Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.13

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 94-111).

CHAPITRE XIII.

DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

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146. Dans le Chapitre IX, nous avons reconnu que les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

où les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des quantités

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

et sont représentées par des séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples des $w_{i}$ de façon que l’on ait

(3)

$x_{i}^{k}(\mathrm {ou} \;y_{i}^{k})=\mathrm {A} _{0}+{\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h).$

La valeur moyenne $\mathrm {A} _{0}$ de ces fonctions périodiques peut d’ailleurs être choisie arbitrairement.

Il s’agit maintenant de reconnaître si ces séries sont convergentes. Mais la question se subdivise ; on peut demander en effet :

1^o Si les séries partielles (3) sont convergentes, et si la convergence est absolue et uniforme.

2^o En admettant qu’elles ne convergent pas absolument, si l’on peut grouper les termes de façon à obtenir des séries semi-convergentes.

3^o En admettant que les séries (3) convergent, si les séries (2) convergeront et si la convergence sera uniforme.

Discussion des séries (3).

147.Rappelons de quelle manière nous avons obtenu les séries (3). Nous sommes arrivés à des équations de la forme suivante

${\textstyle \sum }\,n_{p}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{k}}{dw_{p}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)$

[équations (12) du n^o 127] et nous en avons tiré

(3 bis)

$x_{i}^{k}=\sum {\frac {\mathrm {B} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {A} _{0},$

$\mathrm {A} _{0}$ étant une constante arbitraire.

La série (3 bis) converge-t-elle absolument et uniformément ? S’il en était ainsi, la somme de cette série devrait rester finie pour toutes les valeurs du temps. Or, j’ai démontré, dans le Bulletin astronomique (t. 1, p. 324), que la somme des termes d’une pareille série ne pouvait constamment rester inférieure à la moitié d’un quelconque de ses coefficients.

Donc, pour que la série (3 bis) converge uniformément, il faut que la valeur absolue du coefficient

${\frac {\mathrm {B} }{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}$

soit limitée.

Supposons, pour fixer les idées, deux degrés de liberté seulement et soit $n_{1}^{0}=n,$ $n_{2}^{0}=-1\,;$ la série (3 bis) devient

$\mathrm {A} _{0}+\sum {\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h_{m_{1}m_{2}})}{m_{1}n-m_{2}}}$

et la valeur absolue des coefficients

(4)

${\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{m_{1}n-m_{2}}}$

doit être limitée.

Il est clair d’abord que cela ne peut pas avoir lieu pour les valeurs commensurables de $n,$ à moins que $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ ne soit nul toutes les fois que

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=n.$

Nous sommes donc conduits à nous occuper du cas où $n$ est incommensurable et envisager spécialement ceux des diviseurs $m_{1}n-m_{2}$ qui correspondent aux réduites successives de $n.$

Je dis d’abord que, quelle que soit la série des nombres $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}},$ on peut trouver un nombre incommensurable $n$ (aussi voisin que l’on veut d’un nombre donné) et qui soit tel que la valeur absolue des coefficients (4) ne soit pas limitée.

Soient, en effet,

${\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}},\quad {\frac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}},\quad \ldots ,{\frac {\alpha _{p}}{\beta _{p}}},\quad \ldots$

les réduites successives de $n.$

Soient

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{p},\quad \ldots ,$

une suite quelconque de nombres positifs indéfiniment croissants. Je dis qu’on peut toujours choisir le nombre $n,$ de telle façon que

(5)

$\left|{\frac {\mathrm {B} \beta _{p}\alpha _{p}}{n\beta _{p}-\alpha _{p}}}\right|>\lambda _{p}.$

Nous avons, en effet, d’après la définition des réduites,

${\begin{aligned}\alpha _{p+1}&=\alpha _{p-1}+\alpha _{p}a_{p+1},&\beta _{p+1}&=\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1},\end{aligned}}$

$a_{p+1}$ étant un entier positif que nous pouvons choisir arbitrairement, sans altérer en rien les $p$ premières réduites.

