CHAPITRE XII.
APPLICATION AUX ORBITES.
Exposé de la difficulté.
142.Il y a des cas où l’application des méthodes exposées dans
le Chapitre précédent peut donner lieu à certaines difficultés : ce
sont ceux où les excentricités sont très petites. Voici comment on
peut s’en rendre compte.
Je crois que l’étude d’un exemple simple, beaucoup plus simple
que n’est le Problème des trois Corps, sera de nature à mieux
faire comprendre ces difficultés.
Soit donc
est un paramètre très petit, une constante, et deux
paires de variables conjuguées.
Considérons les équations canoniques
(1)
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Ces équations sont très faciles à intégrer complètement, comme
nous le verrons plus loin. Mais je veux d’abord faire ressortir leur
analogie avec les équations du Problème des trois Corps.
Nous avons vu, au no 137, qu’après un certain nombre de changements
de variables, les équations de ce problème pouvaient être
mises sous la forme canonique, les variables conjuguées étant
De plus, est développable suivant les puissances de
et
périodique en et enfin ne dépend que de et La
fonction définie au commencement de ce numéro, est tout à fait
analogue ; la variable joue le rôle de et , celui des celui
de et celui des On voit que est développable suivant
les puissances de
et que, pour elle se réduit à
L’analogie est donc évidente. Supposons qu’on veuille appliquer
à cette équation la méthode des Chapitres précédents, c’est-à-dire
chercher à intégrer l’équation aux dérivées partielles
(2)
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étant une constante d’intégration. Il s’agit de trouver une solution
de cette équation (2), qui soit développable suivant les puissances
de et telle que et soient périodiques en et en
Pour cela posons
l’équation (2) devient, avec les variables nouvelles et
Soit une constante d’intégration, et posons
nous satisferons à notre équation en faisant
La fonction ainsi définie satisfait bien à toutes les données
du problème, à une condition toutefois, c’est que le radical
puisse être développé suivant les puissances de Or ce développement
est possible, pourvu que
et il sera très convergent si est très petit, non seulement d’une
manière absolue, mais encore par rapport à
Si nous voulons poursuivre la comparaison avec le Problème
des trois Corps, nous verrons que représente une quantité analogue
à celle que nous avons désignée par dans le Chapitre
précédent ; regardons-la donc comme de l’ordre du carré des
excentricités.
Si et sont tous deux très petits, on pourrait se proposer de
développer suivant les puissances de et de Un pareil
développement est impossible, car le radical
est seulement développable suivant les puissances de (parce que
dépend de ) et de
Si donc est assez petit pour être comparable à la méthode
du Chapitre précédent cesse d’être applicable.
143.Il est aisé de voir qu’une difficulté analogue se présente
dans le Problème des trois Corps.
Reprenons, en effet, ce problème tel que nous l’avons posé dans
le Chapitre précédent. Nos variables conjuguées sont
La fonction qui satisfait formellement à notre équation aux
dérivées partielles
et qui a été définie dans le Chapitre précédent dépend des constantes
, et
ces dernières constantes seront en général, dans les applications des quantités très petites, de l’ordre du carré
des excentricités. Nous pouvons alors poser
étant une constante de l’ordre des excentricités, et les étant
des constantes finies. Si nous regardons un instant les comme
donnés, dépendra encore de trois constantes arbitraires
et
On peut se demander alors si est développable suivant les puissances
de et de
S’il en était ainsi, la solution exposée dans le Chapitre précédent
serait toujours satisfaisante quelque petit que soit c’est-à-dire
quelque petites que soient les excentricités.
Mais il n’en est pas ainsi, comme nous allons le voir et comme
l’exemple du numéro précédent permettait déjà de le prévoir. est
seulement développable suivant les puissances de et de Il en
résulte que la méthode n’est plus applicable, si n’est pas très
petit ; elle ne l’est donc pas, bien que les masses soient très petites,
si les excentricités sont du même ordre que les masses.
