u'-\sin \varphi '+{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',$

les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de

$\eta \mathrm {L'} ^{2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )}.$

Soit

$\beta =\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},$

soit

${\begin{aligned}\xi _{0}&=\cos u\,-\,\sin \varphi \,-\,{\sqrt {-1}}\cos \varphi \,\sin u,\\\eta _{0}&=\cos u'-\sin \varphi '-{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',\\\beta _{0}&=\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{-{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {L} ^{2}\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {(\xi -\beta \eta )(\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0})}}}\cdot$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ sont les mêmes que ceux de $\mathrm {F} _{1}^{0}\,;$ car $\mathrm {F} (z,\,t)$ ne diffère de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ que par une puissance de $t$ et le point $l=0,$ qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est déjà un point singulier de $\mathrm {F} _{1}^{0}.$

Les points singuliers de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ seront ceux pour lesquels $u$ et $u',$ et par conséquent $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ cesseront d’être fonctions uniformes de $l$ et de $l'$ et, par conséquent, de $z$ et de $t\,;$ et, en outre, ceux pour lesquels

$\xi =\beta \eta \quad \mathrm {ou} \quad \xi _{0}=\beta _{0}\eta _{0}.$

Je vais poser

${\begin{aligned}x&=e^{iu},&y&=e^{iu'}\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\cos u&={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right),&\cos u'&={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right),\\i\sin u&={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&i\sin u'&={\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Nous en déduirons

${\begin{aligned}l&=u-{\frac {\sin \varphi }{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&l'&=u'-{\frac {\sin \varphi '}{2i}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}e^{il}&=x\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&e^{il'}&=y\,e^{{\frac {\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}.\end{aligned}}$

Nous aurons ensuite

${\begin{aligned}t&=e^{\frac {il}{c}}=x^{\frac {1}{c}}e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&z&=e^{icl'}t^{ca}=y^{c}x^{a}e^{\omega },\end{aligned}}$

en posant, pour abréger,

$\omega ={\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)+{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)\cdot$

Nous aurons, d’autre part,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\sin \varphi +{\frac {\cos \varphi }{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),\\\eta &={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right)-\sin \varphi '+{\frac {\cos \varphi '}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ nous sont donnés par

${\begin{aligned}{\frac {dl}{du}}&=1-\sin \varphi \,\cos u\,\,=0,\\{\frac {dl'}{du'}}&=1-\sin \varphi '\cos u'=0\,;\\\mathrm {H} \;\,&=\xi \;\,-\beta \;\,\eta \;\,=0,\\\mathrm {H} _{0}&=\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons transcrire ces équations en nous servant des variables $x$ et $y\,;$ elles deviennent alors algébriques ; les deux premières s’écrivent, en effet,

(1)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=0,$

(2)

$2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)=0,$

et les deux dernières, en chassant les dénominateurs,

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta \;x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '+\cos \varphi '(y^{2}-1)],\\\end{array}}\right.$

(4)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta _{0}x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '-\cos \varphi '(y^{2}-1)].\\\end{array}}\right.$

Pour trouver les points singuliers de $\Phi (z),$ il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ se confondent. Mais cela peut arriver de deux manières :

Ou bien un point singulier défini par l’une des quatre équations ${\frac {dl}{du}}=0,$ ${\frac {dl'}{du'}}=0,$ $\mathrm {H} =0,$ $\mathrm {H} _{0}=0$ va se confondre avec un point singulier défini par une autre de ces quatre équations : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de première espèce de $\Phi (z)\,;$

Ou bien deux des points singuliers définis par une de ces quatre équations se confondront en un seul : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de deuxième espèce de $\Phi (z).$

Pour avoir les points de première espèce, il suffit de combiner deux à deux les quatre équations (1), (2), (3), (4). On voit que ces points ne dépendent en aucune façon des entiers $a$ et $c.$

Pour avoir les points de deuxième espèce, voici comment il faut faite :

Soit $f(z,\,t)=0$ une des quatre équations (1), (2), (3), (4) ; pour exprimer que deux des points singuliers définis par cette équation se confondent, il me suffit d’écrire

${\begin{aligned}f&=0,&{\frac {df}{dt}}&=0\end{aligned}}$

Si nous changeons de variables en exprimant $z$ et $t$ et, par conséquent, $f$ en fonctions de $l$ et de $l',$ il vient