On a, d’autre part,

$|n\beta _{p}-\alpha _{p}|<{\frac {1}{\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1}}}\cdot$

Nous pouvons donc choisir l’entier $a_{p+1},$ de telle façon que la valeur absolue de $n\beta _{p}-\alpha _{p}$ soit aussi petite que nous le voudrons, et, par conséquent, de façon à satisfaire à l’inégalité (5), quels que soient les nombres $\mathrm {B} \beta _{p}\alpha _{p}$ et $\lambda _{p}.$

Comme les nombres $\lambda _{p}$ sont assujettis seulement à être indéfiniment croissants, nous pouvons choisir arbitrairement les $q$ premiers de ces nombres (quel que soit $q$), et par conséquent les $q$ premières réduites ; le nombre $n$ peut donc être aussi voisin que l’on veut d’un nombre quelconque donné.

En revanche, on peut souvent trouver un nombre $n$ tel que la série (3 bis) soit convergente ; supposons, en effet, que la série

${\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)$

converge et, ce qui arrivera d’ordinaire, de telle façon que l’on ait, pour toutes les valeurs de $m_{1}$ et de $m_{2},$

(6)

$|\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}|<\mathrm {K} \alpha ^{|m_{1}|}\beta ^{|m_{2}|},$

$\mathrm {K}$ étant un nombre positif quelconque, et $\alpha$ et $\beta$ deux nombres positifs plus petits que 1.

Prenons $n={\sqrt {\frac {p}{q}}},$ $p$ et $q$ étant deux entiers premiers entre eux et tels que $pq$ ne soit pas carré parfait. Il vient alors

$\left|{\frac {1}{m_{1}n-m_{2}}}\right|-\left|{\frac {m_{1}n+m_{2}}{m_{1}^{2}n^{2}-m_{2}^{2}}}\right|=\left|{\frac {(m_{1}n+m_{2})q}{pm_{1}^{2}-qm_{2}^{2}}}\right|<q(|m_{1}|n+|m_{2}|),$

d’où

$\left|{\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)}{m_{1}n-m_{2}}}\right|<\mathrm {K} q(|m_{1}|n+|m_{2}|)\alpha ^{|m_{1}|}\beta ^{|m_{2}|},$

ce qui prouve que la série (3 bis) converge.

Mais on peut évidemment choisir les entiers $p$ et $q,$ de telle sorte que ${\sqrt {\frac {p}{q}}}=n$ soit aussi voisin que l’on veut d’un nombre quelconque donné.

Nous sommes donc conduits au résultat suivant, que j’énonce en l’étendant tout de suite au cas général.

Soient $\mathrm {K}$ un nombre positif quelconque, $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,\,\alpha _{n}$ des nombres positifs plus petits que 1.

Je suppose que l’on ait une inégalité analogue à (6), et que j’écrirai

$|\mathrm {B} |<\mathrm {K} \alpha _{1}^{|m_{1}|}\alpha _{2}^{|m_{2}|}\ldots \alpha _{n}^{|m_{n}|},$

c’est ce qui arrivera d’ordinaire.

Dans ce cas, on pourra choisir les nombres

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0},$

de telle sorte :

1^o Qu’ils soient aussi voisins que l’on veut de $n$ nombres donnés, et en même temps que la série (3 bis) ne converge pas uniformément ;

2^o Mais on pourra les choisir également de telle sorte qu’ils soient encore aussi voisins que l’on veut des mêmes $n$ nombres donnés, et que la série (3 bis) converge uniformément.

On conçoit aisément l’importance de cette remarque. En effet, les observations, quelle que soit d’ailleurs leur précision, ne peuvent faire connaître les moyens mouvements qu’avec une certaine approximation. On pourra donc toujours, en restant dans les limites de cette approximation, s’arranger de façon que les séries (3 bis) convergent.

D’un autre côté, on peut se demander s’il peut se faire que les séries (3 bis) convergent pour les valeurs des constantes d’intégration $x_{i}^{0}$ comprises dans un certain intervalle (on se rappelle que les $n_{i}^{0}$ dépendent des $x_{i}^{0}$). D’après ce que nous venons de voir, cela ne serait possible que si la série

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)$

ne contenait qu’un nombre limité de termes, c’est-à-dire si, dans la fonction

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$

chacune des fonctions $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ dans son développement suivant les sinus et les cosinus des multiples des $y,$ ne contenait qu’un nombre fini de termes.