Reprenons notre équation
que j’écrirai, pour abréger,
(2)
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Nous avons vu au no 139 que cette équation admet une solution
particulière que nous avons appelée on aura donc
étant une constante.
Posons maintenant
il viendra
(3)
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Le premier membre de (3) sera développable suivant les puissances
de je dis de et non de en effet, contient des
termes de degré impair par rapport aux Or les qui sont
liés aux
par les relations
trouvées aux nos 138 et 141, sont développables suivant les puissances
de et, par conséquent, de Donc les et par
conséquent seront développables suivant les puissances de
J’observe de plus que, si est de l’ordre des excentricités, sera fini.
En effet, quand s’annule, se réduit à Or cette solution
particulière correspond, comme nous l’avons vu, au cas où les
sont nuls. Dans les applications, les ne sont pas nuls, mais
sont des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.
La différence sera donc de l’ordre du carré des excentricités,
c’est-à-dire de l’ordre de
Faisons, pour abréger,
il viendra en retranchant (2) de (3)
(4)
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étant une nouvelle constante égale à
sera développable suivant les puissances croissantes de
de sorte que
sera d’ailleurs périodique en et en et j’appellerai la
valeur moyenne de
Comme Σ est développable suivant les puissances de de sorte que
sera également développable, de sorte que
et il est clair que
On aura donc
ne dépend que de et de quand on aura substitué
à la place de deviendra donc développable suivant
les puissances de
d 'où il résulte que
sont divisibles par et ne dépendent d’ailleurs pas des Il
résulte d’abord de là que est développable suivant les puissances
positives et croissantes de
Au contraire, comme le développement de contient des
termes du premier degré en sera développable
non pas suivant les puissances de mais suivant celles de Le
développement de la différence
commencera par un terme en
D’où cette conséquence : est développable suivant les puissances
croissantes de mais le développement commence par un
terme en
Observons maintenant que est une fonction périodique en
et et proposons-nous d’en déterminer la valeur moyenne
La valeur moyenne de est par définition quand
on y remplacera par cette valeur moyenne ne changera
pas et s’écrira Cela tient à ce que
se réduisent respectivement à
et ne dépendent pas de et de si, au contraire, ces dérivées
dépendaient périodiquement de et la valeur moyenne pourrait
être modifiée par la substitution.
D’autre part, la valeur moyenne
ne dépend ni des ni des puisque n’en dépendait pas
lui-même ; elle est d’ailleurs développable suivant les puissances
positives et croissantes de
De même, est développable suivant les puissances
positives et croissantes de parce que le développement primitif
de suivant les puissances des (contrairement à ce qui
se passait pour celui de ) ne contenait pas de termes de degré
impair et en particulier de termes du premier degré. Il vient donc
de sorte que est développable suivant les puissances positives
et croissantes de
Si donc nous développons suivant les puissances croissantes
de ainsi qu’il suit
nous aurons, pour déterminer les des formules de récurrence
que les méthodes des Chapitres précédents nous ont fournies.
Comme est une fonction périodique de et de
j’écrirai
s étant une fonction périodique de valeur moyenne nulle et
étant indépendant de et
Nous pourrons écrire alors
(5)
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doit dépendre de
et de
La lettre représente une sommation portant, soit sur les diverses
paires de variables conjuguées et , soit sur les deux paires
de variables conjuguées et , et
Les deux membres des relations (5) sont développables suivant
les puissances croissantes de mais les premiers membres ne
contiennent que des puissances positives, tandis que les seconds
membres contiennent dès puissances négatives. Avant qu’on ait
remplacé, dans et les dérivées de et de calculées
antérieurement par récurrence, les développements de ces
deux fonctions contenaient déjà des termes en parce que le
développement de en contient, comme nous l’avons vu plus
haut. Il en résulte que le développement de suivant les puissances
croissantes de doit commencer par une puissance négative
de Si donc, dans et on remplace les dérivées des et
par leurs développements, suivant les puissances de antérieurement
calculés, alors et seront encore développés suivant les
puissances croissantes de mais le développement, au lieu de
commencer par un terme en commencera par un terme en
étant un entier positif.
