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Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.07

La bibliothèque libre.
Gauthier-Villars et Fils (1p. 335-382).

CHAPITRE VII.

SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.


104.Soient

(1)

équations différentielles simultanées. Les sont des fonctions des et de

Par rapport aux elles peuvent être développées en séries de puissances.

Par rapport à elles sont périodiques de période

Soit

une solution particulière périodique de ces équations. Les seront des fonctions de périodiques de période Posons

Il viendra
(2)

Les seront des fonctions des et de périodiques par rapport à et développées suivant les puissances des mais il n’y aura plus de termes indépendants des

Si les sont très petits et qu’on néglige leurs carrés, les équations se réduisent à

(3)

qui sont les équations aux variations des équations (1).

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. On connaît la forme de leur solution générale, on trouve

les sont des constantes d’intégration, les des constantes fixes qu’on appelle exposants caractéristiques, les des fonctions périodiques de

Si alors nous posons

les équations (2) deviendront

(2′)

où les sont des fonctions de et des de même forme que les

Nous pourrons d’ailleurs écrire

(2′′)

représente l’ensemble des termes de qui sont de degré par rapport aux

Quant aux équations (3), elles deviennent

(3′)

Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (2) et (2').

Je dis que nous devrons trouver :

fonction développée suivant les puissances de dont les coefficients sont des fonctions périodiques de

Nous pouvons écrire alors

(4′)

représentant l’ensemble des termes de qui sont de degré par rapport aux

Nous remplacerons les par leurs valeurs dans et nous trouverons

désignant l’ensemble des termes qui sont de degré par rapport aux

Nous trouverons alors

Ces équations permettront de calculer successivement par récurrence

En effet, ne dépend que des Si nous supposons que ces quantités aient été préalablement calculées, nous pourrons écrire sous la forme suivante

les étant des entiers positifs dont la somme est et une fonction périodique.

On peut écrire encore

étant un coefficient généralement imaginaire et un entier positif ou négatif. Nous écrirons, pour abréger,

et il viendra

Or on peut satisfaire à cette équation en faisant

Il y aurait exception dans le cas où l’on aurait

auquel cas il s’introduirait dans les formules des termes en Nous réserverons ce cas, qui ne se présente pas en général.

Convergence des séries.

105.Nous devons maintenant traiter la question de la convergence de ces séries. La seule difficulté provient d’ailleurs, comme on va le voir, des diviseurs

(5)

Remplaçons les équations (2′) par les suivantes

(2′′)

Définissons On voit sans peine que est de la forme suivante

est une constante quelconque, les sont des entiers positifs dont la somme est est un entier positif ou négatif. Nous prendrons alors

Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les séries trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques dont dépendent les convergent absolument et uniformément ; or cela aura toujours lieu parce que ces fonctions périodiques sont analytiques. Quant à c’est une constante positive.

On peut tirer des équations (2′′) les sous la forme suivante

(4′′)

Plusieurs termes pourront d’ailleurs correspondre aux mêmes exposants et est un entier positif. Si l’on compare avec les séries tirées de (2′) qui s’écrivent

voici ce qu’on observe : 1o est réel positif et plus grand que 2o désigne le produit des diviseurs (5) dont le nombre est au plus égal à

Si donc la série (4′′) converge et si aucun des diviseurs (5) n’est plus petit que la série (4′) convergera également. Voici donc comment on peut énoncer la condition de convergence.

La série converge si l’expression

ne peut pas devenir plus petite que toute quantité donnée pour des valeurs entières et positives des et entières (positives ou négatives) de c’est-à-dire si aucun des deux polygones convexes qui enveloppe, le premier les et le second les et ne contient l’origine ; ou si toutes les quantités ont leurs parties réelles de même signe et si aucune d’elles n’a sa partie réelle nulle.

Que ferons-nous alors s’il n’en est pas ainsi ?

Supposons, par exemple, que des quantités aient leur partie réelle positive, et que aient leur partie réelle négative ou nulle. Il arrivera alors que la série (4′) restera convergente si on y annule les constantes qui correspondent à un dont la partie réelle est négative ou nulle, de sorte que ces séries ne nous donneront plus la solution générale des équations proposées, mais une solution contenant seulement constantes arbitraires. Cette solution est représentée par une série (4′) développée suivant les puissances de

comme, par hypothèse, les parties réelles de

sont positives, les exponentielles

tendent vers 0 quand tend vers Il en est donc de même des quantités ce qui veut dire que, quand tend vers la solution représentée par la série (4′) se rapproche asymptotiquement de la solution périodique considérée. Nous l’appellerons pour cette raison solution asymptotique.

Nous obtiendrons un second système de solutions asymptotiques en annulant dans la série (4′) tous les coefficients qui correspondent à des exposants dont la partie réelle soit positive ou nulle. Cette série est alors développée suivant les puissances de

les exposants ayant leur partie réelle négative. Si alors on fait tendre vers la solution correspondante se rapprochera asymptotiquement de la solution périodique considérée.

Si l’on suppose que les équations données rentrent dans les équations de la Dynamique, nous avons vu que est pair et que les sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Alors, si d’entre eux ont leur partie réelle positive, auront leur partie réelle négative et auront leur partie réelle nulle. En prenant d’abord les qui ont leur partie réelle positive, on obtiendra une solution particulière contenant constantes arbitraires ; on en obtiendra une seconde en prenant les qui ont leur partie réelle négative.

Dans le cas où aucun des n’a sa partie réelle nulle et, en particulier, si tous les sont réels, on a d’ailleurs

106.Supposons que dans les équations (1) les dépendent d’un paramètre et que les fonctions soient développables suivant les puissances de ce paramètre.