Il n’en sera pas ainsi en général, et la fonction $\mathrm {F} _{1},$ par exemple, sera une série d’une infinité de termes. Mais, dans la pratique, on dirigera le calcul de façon à être ramené au cas où les fonctions $\mathrm {F} _{i}$ n’ont qu’un nombre fini de termes. En effet, la série $\mathrm {F} _{1}$ étant convergente, tous les termes, à l’exception d’un nombre fini d’entre eux sont extrêmement petits. Il serait donc sans intérêt d’en tenir compte dès la première approximation.

Voici donc ce qu’on sera conduit à faire : dans la série $\mathrm {F} _{1},$ tous les termes, sauf un nombre fini d’entre eux, pourront être regardés comme du même ordre de grandeur que $\mu \,;$ mais il y en aura qui seront du même ordre de grandeur que $\mu ^{2},$ d’autres, plus petits encore, qui seront du même ordre de grandeur que $\mu ^{3},$ etc. Dans les autres séries $\mathrm {F} _{2},$ $\mathrm {F} _{3},$ on trouvera de même des termes de ces divers ordres de grandeur.

Nous pourrons donc écrire en général

$\mathrm {F} _{i}=\mathrm {F} _{i,0}+\mathrm {F} _{i,1}+\mathrm {F} _{i,2}+\ldots +\mathrm {F} _{i,k}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{i,k}$ représentant ceux des termes des $\mathrm {F} _{i}$ qui peuvent être regardés comme du même ordre de grandeur que $\mu ^{k}.$ Ces termes sont en nombre fini. Cette manière de décomposer $\mathrm {F} _{i}$ comporte évidemment un assez grand degré d’arbitraire.

Soit maintenant $\mu '$ une quantité qui soit du même ordre de grandeur que $\mu$ et posons

$\mathrm {F} _{i,k}=\mu '^{k}\Phi _{i,k}$

Tous les termes de $\Phi _{i,k}$ seront finis et nous pourrons écrire

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mu ^{i}\mu '^{k}\Phi _{i,k}$

Grâce à cet artifice, $\mathrm {F}$ dépend maintenant de deux paramètres, et $\Phi _{i,k}$ ne contient qu’un nombre fini de termes. Comme les deux paramètres $\mu$ et $\mu '$ sont du même ordre de grandeur, nous ferons $\mu =\lambda \mu '$ et nous aurons

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mu '^{k}\Phi _{k}$

$\Phi _{k}$ ne contenant qu’un nombre fini de termes.

Cet artifice, que j’ai peut-être exposé un peu longuement, mais dont l’application peut se faire très rapidement, montre que dans la pratique on pourra toujours se supposer ramené au cas où chacune des fonctions $\mathrm {F} _{i}$ ne contient qu’un nombre fini de termes.

Discussion des séries (2).

148.La question de la convergence des séries (3) étant ainsi tranchée, il y a lieu de se demander si les séries (2) convergent.

Mais cette question se subdivise.

Les séries (2) dépendent, en effet, de $\mu$ et des constantes d’intégration $x_{i}^{0}.$ On peut donc se demander :

1^o Si les séries (2) convergent uniformément pour toutes les valeurs de $\mu$ et des $x_{i}^{0}.$ comprises dans un certain intervalle.

2^o Si les séries (2) convergent uniformément pour les valeurs suffisamment petites de $\mu$ quand on donne aux $x_{i}^{0}$ des valeurs convenablement choisies.

À la première question on doit répondre négativement.

En effet, supposons que les séries (2) convergent uniformément et écrivons-les sous la forme suivante

(7)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \varphi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}^{0}+\mu \psi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant des fonctions développables suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ et périodiques par rapport aux $w,$ dépendant d’ailleurs des $x_{i}^{0}$ d’une manière quelconque.