L’exposant de dans le premier terme du développement de
ira donc en croissant avec
Il en résulte que, si les excentricités sont très petites, on pourra
craindre de voir apparaître dans des termes très grands. C’est
là une difficulté qui, ainsi qu’on l’a vu, provient simplement de
la présence de termes en dans et ces termes en sont dus
simplement à ce fait que contenait des termes du premier degré
par rapport aux ou encore par rapport à et
Voyons maintenant si cette difficulté, dont l’exemple du numéro
précédent nous aide à comprendre la nature, n’est pas purement
artificielle et si quelque détour ne nous permettra pas d’en
triompher.
Solution de la difficulté.
144.Pour nous rendre compte de la manière dont on peut
triompher de la difficulté que je viens de signaler, revenons à
l’exemple très particulier du no 142.
Posons
nos équations canoniques deviennent
(1 bis)
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le système d’équations est évidemment très facile à intégrer, car
les deux dernières sont linéaires et donnent immédiatement, en
observant que
(2)
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où
et où et sont deux constantes arbitraires.
On n’a plus ensuite qu’une quadrature à effectuer pour obtenir et cette quadrature s’exécute sans peine. Il vient, en effet,
étant une nouvelle constante d’intégration.
Une solution particulière remarquable correspond au cas où
et sont nuls. Il vient alors
(3)
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d’où
Si l’on veut continuer la comparaison avec le Problème des trois
Corps, on pourra dire que cette solution particulière (3) est l’analogue
des solutions périodiques de la première sorte définies au
Chapitre III.
Les équations (2) nous donnent
Si et sont regardées pour un instant comme les coordonnées
d’un point dans un plan, c’est là l’équation d’un cercle qui a pour
centre le point
qui correspondrait à la solution périodique (3). Ce point est voisin
de l’origine, parce que et, par conséquent, sont petits ; mais il
diffère néanmoins de l’origine, et, si et sont petits également,
le rayon du cercle est petit et l’origine peut devenir très excentrique
par rapport à ce cercle ; elle peut même être en dehors de
ce cercle.
Si nous passons aux coordonnées polaires
et
l’équation du cercle devient
Comparons cette équation avec celle-ci, que l’on peut déduire
aisément de l’équation (2) du no 142
et d’où nous avons déduit, dans ce
no 142, la valeur de
rappelons-nous que
Nous verrons que les deux équations sont identiques pourvu que l’on fasse
d’où il suit que la constante n’est autre chose que celle
que nous avons appelée plus haut et que nous avons regardée
comme étant de l’ordre du carré des excentricités. Le rayon du
cercle qui est est donc de l’ordre des excentricités et, s’il
est de l’ordre de c’est-à-dire de l’origine peut se trouver en
dehors du cercle.
Nous pouvons donc dire que, si dans le no 142 nous avons rencontré
la difficulté que j’ai signalée, c’est parce que nous avions
employé des espèces de coordonnées polaires et parce que nous
en avions mal choisi l’origine. Cette origine doit être prise au
centre du cercle, c’est-à-dire au point qui correspond à la solution
périodique.
Nous sommes donc conduits à changer d’origine en posant
Pour conserver aux équations leur forme canonique, nous devons
maintenant adopter une variable nouvelle telle que
Nos variables conjuguées sont alors
La fonction qui, par hypothèse, était égale à
devient, en fonction des variables nouvelles,
Les deux derniers termes sont des constantes et ne jouent aucun
rôle puisqu’on peut les faire rentrer dans la constante
Nos équations différentielles deviennent alors
et l’équation aux dérivées partielles correspondantes devient
Si l’on revient maintenant aux coordonnées polaires en posant
il vient
et l’équation aux dérivées partielles se réduit à
Grâce à la simplicité de l’exemple que j’ai choisi, l’intégration
de l’équation ainsi transformée est immédiate ; mais le point important
pour mon objet, c’est de faire observer que les termes qui
seraient analogues au terme en
dans l’équation (2) du no 142
ont disparu. Or c’était de ce terme que provenait toute la difficulté.