Imaginons que, pour les exposants caractéristiques soient tous distincts de telle façon que ces exposants, étant définis par une équation [analogue à celle du no 74, mais telle que l’équation ait toutes ses racines distinctes] soient eux-mêmes développables suivant les puissances de en vertu des no 30 et 31.

Supposons enfin que l’on ait, ainsi que nous venons de le dire, annulé toutes les constantes qui correspondent à un dont la partie réelle est négative ou nulle.

Les séries (4′) qui définissent les quantités dépendent alors de Je me propose d’établir que ces séries peuvent être développées, non seulement suivant les puissances des mais encore suivant les puissances de

Considérons l’inverse de l’un des diviseurs (5)

Je dis que cette expression peut être développée suivant les puissances de

Soient les exposants caractéristiques dont la partie réelle est positive pour et pour les petites valeurs de et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d’eux est développable suivant les puissances de Soit la valeur de pour nous pourrons prendre assez petit pour que diffère aussi peu que nous voudrons de quand Soit alors une quantité positive plus petite que la plus petite des parties réelles des quantités nous pourrons prendre assez petit pour que, quand les exposants aient leur partie réelle plus grande que

La partie réelle de sera alors plus grande que (si ), de sorte qu’on aura

(6)

Ainsi, si la fonction

reste uniforme, continue, finie et plus petite en valeur absolue que

Nous en conclurons d’après un théorème bien connu que cette fonction est développable suivant les puissances de et que les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux du développement de

Il est à remarquer que les nombres et sont indépendants des entiers et

Il y aurait exception dans le cas où serait nul. La partie réelle du diviseur (5) pourrait alors être plus petite que et même être négative. Elle est égale, en effet, à la partie réelle de qui est positive, moins la partie réelle de qui est également positive et qui peut être plus grande que celle de si est nul.

Supposons que la partie réelle de reste plus petite qu’un certain nombre tant que Alors, si

(7)

la partie réelle de (5) est certainement plus grande que il ne peut donc y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5), pour lesquels l’inégalité (7) n’a pas lieu.

Supposons maintenant que la partie imaginaire des quantités reste constamment plus petite en valeur absolue qu’un certain nombre positif si l’on a alors

(8)

la partie imaginaire de (5) et, par conséquent, son module seront encore plus grands que de telle sorte qu’il ne peut y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune des inégalités (7) et (8) n’a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont à aucune de ces inégalités sont en nombre fini.

D’après une hypothèse que nous avons faite plus haut, aucun d’eux ne s’annule pour les valeurs de que nous considérons ; nous pouvons donc prendre et assez petits pour que la valeur absolue de l’un quelconque d’entre eux reste plus grande que quand reste plus petit que

Alors l’inverse d’un diviseur (5) quelconque est développable suivant les puissances de et les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux de

Nous avons écrit plus haut

D’après nos hypothèses, peut être développé suivant les puissances de de telle sorte que je puis poser

Reprenons maintenant les équations (2′′), en y faisant

Les seconds membres des équations (2′′) seront alors des séries convergentes ordonnées selon les puissances de de

On en tirera les sous la forme des séries (4′′), convergentes et ordonnées suivant les puissances de

Des équations (2′), nous tirerions d’autre part les sous la forme des séries (4′) ordonnées suivant les puissances de Chacun des termes de (4′) est plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4′′), et comme les séries (4′′) convergent, il en sera de même des séries (4′).

Solutions asymptotiques des équations de la Dynamique.

107.Reprenons les équations (1) du no 13

(1)

et les hypothèses faites à leur sujet dans ce numéro.

Nous avons vu dans le no 42 que ces équations admettent des solutions périodiques et nous pouvons en conclure que, pourvu que l’un des exposants caractéristiques correspondants soit réel, ces équations admettront aussi des solutions asymptotiques.

À la fin du numéro précédent, nous avons envisagé le cas où, dans les équations (1) du no 104, les seconds membres sont développables suivant les puissances de mais où les exposants caractéristiques restent distincts les uns des autres pour

Dans le cas des équations qui vont maintenant nous occuper, c’est-à-dire des équations (1) du no 13, les seconds membres sont encore développables selon les puissances de mais tous les exposants caractéristiques sont nuls pour

Il en résulte un grand nombre de différences importantes.

En premier lieu, les exposants caractéristiques ne sont pas développables suivant les puissances de mais suivant celles de (cf. no 74). De même les fonctions que j’ai appelées au début du [[Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.07#par104|no 104]] (et qui, dans le cas particulier des équations de la Dynamique qui nous occupe ici, ne sont autres que les fonctions et du no 79), sont développables, non suivant les puissances de mais suivant les puissances de

Alors, dans les équations (2′) du no 104

le second membre est développé suivant les puissances des et de (et non pas de ).

On en tirera les sous la forme des séries obtenues au no 104

et et seront développés suivant les puissances de

Un certain nombre de questions se posent alors naturellement :

1o Nous savons que et sont développables suivant les puissances de en est-il de même du quotient

2o S’il en est ainsi, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de des de et de qui satisfont formellement aux équations proposées ; ces séries sont-elles convergentes ?

3o Si elles ne sont pas convergentes, quel parti peut-on en tirer pour le calcul des solutions asymptotiques ?