${\frac {df}{dt}}={\frac {-i}{t}}\left(c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}\right),$

de sorte que l’équation ${\frac {df}{dt}}=0$ peut être remplacée par

$c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}=0$

ou bien encore

${\frac {c}{1-\sin \varphi \cos u}}\,{\frac {df}{du}}-{\frac {q}{1-\sin \varphi '\cos u'}}\,{\frac {df}{du'}}=0.$

Les premiers membres des équations (1) et (2) ne dépendent que de $u$ ou bien que de $u'\,:$ nous pouvons les laisser de côté ; mais nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les deux équations

$\mathrm {H} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$

ou encore par les deux équations

$\mathrm {H} _{0}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0.$

Nous avons

$\mathrm {H} =\cos u-\sin \varphi +i\cos \varphi \sin u-\beta (\cos u'-\sin \varphi '+i\cos \varphi '\sin u').$

L’équation ${\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$ peut donc être remplacée par la suivante :

${\frac {c(-\sin u+i\cos \varphi \sin u)}{1-\sin \varphi \cos u}}+{\frac {a\beta (-\sin u'+i\cos \varphi '\sin u')}{1-\sin \varphi '\cos u'}}=0$

ou

(5)

$\quad {\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta [\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

De même l’équation ${\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0$ peut être remplacée par la suivante

(6)

$\;{\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta _{0}[-\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport des entiers $a$ et $c.$

Tous les points singuliers de $\Phi (z)$ sont donc donnés par des équations algébriques.

Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose $\varphi '=0.$ Il est permis alors de supposer $\varpi '=\varpi$ et par conséquent $\beta _{0}=\beta .$

L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à $y=0$ et il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent

(3)

$\;(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)\;=2\beta xy,$

(4)

$y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]=2\beta x.\;\;\;$

Les équations (5) et (6) deviennent

(5)

${\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{a\beta }y=0,$

(6)

${\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}-{\frac {a\beta }{y}}=0.$

La combinaison des équations (3) et (5) donne

(7)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad +{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0,\end{array}}\right.$

et celle des équations (4) et (6) donne

(8)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad -{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0.\end{array}}\right.$

Les équations (7) et (8) nous donnent les valeurs de $x$ correspondant aux points de la deuxième espèce ; l’équation (1) nous donne les valeurs de $x$ correspondant à certains points de première espèce. Il nous reste à parler des points de première espèce définis par les équations (3) et (4), puisque l’équation (2) devient illusoire.

Les équations (3) et (4) s’écrivent

$\xi -\beta \eta =\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.$

Si elles sont satisfaites à la fois, on aura

$\xi \xi _{0}=\beta \beta _{0}\eta \eta _{0}=\beta ^{2}.$

Or

$\xi \xi _{0}=(1-\sin \varphi \cos u)^{2}.$

Il reste donc

$1-\sin \varphi \cos u=\pm \beta ,$

de sorte que les valeurs de $x$ correspondant à cette sorte de points singuliers seront données par les deux équations

(9)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=\;\;\;2\beta x,$

(10)

$2x-\sin \varphi (x^{2}-1)=-2\beta x.$

Les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers nous seront données par les cinq équations (1), (7), (8), (9) et (10). Observons que les équations (1), (9) et (10) sont réciproques et que les équations (7) et (8) se changent l’une dans l’autre quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}}\cdot$ Si $x$ est un point singulier, il en sera donc de même de ${\frac {1}{x}}\cdot$ C’est ce qu’il était aisé de prévoir.

Si l’on fait $\varphi =0,$ nos équations se réduisent à $x=0\,;$ donc, quand $\varphi$ tend vers 0, les racines des équations (1), (7) et (8) tendent vers 0 ou vers l’infini.

Si l’on pose

$\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\tau ,$

les équations (3), (4), (5), (6), (7) et (8) deviennent

(3)

$y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},$

(4)

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})x}{(1-x\tau )^{2}}},$

(5)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+a\beta y=0,$

(6)

${\frac {c(1+x\tau )}{x-\tau }}+{\frac {a\beta }{y}}=0,$

(7)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+{\frac {a(x-\tau )^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0,$

(8)

${\frac {c(1+\tau x)}{x-\tau }}+{\frac {a(1-\tau x)^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0.$

L’équation (1) nous donne d’autre part comme solution

$x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot$

Lorsque $\varphi$ et $\tau$ sont très petits, nous avons vu que les valeurs de $x$ sont très petites, ou très grandes, et, comme les équations ne changent pas quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}},$ nous devons conclure qu’il y en a précisément autant de très petites que de très grandes.