145.Essayons donc d’appliquer la même méthode au Problème
des trois Corps et d’abord dans le plan.
Nous avons pris d’abord pour variables
(1)
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puis
(2)
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puis
(3)
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puis
(4)
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Poursuivons notre comparaison et ne considérons pour le moment
que les deux dernières paires de variables conjuguées, en
laissant de côté les deux premières paires, c’est-à-dire et et
leurs conjuguées.
Nous pourrons dire alors que les variables (1) et (2) sont analogues
à des coordonnées rectangulaires et les variables (3) et (4)
analogues à des coordonnées polaires.
La difficulté que nous avons signalée au no 143 provient, comme
on l’a vu, de la présence de termes de degré 1/2 par rapport aux
provenant eux-mêmes de termes du premier degré par rapport aux
et de termes du premier degré en
Si la fonction ne contenait pas de pareils termes, nous n’aurions
pas rencontré cette difficulté.
Mais, comme elle est tout à fait analogue à celle que nous avons
signalée au no 142 et dont nous avons triomphé au no 144, nous
sommes conduits à penser que nous en viendrons à bout par les
mêmes moyens, c’est-à-dire par une transformation analogue à un
changement d’origine. Il faut remplacer les variables
par d’autres qui s’annulent pour les solutions périodiques de la
première sorte étudiées au no 40, puisque ces solutions sont analogues
à la solution périodique (3) du numéro précédent.
Étudions donc ces solutions périodiques du no 40. Nous avons
vu que, pour ces solutions périodiques de la première sorte,
(5)
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sont des fonctions périodiques du temps, et qu’il en est de même
de
Nous pouvons aussi considérer les variables (5) comme des fonctions périodiques de et de deux constantes arbitraires
que j’appellerai et
Soient donc
les équations de ces solutions périodiques ; et
seront des fonctions de et périodiques par rapport
à et Voici quelle est la forme de ces fonctions. et ne
dépendent que de et on a
et ne dépendant que de
On déduit de là facilement l’identité suivante
(6)
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et, par symétrie,
Cela posé, formons une fonction auxiliaire
étant une fonction de que nous déterminerons
plus loin. Alors est fonction de
Si alors nous posons
(7)
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et que l’on prenne pour variables nouvelles
au lieu de
la forme canonique des équations ne sera pas altérée. Il vient alors
Quand on fait
et se réduisent respectivement à et Je veux
que et se réduisent de leur côté à et Cela entraîne les
conditions
(8)
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Ces deux équations sont compatibles et déterminent pourvu
que les valeurs auxquelles elles conduisent pour les dérivées de
satisfassent à la condition d’intégrabilité
Or cette condition s’écrit
Si l’on tient compte des équations (6) et si l’on observe que
et ne dépendent que de il viendra
ce qui veut dire que l’on doit avoir pour la solution périodique
c’est-à-dire
Or, cette condition n’est autre chose que l’équation des aires, elle
est donc remplie.