Développement de ces solutions selon les puissances de

108.Je me propose de démontrer que l’on peut développer suivant les puissances de et que, par conséquent, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de des de et de qui satisfont formellement aux équations (1). On pourrait en douter ; en effet, est le produit d’un certain nombre de diviseurs (5) du no 104. Tous ces diviseurs sont développables suivant les puissances de mais quelques-uns d’entre eux, ceux pour lesquels est nul, s’annulent avec Il peut donc arriver que s’annule avec et contienne en facteur une certaine puissance de Si alors ne contenait pas cette même puissance en facteur, le quotient se développerait encore selon les puissances croissantes de mais le développement commencerait par des puissances négatives.

Je dis qu’il n’en est pas ainsi et que le développement de ne contient que des puissances positives de

Voyons par quel mécanisme ces puissances négatives de disparaissent. Posons

et considérons les et les comme des fonctions des variables et

Il importe, avant d’aller plus loin, de faire la remarque suivante : parmi les exposants caractéristiques deux sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous ne conserverons que au plus de ces exposants, en convenant de regarder comme nuls les coefficients et les variables qui correspondent aux exposants rejetés. Nous ne conserverons que ceux de ces exposants dont la partie réelle est positive.

Cela posé, les équations (1) deviennent

(2)
(3)

Cherchons, en partant de ces équations, à développer les et les suivant les puissances croissantes de et des de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de

Nous pouvons écrire

car nous avons vu au no 74 comment on peut développer les exposants caractéristiques suivant les puissances de

Écrivons, d’autre part,

les et les étant des fonctions de et des périodiques par rapport à et développables suivant les puissances des

Si, dans les équations (2) et (3), nous substituons ces valeurs à la place de des et des les deux membres de ces équations seront développés suivant les puissances de

Égalons dans les deux membres des équations (2) les coefficients de et dans les deux membres des équations (3) les coefficients de nous obtiendrons les équations suivantes

(4)

et ne dépendent que de

Convenons, comme nous l’avons fait plus haut, de représenter par la valeur moyenne de si est une fonction périodique de

Des équations (4), nous pourrons alors déduire les suivantes

(5)

Supposons maintenant qu’un calcul préalable nous ait fait connaître

Les équations (5) vont nous permettre de calculer et et par conséquent et Les équations (4) nous permettront ensuite de déterminer

et

de sorte que ce procédé nous fournira par récurrence tous les coefficients des développements de et de

La seule difficulté est la détermination de et par les équations (5).

Les fonctions et sont développées suivant les puissances croissantes des et nous allons calculer les divers termes de ces développements en commençant par les termes du degré le moins élevé.

Pour cela nous allons reprendre les notations du no 79, c’est-à-dire que nous allons poser

(pour les valeurs nulles des ).

Si alors nous appelons et les coefficients de

dans et nous aurons pour déterminer ces coefficients les équations suivantes

(6)

Dans ces équations (6), et sont des quantités connues, parce qu’elles ne dépendent que de

ou des termes de et dont le degré par rapport aux est plus petit que

De plus, nous avons posé, pour abréger,

Nous avons donc pour le calcul des coefficients et un système d’équations linéaires. Il ne pourrait y avoir de difficulté que si le déterminant de ces équations était nul ; or ce déterminant est égal à

Il ne pourrait s’annuler que pour

c’est-à-dire pour

On ne pourrait donc rencontrer de difficulté que dans le calcul des termes du degré 0 ou 1 par rapport aux

Mais nous n’avons pas à revenir sur le calcul de ces termes ; en effet, nous avons appris à calculer les termes indépendants des dans le no 44 et les coefficients de

dans le no 79.

Les termes indépendants des ne sont en effet autre chose que les séries (2) du no 44 et les coefficients de

ne sont autre chose que les séries et du no 79.

Il me reste à dire un mot des premières approximations.

Nous donnerons aux des valeurs constantes qui ne sont autres que celles que nous avons désignées ainsi au no 44.

Nous aurons alors les équations suivantes :

(7)

Dans qui ne dépend que des ces quantités doivent être remplacées par Dans les sont remplacés par et les par devient alors une fonction périodique de dont la période est Nous désignerons par la valeur moyenne de cette fonction périodique est alors une fonction périodique et de période par rapport aux

Les deux premières équations (7) montrent que les et les ne dépendent que des En égalant dans les deux dernières équations (7) les valeurs moyennes des deux membres, il vient

(8)

Ces équations (8) doivent servir à déterminer les et les en fonctions des Peut-on satisfaire à ces équations en substituant à la place des et des des séries développées suivant les puissances de

Pour nous en rendre compte envisageons les équations différentielles suivantes

(9)

Ces équations différentielles où les fonctions inconnues sont les et les admettront une solution périodique

étant la quantité désignée ainsi au no 44.

Les exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont précisément les quantités Parmi ces quantités nous sommes convenus de ne conserver que celles dont la partie réelle est positive. Les équations (9) admettent un système de solutions asymptotiques et il est aisé de voir que ces solutions se présentent sous la forme de séries développées suivant les puissances des Ces séries satisferont alors aux équations (8). Ces équations peuvent donc être résolues.

Les et les étant ainsi déterminés, le reste du calcul ne présente plus, comme nous l’avons vu, aucune difficulté. Il existe donc des séries ordonnées suivant les puissances de des et de et qui satisfont formellement aux équations (1).

Cela prouve que le développement de ne débute jamais par une puissance négative de L’analyse des no 110 et 111 nous en fournira une nouvelle démonstration.

Divergence des séries du no 108.

109.Malheureusement les séries ainsi obtenues ne sont pas convergentes.

Soit en effet

Si n’est pas nul, cette expression est développable suivant les puissances de mais le rayon de convergence de la série ainsi obtenue tend vers 0 quand tend vers 0.