Résolvons les équations (7) par rapport aux $x_{i}^{0}$ et aux $w_{i}.$ On pourra tirer de ces équations les $x_{i}^{0}$ et les $w_{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients dépendent des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Il est facile de s’en assurer ; on n’a, en effet, pour voir que le théorème du n^o 30 est applicable, qu’à remarquer que, pour $\mu =0,$ les équations se réduisent à

${\begin{aligned}x_{i}^{0}&=x_{i},&w_{i}&=y_{i}\end{aligned}}$

et que le déterminant fonctionnel des premiers membres est égal à 1. On n’a d’ailleurs qu’à appliquer la formule de Lagrange généralisée.

On trouve ainsi

(8)

$x_{i}^{0}=x_{i}+\mu \varphi _{i}'(y_{k},x_{k},\mu ),$

(9)

$w_{i}=y_{i}+\mu \psi _{i}'(y_{k},x_{k},\mu ),$

$\varphi _{i}'$ et $\psi _{i}'$ étant des fonctions développables suivant les puissances de $\mu ,$ uniformes par rapport aux $x$ et aux $y$ et périodiques par rapport aux $y.$

Les équations (8) définissent ainsi $n$ intégrales uniformes de nos équations différentielles.

D’un autre côté, nous avons posé

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

et les coefficients $n_{i}$ ainsi définis dépendent de $\mu$ et des $x_{i}^{0}\,;$ si ces quantités peuvent varier entre certaines limites, on pourra en disposer de façon que les coefficients $n_{i}$ soient commensurables entre eux.

Dans ce cas, on pourra trouver un nombre $\mathrm {T} ,$ tel que les $n_{i}\mathrm {T}$ soient des multiples de $2\pi .$ Par conséquent, quand on donnera à $\mu$ et aux $x_{i}^{0}$ ces valeurs particulières, les équations (7) représenteront une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ L’existence de $n$ intégrales uniformes nous forcerait à conclure que $n+1$ des exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont nuls.

Mais il y a plus.

Les séries (7), par hypothèse, doivent satisfaire aux équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous avons vu qu’en donnant aux $n$ constantes d’intégration $x_{k}^{0}$ certaines valeurs particulières, les séries (7) représentent une solution périodique de ces équations. Pour achever de déterminer cette solution, nous donnerons également aux $n$ constantes d’intégration $\varpi _{k}$ certaines valeurs particulières.

Soit

(10)

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}(t),&y_{i}&=f_{i}'(t),\end{aligned}}$

la solution périodique ainsi obtenue. Posons

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}+\xi _{i},&y_{i}&=f_{i}'+\eta _{i},\end{aligned}}$

et formons les équations aux variations des équations (1) (Cf. n^o 53). Les séries (7) devant satisfaire aux équations différentielles, quelles que soient les constantes $x_{k}^{0}$ et $\varpi _{k},$ on obtiendra $2n$ solutions particulières linéairement indépendantes de nos équations aux variations en faisant

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\varepsilon _{ik}+t\,\mu \sum {\frac {d\varphi _{i}}{dw_{p}}}{\frac {dn_{p}}{dx_{k}^{0}}}+\mu \,{\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}^{0}}},\\\eta _{i}&={\frac {dn_{i}}{dx_{k}^{0}}}\,t+t\,\mu \sum {\frac {d\psi _{i}}{dw_{p}}}{\frac {dn_{p}}{dx_{k}^{0}}}+\mu \,{\frac {d\psi _{i}}{dx_{k}^{0}}},\\\xi _{i}&=\mu \,{\frac {d\varphi _{i}}{dw_{k}}},\qquad \eta _{i}=\varepsilon _{ik}+\mu \,{\frac {d\psi _{i}}{dw_{k}}}\,;\end{aligned}}$

${\begin{array}{c}\varepsilon _{ik}=1\;\mathrm {si} \;i=k\quad \mathrm {et} \quad 0\;\mathrm {si} \;i\gtrless k\\(i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{array}}$

Dans les fonctions

(11)

${\frac {d\varphi _{i}}{dw_{p}}},\quad {\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}^{0}}},\quad {\frac {d\psi _{i}}{dw_{p}}},\quad {\frac {d\psi _{i}}{dx_{k}^{0}}},$

les constantes $x_{k}^{0}$ et $w_{k}$ doivent être remplacées par les valeurs qui correspondent à la solution périodique (10) ; les fonctions (i i) deviennent ainsi périodiques en $t.$

IL en résulte que les $2n$ exposants caractéristiques sont nuls. Or nous savons qu’il n’en est pas ainsi en général.