Nos équations et les valeurs correspondantes de $x$ se simplifient un peu quand, supposant $\varphi$ très petit, on néglige le carré de cette quantité.

Les équations (1), (9) et (10) nous donnent alors respectivement pour $x$ trois valeurs très petites, qui sont approximativement

(11)

${\begin{aligned}x&={\frac {\varphi }{2}},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1-\beta }},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1+\beta }},\end{aligned}}$

et trois valeurs très grandes, qui sont approximativement

(11 bis)

${\begin{aligned}x&={\frac {2}{\varphi }},&x&={\frac {2(1-\beta )}{\varphi }},&x&={\frac {2(1+\beta )}{\varphi }}\cdot \end{aligned}}$

L’équation (7) nous donne deux valeurs très petites, définies approximativement par l’équation

(12)

$4x^{2}(a+c)+2x\varphi (c-2a)+a\varphi ^{2}=0,$

et une valeur très grande ; qui est approximativement

(13 bis)

$x={\frac {2}{\varphi }}\,{\frac {a+c}{a}}\cdot$

L’équation (8) nous donne deux valeurs très grandes, définies par

(12 bis)

$4(a+c)+2x\varphi (c-2a)+ax^{2}\varphi ^{2}=0,$

et une très petite, qui s’écrit

(13)

$x={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {a}{a+c}}\cdot$

Il est aisé de vérifier que les équations (12) et (12 bis) ont leurs racines réelles quand ${\frac {c}{a}}<0.$ Si donc $c$ et $a$ sont de signe contraire et que $\varphi$ soit assez petit, les équations (7) et (8) auront leurs racines réelles.

Les valeurs de $x$ correspondant aux divers points singuliers étant ainsi définies, il reste à déterminer les valeurs de $y$ et de $z.$

J’observe d’abord que, si l’on a un point singulier correspondant à certaines valeurs de $x,$ de $y$ et de $z,$ les valeurs inverses ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}},$ ${\frac {1}{z}}$ correspondront à un autre point singulier, que j’appellerai le réciproque du premier. On constate, en effet, que notre système d’équations ne change pas quand on change $x,$ $y,$ $z$ en ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}}$ et ${\frac {1}{z}},$ et cela était d’ailleurs aisé à prévoir.

Les valeurs de $x$ et de $y$ seront définies par les couples d’équations suivants :

(1),(3); (1),(4); (7),(3); (8),(4); (9),(3) ou (4); (10), (3) ou (4).

Ces équations nous montrent que, si $\varphi$ est très petit et peut être regardé comme un infiniment petit du premier ordre, $y$ est très petit si $x$ est très petit et très grand si $x$ est très grand.

Nous avons, d’autre part,

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.$

Si $\varphi$ est infiniment petit du premier ordre, $x$ est infiniment petit (ou infiniment grand) du même ordre ; il en est de même de $y\,;$ l’exposant ${\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)$ est alors fini ; par conséquent $z$ est un infiniment petit (ou infiniment grand) d’ordre $a+c.$

Je distinguerai parmi les points singuliers celui qui est défini par $x=\tau$ [solution de l’équation (1)] et par l’équation (3).

Pour ce point, en effet, $y$ et $z$ sont nuls.

De même, pour le point défini par $x={\frac {1}{\tau }}$ [autre solution de (1)] et par l’équation (4), et qui est le réciproque du premier, les valeurs de $y$ et de $z$ sont infinies.

Nous n’aurons donc pas à nous occuper de ces deux points singuliers dans la discussion qui va suivre.

Discussion.

97.Voici la question qu’il me reste à résoudre.