Si donc on développe les diverses quantités suivant les puissances de on pourra toujours, parmi ces quantités, en trouver une infinité pour lesquelles le rayon de convergence du développement est aussi petit qu’on le veut.

On pourrait encore espérer, quelque invraisemblable que cela puisse paraître, qu’il n’en est pas de même pour les développements des diverses quantités mais la démonstration que j’ai donnée dans le tome XIII des Acta mathematica (p. 222) et sur laquelle je reviendrai dans la suite montre qu’il n’est pas ainsi en général ; il faut donc renoncer à ce faible espoir et conclure que les séries que nous venons de former sont divergentes.

Mais, quoiqu’elles soient divergentes, ne peut-on en tirer quelque parti ?

Considérons d’abord la série suivante qui est plus simple que celles que nous avons en vue

Cette série converge uniformément quand reste positif et que reste plus petit en valeur absolue qu’un nombre positif plus petit que 1, mais d’ailleurs quelconque. De même la série

converge uniformément.

Si maintenant l’on cherche à développer suivant les puissances de la série à laquelle on est conduit

(10)

ne converge pas. Si, dans cette série, on néglige tous les termes où l’exposant de est supérieur à on obtient une certaine fonction

Il est aisé de voir que l’expression

tend vers 0 quand tend vers 0 par valeurs positives, de sorte que la série (10) représente asymptotiquement la fonction pour les petites valeurs de de la même manière que la série de Stirling représente asymptotiquement la fonction eulérienne pour les grandes valeurs de

Je me propose d’établir, dans les numéros suivants, que les séries divergentes que nous avons appris à former dans le no 108 sont tout à fait analogues à la série (10).

Considérons en effet l’une des séries

(10′)

les raisonnements du no 105 ont montré que ces séries sont uniformément convergentes pourvu que les restent inférieurs en valeur absolue à certaines limites et que reste réel.

Si l’on développe suivant les puissances de les séries (10′) sont divergentes, ainsi que nous l’avons dit. Supposons que l’on néglige dans le développement les termes où l’exposant de est supérieur à on obtiendra une certaine fonction

qui sera développable suivant les puissances des de et qui sera un polynôme de degré en

On verra plus loin que l’expression

tend vers 0 quand tend vers 0 par valeurs positives, et cela quelque grand que soit

En effet, si l’on désigne par l’ensemble des termes du développement de où l’exposant de est au plus égal à on a

et je montrerai que la série du second membre est uniformément convergente et que tous les termes tendent vers 0 quand tend vers 0.

On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans le no 108 représentent les solutions asymptotiques pour les petites valeurs de de la même manière que la série de Stirling représente les fonctions eulériennes.

Démonstration nouvelle de la proposition du no 108.

110.Pour démontrer ce fait, je vais faire subir aux équations une transformation qui me fournira en même temps une nouvelle démonstration du théorème qui a fait l’objet du no 108. Supposons 2 degrés de liberté seulement pour fixer les idées ; alors nous ne conserverons plus qu’une seule des quantités et nous pourrons écrire nos équations sous la forme suivante

en supprimant les indices de et de devenus inutiles.

Nous savons que est développable suivant les puissances impaires de et, par conséquent, suivant les puissances de inversement est développable suivant les puissances de nous pouvons remplacer par ce développement, de sorte que sera développée suivant les puissances de Pour se réduit à qui ne dépend que de et de

Soit

la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au no 79,

nos équations deviendront

(11)

et sont développés suivantes les puissances des des et de et les coefficients sont des fonctions périodiques de

Pour et par conséquent s’annulent ; donc est divisible par et je puis poser

représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux et aux et représentant l’ensemble des termes de degré supérieur.

De même, quand est nul, et par conséquent ne dépendent plus que des et non des

Je puis donc poser

représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux et pendant que représentent l’ensemble des termes de degré supérieur au premier. Je suppose en outre que et ne dépendent que de et de

Posons

deviendra divisible par et par de sorte que je pourrai poser

et que nos équations deviendront

(12)

Considérons les équations

(13)

Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues et Elles ne diffèrent pas des équations (2) du no 79, sinon parce que et y sont remplacés par et D’après ce que nous avons aux nos 69 et 74, l’équation qui définit les exposants caractéristiques admet quatre racines, l’une égale à l’autre à et les deux autres à 0.

À la première racine, c’est-à-dire à la racine correspondra une solution des équations (2) du no 79, que nous avons appris à former dans ce numéro et que nous avons écrite ainsi

Je rappelle que est nul et, par conséquent, que est divisible par

À la seconde racine correspondra de même une autre solution des équations (2) et nous l’écrirons

Enfin aux deux racines 0, correspondront (cf. no 80) deux solutions des équations (2) que nous écrirons

sont des fonctions périodiques de comme et

D’après ce que nous avons vu aux nos 79 et 80, et seront comme divisibles par

Posons alors

(13 bis)

Les fonctions ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des fonctions du no 105. Les équations (12) deviennent alors

(14)

sont des fonctions développées suivant les puissances de et dont tous les termes sont du deuxième degré au moins par rapport aux et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de De plus, les doivent être des fonctions périodiques de et les termes du premier degré en dans et doivent se réduire à 0, 0 et 0.

Ces équations (14) sont analogues aux équations (2′′) du no 105.