Donc, en général, les séries (2) ne convergeront pas uniformément quand µ et les x_i^0 varieront dans un certain intervalle.

C.Q.F.D.

149.Il nous reste à traiter la deuxième question ; on peut encore, en effet, se demander si ces séries ne pourraient pas converger pour les petites valeurs de $\mu ,$ quand on attribue aux $x_{i}^{0}$ certaines valeurs convenablement choisies.

Ici nous devons distinguer deux cas.

En général, les $n_{i}$ dépendent non seulement des $x_{i}^{0},$ mais encore de $\mu$ et sont développables suivant les puissances de $\mu .$

Nous avons vu, en outre, que l’on peut choisir arbitrairement les valeurs moyennes des fonctions $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}\,;$ nous avons vu, de plus, que l’on peut choisir ces valeurs moyennes de façon que l’on ait

${\begin{array}{c}n_{i}=n_{i}^{0},\\n_{i}^{1}=n_{i}^{2}=\ldots =n_{i}^{p}=\ldots =0,\end{array}}$

c’est-à-dire que les $n_{i}$ ne dépendent plus de $\mu .$

Nous pouvons donc distinguer le cas où les $n_{i}$ dépendent de $\mu$ et celui où les $n_{i}$ ne dépendent pas de $\mu .$

Supposons d’abord que les $n_{i}$ dépendent de $\mu$ et en même temps qu’il n’y ait que 2 degrés de liberté.

Soit alors

${\begin{aligned}n_{1}&=n_{1}^{0}+\mu \,n_{1}^{1}+\mu ^{2}n_{1}^{2}+\ldots ,&w_{1}&=n_{1}t+\varpi _{1},\\n_{2}&=n_{2}^{0}+\mu \,n_{2}^{2}+\mu ^{2}n_{2}^{2}+\ldots ,&w_{2}&=n_{2}t+\varpi _{2},\end{aligned}}$

D’autre part, $x_{1},\,x_{2},\,y_{1},$ et $y_{2}$ devraient être développables suivant les puissances de $\mu$ et de telle sorte que $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1}-w_{1},$ $y_{2}-w_{2}$ soient périodiques en $w_{1}$ et $w_{2}.$

Cela devrait avoir lieu pour les valeurs suffisamment petites de $\mu .$ Or, parmi les valeurs de $\mu$ inférieures à une certaine limite, on peut toujours en trouver de telles que le rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ soit commensurable, puisque ce rapport est une fonction continue de $\mu .$

Or, si le rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ est commensurable, les séries (2) représentent une solution périodique des équations (1) et cela, quelles que soient les deux constantes d’intégration $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}$.

Si les séries (2) convergeaient, à cette valeur commensurable de ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ correspondrait une double infinité de solutions périodiques des équations (1).

Or nous avons vu au n^o 42 que cela ne peut avoir lieu que dans des cas très particuliers.

Il semble donc permis de conclure que les séries (2) ne convergent pas.

Toutefois le raisonnement qui précède ne suffit pas pour établir ce point avec une rigueur complète.

En effet, ce que nous avons démontré au n^o 42, c’est qu’il ne peut pas arriver que, pour toutes les valeurs de $\mu$ inférieures à une certaine limite, il y ait une double infinité de solutions périodiques, et il nous suffirait ici que cette double infinité existât pour une valeur de $\mu$ déterminée, différente de 0 et généralement très petite.

Ainsi nous aurions une infinité de solutions périodiques pour $\mu =0$ et pour $\mu =\mu _{0},$ et nous n’en aurions qu’un nombre fini (en ne regardant pas comme distinctes les solutions qu’on déduit les unes des autres en changeant $t$ en $t+h$) pour les valeurs de $\mu$ comprises entre 0 et $\mu _{0}.$

Il est très invraisemblable qu’il en soit ainsi, et cela suffit déjà pour rendre fort improbable la convergence des séries (2).