La fonction définie par les équations (8), existe donc. Ses
dérivées et sont périodiques
en et Les valeurs moyennes
de ces deux fonctions périodiques dépendent seulement des deux
constantes et Comme nous n’avons jusqu’ici rien supposé
au sujet du choix de ces deux constantes, nous pouvons les choisir
de telle façon que ces valeurs moyennes soient précisément et
On aura alors
fonction périodique en
et
La fonction est développable suivant les puissances croissantes
de , et pour se réduit à
Pour effectuer la transformation, cherchons à exprimer les
variables anciennes en fonctions des nouvelles à l’aide des équations (7). Nous avons d’abord
(9)
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puis, les deux premières équations (7)
Dans ces deux équations, je remplace et par leurs valeurs (9),
et alors elles peuvent s’écrire
et étant des fonctions de de la
forme suivante :
1o Elles sont développables suivant les puissances de
2o Elles sont périodiques en et
3o Elles sont linéaires en
De ces équations on peut alors déduire, par application des
principes du Chapitre II, dont nous avons fait un si fréquent usage,
et étant des fonctions de et des mêmes lettres
accentuées, qui sont
1o Développables suivant les puissances de
2o Périodiques en et
Substituons dans les équations (9) ces valeurs de et de
nous aurons les et les en fonctions des variables nouvelles. J’observe
que les et les exprimés de la sorte sont développables
suivant les puissances de des et des et périodiques en
et de plus, pour et se réduisent à et
Si, dans les deux équations,
on substitue maintenant, à la place des des et des leurs
expressions en fonctions des variables nouvelles, on aura et
exprimés en fonctions des des des et des périodiques
en et développables suivant les puissances de des et
des et se réduisant pour à et
Que devient maintenant quand on adopte les variables nouvelles ?
Il est clair que sera encore développable suivant les puissances
de des et des et périodique en et
Soit
le développement de suivant les puissances de quand on
adopte les variables anciennes et soit de même
le développement de quand on adopte les variables nouvelles.
Il est clair d’abord que, pour obtenir il suffit de remplacer
dans et par et
Calculons
Soit ce qu’on obtient en remplaçant dans chaque variable
ancienne par la variable nouvelle correspondante, c’est-à-dire
par par par etc.
Soit
le développement de et de suivant les puissances de Il est
clair que
Calculons On trouve aisément
Donc, pour obtenir il faut dans l’expression
il faut, dis-je, faire et par conséquent Donc
(et il en est de même de ) est une fonction périodique des
linéaire des et des et sa valeur moyenne (par rapport à
et ) ne dépend ni des ni des
Donc sera périodique en et Soit sa valeur moyenne,
celle de On obtiendra en remplaçant dans chaque
variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, et
ne différera de que par une quantité indépendante des et
des
Nous avons vu au Chapitre X quelle est l’importance des équations
pour l’étude des variations séculaires des éléments. Après le changement
de variables que nous venons de faire, elles seraient remplacées
par les suivantes
Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes
d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier
que parce que les lettres sont affectées d’indices.
Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite
n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce
qui doit en mettre les avantages en évidence.
Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions
périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables.
Grâce au choix de notre fonction auxiliaire elles s’écriront
Enfin, et seront des fonctions données du temps, des deux
constantes et et de deux nouvelles constantes arbitraires.
Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire
pour notre objet, de voir comment et dépendent de ces
deux constantes que j’appellerai et nous aurons
et étant deux fonctions de qui, quand
augmente d’une certaine constante dépendant de et augmentent
elles-mêmes d’une certaine constante (la même pour
et pour ) qui dépend aussi de et La première de ces deux
constantes est la période de la solution périodique envisagée et
la seconde est l’angle dont tourne le système des trois corps
pendant la durée d’une période.
Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :
Si et sont nuls à l’origine des temps, la solution
est périodique de la première sorte et ces quatre variables
et resteront toujours nulles.
Or, nous avons les équations différentielles
Il faut donc que les quatre dérivées
s’annulent à la fois quand les quatre variables
s’annulent à la fois, c’est-à-dire que ne contienne pas de termes
du premier degré par rapport à ces quatre variables.
Ainsi l’expression de en fonction des variables nouvelles a la
même forme que l’expression de en fonction des variables anciennes ;
la seule différence, c’est qu’il n’y a pas de termes du
premier degré par rapport à tandis qu’il y avait des
termes du premier degré par rapport aux quatre variables anciennes
correspondantes et Or, c’étaient ces termes du premier
degré qui créaient toute la difficulté ; cette difficulté a donc disparu
avec eux.
Il en est de même si, au lieu du Problème des trois Corps dans
le plan, on a à traiter le Problème des trois Corps dans l’espace.
Si, en effet, on choisit comme variables
ne contiendra pas de terme du premier degré par rapport aux
aux aux et aux