On trouve en effet

ce qui nous donne quatre équations d’où l’on peut tirer les quatre fonctions puisque les les les et les sont des fonctions connues. Je dis qu’on trouvera

les étant des fonctions périodiques de développables suivant les puissances croissantes et positives de Il suffit en effet, pour cela, que le déterminant

ne soit pas divisible par c’est-à-dire ne s’annule pas pour

Pour se réduit à la quantité que nous avons appelée au no 79 et à et ces quantités satisfont aux équations (9) et (10) de ce no 79.

Ici nous développons non suivant les puissances de mais suivant celles de de sorte que la quantité que nous avions [13]appelée dans le no 79 est égale à 1. Les équations (9) du no 79 vont donc s’écrire

et elles devront être satisfaites pour

En ce qui concerne la seconde solution, l’exposant est égal à et, par conséquent, est égal à de sorte que ces équations deviennent

ce qui permet de supposer

étant divisible par s’annule pour En même temps, pour on a

Pour s’annule et on a

on trouve

Nous pouvons conclure de là que le déterminant se réduit pour à

On trouve d’ailleurs

Le déterminant des qui n’est autre chose que le hessien de ne s’annule pas en général, de sorte que ne peut s’annuler que si l’on a

mais, si l’on observe que

on en déduirait

ce qui ne peut avoir lieu.

Le déterminant n’est donc pas nul. On peut encore l’établir de la manière suivante. Considérons les équations suivantes

Ce sont des équations linéaires à coefficients constants. Elles admettent quatre solutions linéairement indépendantes, à savoir

Il va sans dire que, dans les et les il faut faire de telle sorte que ces quantités se réduisent à des constantes.

Ces quatre solutions étant linéairement indépendantes, leur déterminant pour ne doit pas s’annuler ; or ce déterminant est précisément Donc n’est pas nul.

C.Q.F.D.

On voit ainsi que les fonctions jouissent bien des propriétés énoncées.

111.L’analyse précédente s’étend immédiatement au cas où il y a plus de 2 degrés de liberté.

Si nous posons

les équations pourront s’écrire comme dans le numéro précédent

Les fonctions et jouissent des mêmes propriétés que dans le numéro précédent, c’est-à-dire qu’elles sont développables suivant les puissances des des et de et périodiques par rapport à De plus, et sont linéaires par rapport aux et aux et et ne contiennent que des termes du second degré au moins par rapport à ces variables.

Considérons ensuite les équations

elles admettront solutions linéairement indépendantes correspondant aux exposants caractéristiques qui ne sont pas nuls ; ces solutions pourront s’écrire

elles admettront en outre deux solutions dégénérescentes définies au no 80 et que j’écrirai

et

Les fonctions et sont périodiques en De plus est divisible par

Nous pouvons alors poser

et alors nous trouverons les équations

(14 bis)

Les fonctions sont définies par les équations du premier degré

Le déterminant de ces équations, c’est-à-dire le déterminant formé avec les et les ne s’annule pas pour On le démontrerait comme dans le numéro précédent ; la seconde démonstration en particulier peut être appliquée sans changement au cas qui nous occupe.

Nous en conclurons que les fonctions sont périodiques par rapport à et développables suivant les puissances croissantes et positives des et de

Cela posé, il est facile de démontrer la proposition du no 108.

Supposons en effet que des exposants caractéristiques aient leur partie réelle positive et cherchons à satisfaire aux équations (14 bis) en remplaçant les par des séries développées suivant les puissances de Soit donc

sont des entiers positifs, un entier positif ou négatif et les coefficients que j’écrirai aussi pour abréger sont des constantes qu’il s’agit de déterminer.

Si nous substituons ces valeurs des dans les il viendra

les coefficients ou seront des constantes qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients indéterminés Je dis que les et, par conséquent, les sont développables suivant les puissances croissantes de et que le développement ne contient pas de puissance négative.

En effet, les équations (14 bis) nous donnent

pour et

Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient de même que est de degré

il est aisé de voir que la quantité ne dépend que des coefficients de degré moindre, qui peuvent être supposés connus par un calcul préalable.

De même on peut démontrer par récurrence la proposition énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de si elle est vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle sera vraie de qui dépend seulement de ces coefficients de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction

est développable suivant les puissances positives de Or, cela est évident ; car, si n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible par Si est nul le dénominateur est divisible par mais non par mais il en est de même du numérateur.

La proposition du no 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.

Transformation des équations.

112.Revenons au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté et reprenons les équations (14) du no 110.

Soit une fonction qui, de même que et soit développée suivant les puissances de de et et qui soit telle que chacun de ses coefficients soit réel, positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient du terme correspondant dans et tous les termes de seront d’ailleurs, comme ceux des du second degré au moins par rapport aux

Observons que le nombre

(où est entier positif, négatif ou nul, et où est entier positif et au moins égal à 1) est toujours plus grand en valeur absolue que 1, quels que soient d’ailleurs n, p et Or les nombres qui joueront le rôle des diviseurs (5) du no 105 divisés par sont précisément de cette forme.

Formons alors les équations

(15)

qui sont analogues aux équations (2′′) du no 105.

Des équations (14), on peut tirer les sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de et de et qui sont analogues aux séries (4′) du no 104. Des équations (15), on peut tirer les sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des mêmes variables et analogues aux séries (4′′) du no 105. Chacun des termes de ces dernières séries est positif et plus grand en valeur absolue que le terme correspondant des premières séries[1] si donc elles convergent, il en est de même des séries tirées des équations (14).

Or il est aisé de voir que l’on peut trouver un nombre indépendant de tel que, si les séries tirées de (15) convergent.

Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances de et tirées de (14) convergent uniformément quelque petit que soit ainsi que je l’ai annoncé plus haut. Ce raisonnement est en tout point semblable à celui du no 105 ; la fonction joue le rôle de et celui de car tous les diviseurs (5) sont de la forme et par conséquent plus grands que en valeur absolue.

Nous possédons maintenant les sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de et de les coefficients sont des fonctions connues de Si l’on développe chacun de ces coefficients suivant les puissances de on obtiendra les développés suivant les puissances de Les séries ainsi obtenues sont divergentes, comme nous l’avons vu plus haut ; soient néanmoins

(16)

ces séries.

Posons

Posons

(17)

en égalant aux premiers termes de la série (16) plus un terme complémentaire

Si dans on remplace les par leurs développements (17), les peuvent se développer suivant les puissances de et on peut écrire

les étant indépendants de pendant que est développable suivant les puissances de

On aura alors les équations

(18)

et ensuite

(19)

Voici quelle est la forme de la fonction les quantités peuvent être regardées comme des fonctions connues de et de définies par les équations (18) et par l’équation (20) que j’écrirai plus loin, pendant que les restent les fonctions inconnues. Alors est une fonction développée suivant les puissances de de de et des De plus, tout terme du ième degré par rapport aux est au moins du degré par rapport à En effet, les et par conséquent les sont développables suivant les puissances des et, par conséquent, des et des Tout terme du ième degré par rapport aux sera donc divisible par dans et par dans

Soit ce que devient quand on annule et les on aura

(20)

Je puis ensuite, en posant

puis

mettre les équations (19) sous Ja forme

(21)

On voit alors que les ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins par rapport à et aux

En effet, les sont divisibles par et se réduisent à ou à 0 quand on y supprime les termes de degré supérieur au premier en Il en résulte d’abord que est divisible par D’autre part, le second membre de l’équation (17) ne contiendra que des termes du premier degré au moins par rapport à et Donc ne contient que des termes du deuxième degré par rapport à et aux Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui peuvent subsister dans et se réduisent respectivement à et 0.

D’ailleurs est divisible par donc les ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins.

C.Q.F.D.

Des équations (21) on peut tirer les sous la forme de séries développées suivant les puissances de et de En appliquant à ces équations le même raisonnement qu’aux équations (14), je vais démontrer que ces séries convergent quand et que la convergence reste uniforme quelque petit que soit

Il en sera de même pour les séries qui représentent

Il résultera de là qu’on peut assigner une limite supérieure indépendante de à à pourvu que

Je montrerai ensuite plus loin, aux nos 116 et 117, que cela a encore lieu pour toutes les valeurs positives de

Soit en effet une fonction développée suivant les puissances de des de et de et telle que l’on ait (pour )

Soit ce que devient quand on y remplace par

Envisageons les équations suivantes

(21 bis)

analogues aux équations (15). Il est clair que ces équations admettront une solution telle que soient développables suivant les puissances de de et de et s’annulent avec

Ces séries seront convergentes pourvu que ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai Comparons maintenant les équations (21) et les fonctions qui y satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions qui y satisfont.

Je me propose d’établir que t

(Je fais remarquer que ne figure pas parmi les arguments par rapport auxquels est prise cette inégalité.)

En effet, soit et l’ensemble des termes de et de qui sont de degré au plus en supposons que l’on ait établi que

Je vais faire voir que

J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.

Si l’on substitue dans et dans à la place des et des les développements de ces quantités suivant les puissances de et de ces fonctions et deviendront elles-mêmes développables suivant les puissances de et de

Désignons encore par et l’ensemble des termes de degré au plus en

Si alors on aura aussi

Soit alors

un terme de et

le terme correspondant de on aura

Soient alors

les termes correspondants de et de

Les équations (21) et (21 bis) nous donnent alors

Comme

on a
d’où
et par récurrence
C.Q.F.D.

Comme cette inégalité est prise par rapport aux arguments et elle peut être différentiée tant par rapport à que par rapport à de sorte que l’on a

Soit la valeur de pour si on aura pour les valeurs positives de

Mais est développable suivant les puissances de on peut donc lui assigner une limite supérieure indépendante de pour les petites valeurs de puisqu’il tend vers une limite finie quand tend vers o.

Il en est de même, en vertu des inégalités que nous venons d’établir de

On démontrerait de même qu’il en est encore ainsi des dérivées


C.Q.F.D.

Réduction à la forme canonique.

113.Observons que les équations (14) et de même les équations (21) peuvent se mettre sous la forme canonique.

En effet, si nous posons, comme au début du no 110,

{{SA|les équations canoniques du mouvement être divisibles par mais elles peuvent être d’ailleurs quelconques, puisque ne sont déterminés qu’à un

facteur constant près. Nous pourrons donc poser

Si l’on observe que, d’autre part,

On conclura que

désignant une expression homogène et linéaire tant par rapport aux que par rapport aux les coefficients de cette fonction bilinéaire sont d’ailleurs des fonctions périodiques de

Je dis que est une différentielle exacte et, en effet, les équations (14) nous donnent

est la différentielle exacte d’une fonction

et où

Je dis que est une différentielle exacte ; il suffit, pour s’en convaincre, d’observer que, dans cette expression, les termes du premier degré par rapport aux se réduisant à sont une différentielle exacte et qu’il doit en être de même de ceux dont le degré est supérieur à 1, puisque est une différentielle exacte et que ne contient que des termes du premier degré.