Mais il y a plus : il n’y aurait d’intérêt à constater la convergence des séries (2) que si cette convergence avait lieu pour une infinité de systèmes de valeurs des constantes $x_{i}^{0}$ de façon qu’on puisse toujours trouver un de ces systèmes qui diffère aussi peu que l’on veut d’un système de valeurs quelconque donné de ces mêmes constantes. Or si un pareil fait se présentait, il y aurait une infinité de valeurs de $\mu$ pour lesquelles les solutions périodiques ${\Big (}$qui correspondent à une valeur commensurable donnée du rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\Big )}$ sont en nombre infini.

On pourrait d’ailleurs trouver une infinité de pareilles valeurs de $\mu$ dans tout intervalle, si petit qu’il soit, pourvu qu’il soit assez voisin de 0. Les exposants caractéristiques devraient être nuls pour toutes ces valeurs de $\mu$ (Cf. n^o 54), et comme ces exposants sont des fonctions continues de $\mu$ (Cf. n^o 74) ils devraient être identiquement nuls.

Nous avons vu qu’il n’en est pas ainsi en général, et nous devons donc conclure que la convergence des séries (2), en admettant qu’elle se produise pour certains systèmes de valeurs des $x_{i}^{0},$ ne pourra pas avoir lieu pour une infinité de ces systèmes.

C’est une raison de plus de regarder comme invraisemblable dans tous les cas la convergence des séries (2) ; car on ne voit pas bien ce qui distinguerait des autres les valeurs des $x_{i}^{0}$ pour lesquelles cette convergence aurait lieu.

On peut enfin se demander ce qui arriverait si l’on choisissait les valeurs moyennes des fonctions $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ de telle sorte que

${\begin{aligned}n_{i}&=n_{i}^{0},\\[0.5ex]n_{i}^{1}=n_{i}^{2}=\ldots &=n_{i}^{p}=\ldots =0,\end{aligned}}$

Dans ce cas, les $n_{i}$ ne dépendent plus de $\mu ,$ mais seulement des $x_{i}^{0}.$

Ne peut-il pas arriver que les séries (2) convergent quand on donne aux $x_{i}^{0}$ certaines valeurs convenablement choisies ?

Supposons, pour simplifier, qu’il y ait deux degrés de liberté ; les séries ne pourraient-elles pas, par exemple, converger quand $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ ont été choisis de telle sorte que le rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ soit incommensurable, et que son carré soit au contraire commensurable (ou quand le rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ est assujetti à une autre condition analogue à celle que je viens d’énoncer un peu au hasard) ?

Les raisonnements de ce Chapitre ne me permettent pas d’affirmer que ce fait ne se présentera pas. Tout ce qu’il m’est permis de dire, c’est qu’il est fort invraisemblable.

Comparaison avec les méthodes anciennes.

150. Je n’ajouterai qu’un mot : quel est, à défaut d’un moyen d’assurer la convergence des séries, le meilleur choix à faire des valeurs moyennes des $x_{i}^{p}$ et des $y_{i}^{p}$ ? Je crois qu’il convient de choisir ces valeurs moyennes de telle façon que les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ (à partir de $x_{i}^{1}$ et de $y_{i}^{1}$) s’annulent pour $t=0,$ de telle façon que les $x_{i}^{0}$ représentent les valeurs initiales des $x_{i}$ et les $\varpi _{i}$ les valeurs initiales des $y_{i}.$

Si ensuite, on considère les séries ainsi obtenues

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}+\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}^{p},$ les $w_{i}$ et les $y_{i}^{p}$ dépendront de $\mu \,;$ si l’on développe ces quantités suivant les puissances de $\mu ,$ puis qu’on ordonne suivant les puissances croissantes de $\mu$ les seconds membres des équations (1), on obtiendra le développement selon les puissances de $\mu$ de celle des solutions particulières de nos équations différentielles qui admet $x_{i}^{0}$ et $\varpi _{i}$ pour valeurs initiales des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

On sait que ce développement est convergent pour les valeurs de $t$ suffisamment petites.