J’ai en tout 14 points singuliers, 7 qui correspondent à des valeurs très petites de $x$ et de $y,$ 7 qui correspondent à des valeurs très grandes de $x$ et de $y.$

À un autre point de vue, 7 de ces points correspondent à des valeurs très petites de $z,$ et 7 à des valeurs très grandes de $z.$ Il s’agit de savoir quel est, parmi les 7 premiers, celui pour lequel le module de $z$ est le plus grand (cela nous apprendra en même temps, puisque les valeurs de $z$ sont réciproques deux à deux comme le sont celles de $x$ et de $y,$ quel est, parmi les 7 derniers, celui pour lequel le module de $z$ est le plus petit).

Si les points singuliers correspondants sont admissibles, ce seront eux qui définiront les circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\quad |z|=r\qquad \left(\mathrm {nous\;avons\;ici\,} \;\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\right)\cdot$

Pour ne pas prolonger la discussion par l’examen d’un trop grand nombre de cas différents, je vais faire quelques hypothèses particulières. Je supposerai

$\beta >1.$

Je supposerai également que le rapport ${\frac {c}{a}}$ est voisin du rapport des moyens mouvements changé de signe, c’est-à-dire que l’on a à peu près (en désignant par $n$ et $n'$ ces moyens mouvements)

$an+cn'=0.$

Les termes les plus intéressants sont, en effet, ceux qui correspondent à de petits diviseurs.

On a alors à peu près

${\frac {c}{a}}=-(\beta )^{\frac {3}{2}},$

ce qui montre que $c$ et $a$ sont de signe contraire ; je supposerai par exemple $c$ positif et $a$ négatif ; comme $\beta$ est plus grand que 1, $c+a$ sera positif.

Grâce à ces hypothèses, toutes les valeurs de $x$ sont réelles. Cela rend possible une représentation géométrique simple qui permettra de suivre plus facilement la discussion.

Dans la figure ci-contre, nous représentons chaque point singulier par un point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont $x$ et $y.$

J’ai fait deux figures (fig. 1 et fig. 2), la première représentant le quadrant du plan compris entre l’axe des $x$ positifs et celui des $y$ positifs ; et la seconde représentant le quadrant compris entre l’axe des $x$ négatifs et l’axe des $y$ négatifs.

Fig. 1.

Fig. 2.

Les droites AS et A′S′ ont respectivement pour équation

$x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot$

Les deux branches de courbe C′B′DBP et QFAE′R′ ont pour équation

$y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},$

c’est-à-dire l’équation (3) ; les deux branches de courbe

B′D′BCOREL  et  R′F′Q′

ont pour équation

(4)

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})x}{(1-\tau x)^{2}}}\cdot$

Les divers points singuliers sont représentés sur la figure par les points suivants

A....................	Équations (1) et (3) $(x=\tau ),$
B....................	(9), (3) et (4) [2e éq. (11)],
C....................	(8) et (4) [(13)],
D....................	(7) et (3) [(12) racine négative],
E....................	(1) et (4) $(x=\tau ),$
F....................	(7) et (3) [(12) racine positive],
R....................	(10), (3) et (4) [3e éq. (11)] ;

et par les points A′, B′, C′, D′, E′, F′ et R′, respectivement réciproques des premiers.

Il est aisé de vérifier que, si $\varphi$ est assez petit, ces points sont bien disposés dans l’ordre de la figure, c’est-à-dire que les abscisses des points

C′B′D′DBCFREE′R′F′

vont en croissant.

Comparons les valeurs de $z$ correspondant à ces divers points. On voit d’abord que, pour les points de la fig. (1) (où $x>0,$ $y>0),$ $z$ est réel positif et que, pour les points de fig. (2) (où $x<0,$ $y<0$), l’argument de $z$ est égal à $(c+a)\pi ,$ celui de $z^{\frac {1}{c}}$ égal à $\left(1+{\frac {a}{c}}\right)\pi .$ Reste à voir comment varie le module de $z.$ Si l’on suit l’une des courbes (3) ou (4), les maxima et minima de $|z|$ correspondent aux points de contact de ces courbes (3) et (4) avec les courbes

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=\mathrm {const.} ,$

c’est-à-dire aux points C′, D, F, A pour la courbe (3), et aux points D′, C, F′ pour la courbe (4).