Nous pouvons donc poser

désignant l’ensemble des termes de qui sont de degré supérieur au deuxième par rapport aux et aux

Nous pouvons donc écrire

Si nous nous rappelons que les dépendent de non pas seulement directement, mais encore par l’intermédiaire de nous écrirons ces équations sous la forme

(14 bis)

auxquelles il faudrait adjoindre deux équations analogues que l’on déduirait des premières en changeant et en et

Ce sont là les équations (14) mises sous la forme canonique.

Il s’agit d’en faire autant pour les équations (21).

Si, dans on remplace les par leurs valeurs (17), cette fonction devient développable suivant les puissances croissantes de et des si ensuite nous désignons par l’ensemble des termes du degré au moins par rapport à nos équations deviennent

(21 bis)

avec deux autres équations analogues.

Ce sont là les équations (21) ramenées à la forme canonique.

Forme des fonctions

114.Considérons la fonction

et remplaçons-y par

(22)

et par

(22 bis)

Les lettres

(23)

ont la même signification que dans le no 108. La seule différence est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle de est ici égal à les quantités (23) sont donc des fonctions connues de et de Quant à et ce sont des termes complémentaires quelconques. Je me propose de rechercher à quelle condition est développable suivant les puissances de des et des

Posons pour abréger

La condition nécessaire et suffisante pour que

soit développable suivant les puissances croissantes des et des et, par conséquent, suivant celles de des et des sera évidemment que le point

ne soit pas un point singulier pour

Or et sont des constantes ; les sont des fonctions de définies par les équations (8) du no 108. Mais il arrivera, dans la plupart des applications, que, si l’on donne à et à les valeurs constantes qui correspondent à une solution périodique, restera holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux

Prenons, par exemple, le problème du no 9 et supposons que définissent la forme de l’ellipse décrite par la masse infiniment petite, pendant que définissent la position du périhélie de cette ellipse et celle de la masse sur son orbite.

Pour que cessât d’être holomorphe, il faudrait que cette masse infiniment petite rencontrât une des deux autres masses ; or, si l’ellipse ne coupe pas la circonférence décrite par la seconde masse, comme il arrivera dans presque toutes les applications, cette rencontre ne pourra jamais se produire quelles que soient les valeurs réelles attribuées à et à

Il en sera encore de même si nous prenons un plus grand nombre de degrés de liberté et si nous étudions le Problème des trois Corps dans toute sa généralité.

Alors les variables définissent la forme des ellipses et l’inclinaison mutuelle de leurs plans, les variables définissent la position des nœuds, des périhélies et des masses elles-mêmes. Il arrivera alors, dans la plupart des cas, que, si l’on donne aux variables les valeurs qui correspondent à une solution périodique et à l’hypothèse limite ces deux ellipses ne pourront se couper de quelque manière qu’on les tourne dans leur plan. La fonction ne pourra donc cesser d’être holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux

Nous sommes ainsi conduit à supposer que, pour est holomorphe pour toutes les valeurs réelles des Les cas où cela n’aurait pas lieu n’ont pas d’importance au point de vue des applications. C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous avons toujours faite jusqu’ici.

Si alors on remplace dans les et les par les expressions (22), peut se développer suivant les puissances de de et de et ce développement, dont les coefficients sont des fonctions de et de reste convergent pour toutes les valeurs de et de Les rayons de convergence tant par rapport à qu’aux et aux sont des fonctions continues de et de qui ne s’annulent pour aucune valeur réelle de ces variables.

Si l’on observe que les les les les les sont liés entre eux par les relations

et par les relations (13 bis), (17) et (22), on conclura que et, par conséquent, sont développables suivant les puissances de et des que les coefficients du développement et les rayons de convergence sont des fonctions continues de et de et que ces rayons de convergence ne s’annulent pour aucune valeur réelle de et de

De ce fait, et de ce que nous savons déjà au sujet des fonctions (qui ne sont autre chose que les dérivées de ), nous pouvons conclure ce qui suit :

On peut trouver deux nombres réels et positifs et indépendants de et de assez grands pour que l’on ait (en posant, pour abréger, )

pour toutes les valeurs réelles de et pour toutes les valeurs de comprises entre 0 et une limite supérieure quelconque Cela aura lieu quelque grand que soit mais les nombres et devront être choisis d’autant plus grands que sera lui-même plus grand.

Lemme fondamental.

115.Établissons maintenant le lemme suivant :

Soient deux fonctions de et qui soient développables suivant les puissances de et telles que l’on ait pour toutes les valeurs de et de que l’on a à considérer

Considérons les deux équations suivantes

(1)
et
(1 bis)

Considérons une solution particulière de chacune de ces deux équations, choisie de telle sorte que, pour ( étant une valeur positive quelconque de ), on ait

Je dis que, pour toutes les valeurs de plus grandes que on aura encore

(2)

Changeons de variables en posant

On aura alors, en représentant par des ronds les dérivées partielles prises par rapport aux variables et

Nos équations deviendront donc

si pour un certain système de valeurs des variables

l’inégalité (2) est satisfaite ; on aura également

de sorte que l’inégalité (2) sera encore satisfaite pour

puisque l’on aura

et, par conséquent,

Il suffit donc qu’elle le soit encore quand on a

pour qu’elle le soit quand on a

Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit et, par conséquent pour elles le seront donc encore, quel que soit et, par conséquent pour

C.Q. F. D.