Soit

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \xi _{i}^{0}+\mu ^{2}\xi _{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}^{0}t+\varpi _{i}+\mu \,\eta _{i}^{1}+\mu ^{2}\eta _{i}^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

les $\xi _{i}^{p}$ et les $\eta _{i}^{p}$ sont des fonctions du temps non périodiques, mais ne dépendent plus de $\mu \,;$ de plus, ces fonctions s’annulent de même que les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ pour $t=0.$

De la façon dont nous venons de déduire le développement (2) du développement (1), il est permis de tirer quelques conséquences au sujet de la forme du développement (2).

Ainsi, pour obtenir $\xi _{i}^{1},$ il suffit de faire $\mu =0$ dans l’expression de $x_{i}^{1}.$ Rappelons comment $x_{i}^{1}$ dépend de $\mu \,;$ $x_{i}^{1}$ est une fonction périodique des quantités que nous avons appelées

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n},\quad$

et l’on a d’ailleurs

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.$

$\varpi _{i}$ est une constante d’intégration et $n_{i}$ dépend de $\mu \,;$ si donc on fait $\mu =0,$ $n_{i}$ se réduit à $n_{i}^{0},$ puisqu’on a

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots$

Par conséquent, $w_{i}$ se réduit à $n_{i}^{0}t+\varpi _{i},$ et $x_{i}^{1}$ reste une fonction périodique des quantités $n_{i}^{0}t+\varpi _{i}.$

Donc $\xi _{i}^{1}$ ne contient pas de terme séculaire.

Pour obtenir $\xi _{i}^{1},$ il suffit de faire $\mu =0$ dans

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}+x_{i}^{2}.$

En raisonnant comme nous venons de le faire, on verrait qu’en faisant $\mu =0$ dans $x_{i}^{2}$ on n’y introduit pas de terme séculaire. On a, d’autre part,

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum {\frac {dn_{k}}{d\mu }}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}},$

ou, pour $\mu =0$

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum n_{k}^{i}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\cdot$

On voit ainsi que l’expression de ${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}$ contient des termes séculaires, mais il faut faire une distinction ; j’appellerai termes séculaires mixtes les termes de la forme

$t^{p}\sin \alpha t\quad \mathrm {ou} \quad t^{p}\cos \alpha t,$

et termes séculaires purs les termes de la forme $t^{p}.$

Je puis écrire

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {A} _{0}+\sum \mathrm {A} _{\alpha }\sin \alpha t+\sum \mathrm {B} _{\alpha }\cos \alpha t.$

En effet, le premier membre est une fonction périodique des $w$ et pour $\mu =0,$ on a $w_{i}=n_{i}^{0}t+\varpi _{i}.$ Si $\mathrm {A} _{0}$ est nui, l’expression $\xi _{i}^{2}$ ne contient pas de termes séculaires purs, mais peut contenir des termes séculaires mixtes. Si $\mathrm {A} _{0}$ n’est pas nul, l’expression $\xi _{i}^{2}$ contient des termes séculaires purs.

Il est un cas où $\mathrm {A} _{0}$ est certainement nul, c’est celui où aucune des quantités $n_{i}^{0}$ n’est nulle, et où il n’y a entre les $n_{i}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers (cas du n^o 125). En effet, on a alors

$\mathrm {A} _{0}=\sum n_{k}^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0,$

en désignant par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne d’une fonction périodique $\mathrm {U}$ de $w_{1},\,w_{2},$ $\ldots ,\,w_{n}.$

Mais voici un autre cas où $\mathrm {A} _{0}$ est encore nul.

Je suppose que

$n_{2}^{0}=n_{4}^{0}=\ldots =n_{n}^{0}=0,$

et que, d’autre part, le rapport de $n_{1}^{0}$ à $n_{2}^{0}$ soit incommensurable. Posons

$x_{i}^{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),$

$m_{1},\,m_{2},\,.,\,m_{n}$ étant des entiers et $\mathrm {C}$ et $h$ des constantes quelconques.