Voici comment varie $|z|$ :

1^o Quand on suit la courbe (3)

En O′................	$|z|=0$		En Q ................	$|z|=0$
De O′ en C′ ..........	croît		De Q en F ............	croît
En C′................	max.		En F ................	max.
De C′ en D ...........	décroît		De F en A ............	décroît
En D ................	min.		En A ................	$|z|=0$
De D en P ...........	croît		De A en O′...........	croît
En P ................	$|z|=\infty$		En O′................	$|z|=\infty$

2^o Quand on suit la courbe (4)

En P′................	$|z|=0$		En O ................	$|z|=0$
De P′ en D′ ..........	croît		De O en L ou en A′ ....	croît
En D′................	max.		En A′................	$|z|=\infty$
De D′ en C ..........	décroît		De A′ en F′ ..........	décroît
En C ................	min.		En F′ ................	$|z|=0$
De C en O′ ..........	croît		De F′ en Q′ ..........	croît
En O ................	$|z|=\infty$		En Q′ ................	$|z|=\infty$

On en conclut que le $z$ du point B est plus grand que celui du point C, et celui du point E que celui du point R.

De même, le $z$ du point D est plus petit que celui du point B, et le $z$ de R est plus petit que celui de F.

Nous avons vu que, la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ n’étant pas uniforme, il fallait tracer les contours d’intégration sur la surface de Riemann correspondante dont le nombre des feuillets est infini. Pour éviter la considération de cette surface de Riemann, on peut changer de variables. Observons, en effet, que le carré de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ est fonction uniforme de $x$ et de $y$ et, par conséquent, que le carré de $\mathrm {F} (z,\,t)$ est fonction uniforme de $x^{\frac {1}{c}}$ et de $z^{\frac {1}{c}}.$

Si donc nous convenons de donner à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur déterminée et que nous considérions momentanément comme constante, à un point du plan des $x^{\frac {1}{c}}$ correspondront seulement deux valeurs de $\mathrm {F} (z,\,t)$ égales et de signe contraire. Nous pourrons alors avec avantage tracer nos contours d’intégration sur le plan des $x^{\frac {1}{c}}.$

Donnons d’abord à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur initiale $\zeta _{0}$ dont le module soit égal à 1. Nous sommes convenus, en définissant $\Phi (z),$ que le contour d’intégration le long duquel doit être prise l’intégrale

$\Phi (z)=\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt$

doit se réduire au cercle $|t|=1$ pour les valeurs de $z$ de module 1.

Pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{0},$ nous devrons donc prendre pour contour dans le plan des $t$ le cercle $|t|=1$ et dans le plan des $x^{\frac {1}{c}}$ le cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1.$

Voici donc la règle pour reconnaître si un point singulier de $\Phi (z)$ est admissible. Soit $\alpha _{i}$ la valeur de $x^{\frac {1}{c}}$ et $\zeta _{i}$ la valeur de $z^{\frac {1}{c}}$ qui correspondent à ce point singulier. Nous supposerons, par exemple, que le module de $\zeta _{i}$ est plus petit que 1 ; aussi bien savons-nous que, parmi les points singuliers de $\Phi (z),$ la moitié ont leur module plus petit que 1. Nous allons faire varier $z^{\frac {1}{c}}$ de la manière suivante : son argument devra rester constant et constamment égal à celui de $\zeta _{i}$ et son module ira en croissant de $|\zeta _{i}|$ à 1. En d’autres termes, le point $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i}$ décrira un segment de droite $\Delta$ limité aux points $\zeta _{i}$ et ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}\cdot$

Pour chacune des valeurs de $z^{\frac {1}{c}},$ $\mathrm {F} (z,\,t),$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}},$ présente un certain nombre de points singuliers ; pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i},$ deux de ces points singuliers se confondent en un seul et avec $\alpha _{i}.$ Quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta ,$ ces deux points singuliers varient d’une manière continue et parfaitement définie. Quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteint la valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}},$ il peut arriver ou bien que les positions finales de ces deux points singuliers sont toutes deux intérieures, ou toutes deux extérieures au cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1,$ et alors le point considéré est inadmissible, ou bien que ces positions finales sont l’une extérieure et l’autre intérieure à ce cercle et alors le point considéré est admissible.

La fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ est multipliée par une racine $c$^ième de l’unité quand $x^{\frac {1}{c}}$ est multiplié par une racine $c$^ième de l’unité. Supposons donc que, pour une valeur donnée de $z^{\frac {1}{c}},$ le point le point

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma$

soit un point singulier de $\mathrm {F} (z,\,t)$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}}.$ Il en sera de même des points

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2i\pi }{c}},\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {4i\pi }{c}},\quad \ldots ,\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2(c-1)i\pi }{c}}.$

Nous avons vu que les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers de $\Phi (z)$ sont toutes réelles, et ont par conséquent pour argument 0 ou $\pi .$ Les valeurs correspondantes de $x^{\frac {1}{c}}$ auront donc pour argument ${\frac {k\pi }{c}},$ $k$ étant entier. Soit donc $\alpha _{i}$ une de ces valeurs, je pourrai écrire

$\alpha _{i}=\alpha '_{i}e^{\frac {2ki\pi }{c}},$

$\alpha '_{i}$ ayant pour argument 0 ou ${\frac {\pi }{c}}$ et $k$ étant entier.

Si $\alpha _{i}$ correspond à un point singulier de $\Phi (z)$ [c’est-à-dire à deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ confondus], il en sera de même de $\alpha '_{i}.$

Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le point $\alpha _{i}$ soit admissible, c’est que le point $\alpha '_{i}.$ le soit.

En effet, appliquons la règle : quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers, primitivement confondus en $\alpha _{i},$ auront pour positions finales $\gamma$ et $\gamma '\,;$ de même les deux points singuliers primitivement confondus en $\alpha '_{i}$ auront pour positions finales

$\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\quad \mathrm {et} \quad \gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}.$

Il suffit évidemment, pour démontrer le théorème énoncé, d’observer que

$|\gamma |=\left|\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|,\quad |\gamma '|=\left|\gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|.$

Il suffira donc d’examiner les points singuliers qui correspondent à des valeurs réelles et positives de $x^{\frac {1}{c}},$ c’est-à-dire aux points F, E, R et A de la figure, et les points singuliers qui correspondent à la valeur ${\frac {\pi }{c}}$ de l’argument de $x^{\frac {1}{c}},$ c’est-à-dire aux points D, B et C de la figure.

Le point E est inadmissible ; en effet, la valeur correspondante de $\alpha _{i}$ est

$\alpha _{i}=\tau ^{\frac {1}{c}},$

quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers primitivement confondus en $\alpha _{i}$ resteront réels. À chacun d’eux correspondra une valeur de $x$ et une de $y,$ et par conséquent un point représentatif sur notre figure.

L’un de ces points représentatifs décrira alors la droite ES et l’autre la courbe EL.

L’un des points singuliers restera donc fixe et égal à $\tau ^{\frac {1}{c}}$ et aura par conséquent son module toujours plus petit que 1.

La valeur initiale $\zeta _{i}$ de $z^{\frac {1}{c}}$ est réelle et positive : la droite $\Delta$ sera donc une portion de l’axe des quantités réelles et la valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}$ sera égale à 1.

Le second point singulier (qui correspond au point représentatif qui a suivi la courbe EL) a une valeur réelle et positive que j’appelle $\gamma \,;$ il s’agit de savoir si $\gamma$ est plus petit ou plus grand que 1.

Lorsque ce point représentatif décrira la courbe EL depuis E jusqu’en L, le module de $z$ ira en croissant depuis une certaine valeur très petite jusqu’à l’infini ; il passera donc une fois et une seule par la valeur 1. Il s’agit de montrer que la valeur correspondante $\gamma ^{2}$ de $x$ est plus petite que 1. Pour cela, il suffit de faire voir que, quand l’abscisse $x$ de ce point représentatif atteint la valeur 1, $|z|$ est plus grand que 1.

Or on trouve que, pour $x=1,$

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=y^{c}.$

Il reste donc à démontrer que $y>1.$

Or il est clair que

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1-\tau ^{2})}}>1.$

Donc $\gamma <1.$

Donc le point E est inadmissible. C.Q.F.D.

Le point F est inadmissible ; ici encore la droite $\Delta$ sera une portion de l’axe des quantités réelles puisque $\zeta _{i}$ sera réel. Les points singuliers primitivement confondus en $\alpha _{i}$ ne resteront pas réels, mais ils resteront imaginaires conjugués ; ils ont donc même module ; il est donc impossible que quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteindra sa valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}=1,$