On démontrerait absolument de la même manière un lemme un peu plus général :

Soient des fonctions de et développables suivant les puissances des et telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de et de

Envisageons les équations

(3)
et
(3 bis)

Supposons que l’on ait, quel que soit pour

cela aura lieu quel que soit pour

Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet des fonctions et

Supposons :

1o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à et de période

2o Que pour les petites valeurs de elles sont développables suivant les puissances croissantes de cela peut d’ailleurs ne pas avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de il suffit qu’il en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;

3o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances entières du paramètre et sont divisibles par on doit d’ailleurs avoir

4o Que si l’on appelle et ce que deviennent et quand on y annule tous les ces quantités et sont divisibles par

Si toutes ces hypothèses sont réalisées, les théories des numéros précédents nous font savoir qu’il existe des solutions particulières des équations (3) et (3 bis) de la forme suivante

(4)

les et les étant des fonctions de et de périodiques par rapport à et développables suivant les puissances croissantes de

Les équations (3) [ou (3 bis) qui sont de même forme] peuvent en effet se ramener à la forme des équations (2) du no 104.

Reprenons, en effet, ces équations (2) du no 104, elles s’écrivent

les étant développables suivant les puissances des et d’un paramètre très petit, sont de plus des fonctions de elles s’annulent avec les

Les dépendent de non seulement directement, mais par l’intermédiaire des exponentielles

Ici nous supposons que tous les coefficients sont nuls à l’exception de l’un d’entre eux ; nous n’aurons donc à nous occuper que d’une seule exponentielle Les dépendront alors de d’abord directement, puis par l’intermédiaire de Si donc nous représentons les dérivées partielles par des et les dérivées totales par des il viendra

et nos équations deviendront

(5)

La seule différence de forme entre les équations (3) et les équations (5), c’est alors que les seconds membres des équations (3) dépendent de et ne s’annulent pas pour

Mais il est aisé de faire disparaître cette différence de forme. Il suffit pour cela d’adjoindre aux équations (3) l’équation suivante

qui admet pour solution et de remplacer par dans les fonctions Alors ces fonctions ne contiennent plus et s’annulent pour

Nous pouvons donc appliquer aux équations (3) et (3 bis) les résultats du no 104 et conclure que ces équations admettent des solutions de la forme (4).

Le calcul des coefficients se fait très facilement par récurrence en appliquant les procédés du no 104.

Supposons donc que l’on trouve ainsi

et cela quel que soit

Nous en conclurons que

et, par conséquent, qu’on peut trouver une valeur de assez petite pour que l’on ait

pour toutes les valeurs réelles de et pour toutes les valeurs de plus petites que et plus grandes que 0.

On aura alors, en vertu du lemme démontré plus haut,

pour toutes les valeurs réelles de et pour toutes les valeurs positives de

Analogie des séries du no 108 avec celle de Stirling.

116.Appliquons le lemme précédent aux équations (21) que nous écrirons

(21)

D’après ce que nous avons vu à la fin du no 114, nous pouvons trouver deux nombres positifs et tels que, pour toutes les valeurs réelles de et pour toutes les valeurs de comprises entre 0 et (et cela restera vrai quelque grand que soit ), on ait

Quant à l’indice de il est égal à pour ou et à pour ou Posons alors

et comparons aux équations (21) les équations

(21 bis)

Parmi les solutions particulières des équations (21) et (21 bis), nous choisirons celles qui sont divisibles par (ce sont bien celles-là que nous avons appelées plus haut ).

Il est clair que nous pourrons toujours prendre assez grand pour que

Nous en conclurons alors que

pour

Cherchons maintenant à intégrer les équations (21 bis). J’observe d’abord que, ne dépendant pas de les n’en dépendront pas non plus et qu’on aura

Cette dernière équation admet une intégrale

développable suivant les puissances de et de et divisible par quand tend vers 0, tend manifestement vers l’intégrale de l’équation

Cette équation linéaire s’intègre très aisément, on trouve

De cette formule, je ne veux retenir qu’une chose, c’est que, si

et, par conséquent, et tendent vers une limite finie quand tend vers 0.

Il résulte de là que la série

représente la fonction asymptotiquement (c’est-à-dire à la façon de la série de Stirling) ou, en d’autres termes, que l’expression

tend vers 0 avec En effet, cette expression est égale à

et nous venons de voir que reste fini quand tend vers 0.

117.Mais ce n’est pas tout ; je dis que reste fini quand tend vers 0.

Nous avons en effet

et sont des fonctions de de de et des mais, d’après ce que nous venons de voir, nous pouvons assigner aux des limites supérieures ; nous pourrons donc en assigner également aux et aux Supposons, par exemple, que l’on ait

et étant deux nombres positifs.

D’autre part, nous savons qu’on peut assigner une limite à pour si est inférieur à la quantité que nous avons appelée à la fin du no 112.

Supposons, par exemple, que l’on ait

étant un nombre positif. Soit ensuite une fonction définie comme il suit

On aura manifestement

Or on voit sans peine que ne dépend que de et satisfait à l’équation

Donc est fini ; donc reste finie quand tend vers 0. Donc on a asymptotiquement (en entendant ce mot au même sens que plus haut)

On démontrerait de même que l’on a asymptotiquement

Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :

Les séries

définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte que l’on a asymptotiquement

De plus, si est un signe quelconque de différentiation, c’est-à-dire si l’on pose

on aura encore asymptotiquement

En ce qui concerne l’étude des séries analogues à celles de Stirling, je renverrai au § 1 d’un Mémoire que j’ai publié dans les Acta mathematica (t. VIII, p. 295).

Il est clair d’ailleurs que les mêmes raisonnements subsisteraient quand on aurait plus de 2 degrés de liberté et, par conséquent variables au lieu d’une seule.

FIN DU TOME PREMIER.
  1. Voir plus loin la démonstration donnée en détail dans un cas analogue se rapportant aux équations (21) et (21 bis)\,;