Telle est, en effet, la forme du développement de $x_{i}^{1},$ puisque cette fonction est périodique par rapport aux $w.$

Il vient alors

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),$

où

$\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}m_{k}.$

Pour $\mu =0,$ il vient

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(\alpha t+\beta ),$

où

${\begin{aligned}\alpha &=m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0},&\beta &=m_{1}\varpi _{1}+m_{2}\varpi _{2}+\ldots +m_{n}\varpi _{n}+h.\end{aligned}}$

D’après les hypothèses faites plus haut $\alpha$ ne peut être nul que si $m_{1}=m_{2}=0.$ Il vient donc

$\mathrm {A} _{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos \beta ,$

la sommation s’étendant à tous les termes tels que $m_{1}=m_{2}=0.$

Soit maintenant

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}+k),$

$\mathrm {D}$ et $k$ étant des fonctions de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ Telle doit être la forme de la fonction $\mathrm {F} _{1}$ qui est périodique par rapport aux $y.$

Soient $\mathrm {D} _{0}$ et $k_{0}$ ce que deviennent $\mathrm {D}$ et $k$ quand on y remplace $x_{i}$ par $x_{i}^{0}.$ Soit

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0})$

ce que devient $\mathrm {F} _{1}$ quand on y remplace $x_{i}$ par $x_{i}^{0}$ et $y_{i}$ par $w_{i}.$ La fonction $x_{i}^{1}$ sera définie par l’équation

$\sum n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{0}}{dw_{i}}},$

d’où

$x_{i}^{1}=\sum {\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0}),$

d’où

$\mathrm {C} ={\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}},\quad h=k_{0}.$

Si $i=1$ ou $2,$ $\mathrm {C}$ s’annule quand on a $m_{1}=m_{2}=0$ et $\mathrm {A} _{0}$ est nul. Donc $\xi _{1}^{2}$ et $\xi _{2}^{2}$ contiendront des termes séculaires mixtes, mais ne contiendront pas de termes séculaires purs.

Au contraire les expressions

$\xi _{3}^{2},\quad \xi _{4}^{2},\quad \ldots ,\quad \xi _{n}^{2}$

pourront contenir des termes séculaires purs.

Appliquons cela au Problème des trois Corps.

Reprenons les séries du n^o 140.

Les $n_{i}^{0}$ sont nuls, à l’exception de $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}.$

Développons les quantités $\Lambda$ et $\mathrm {V} _{i}$ suivant les puissances croissantes de $\mu \,;$ il viendra

${\begin{alignedat}{5}\Lambda &=\Lambda _{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda _{\displaystyle {\text{① }}}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{\displaystyle {\text{① }}}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{0}'&{}+{}&\mu \,\Lambda _{\displaystyle {\text{② }}}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{\displaystyle {\text{② }}}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {V} _{i}&=\mathrm {V} _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {V} _{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\mathrm {V} _{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ;\end{alignedat}}$

les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}$ et les $\mathrm {V} _{i}'^{k}$ sont des fonctions de $t$ indépendantes de $\mu$ et s’annulant avec $t.$

D’après les considérations qui précèdent, les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}^{1}$ ne contiendront pas de terme séculaire ; c’est le théorème de Lagrange sur l’invariabilité des grands axes quand on néglige les carrés des masses.

Les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}^{2}$ contiendront des termes séculaires mixtes, mais pas de terme séculaire pur ; c’est le théorème de Poisson sur l’invariabilité des grands axes quand on néglige les cubes des masses.

Les $\mathrm {V} _{i}'^{1}$ ne contiendront pas de termes séculaires, mais les $\mathrm {V} _{i}'^{2}$ contiendront des termes séculaires, tant purs que mixtes.

Revenons au cas où les $n_{i}^{0}$ sont tous différents de 0 et ne sont liés par aucune relation linéaire à coefficients entiers. On a alors

$\xi _{i}^{3}=x_{i}^{3}+{\frac {dx_{i}^{2}}{d\mu }}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}\quad \mathrm {pour} \;\mu =0.$

On verrait comme plus haut que $x_{i}^{3}$ ne donne pas de terme séculaire et que ${\frac {dx_{i}^{2}}{d\mu }}$ ne donne pas de terme séculaire pur. On a, d’autre part,

${\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}=\sum {\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}{\frac {d^{2}w_{k}}{d\mu ^{2}}}+\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}{\frac {dw_{k}}{d\mu }}{\frac {dw_{h}}{d\mu }}\cdot$

Le second membre peut s’écrire

$2t{\textstyle \sum }\,n^{2}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+t^{2}\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}n_{k}^{1}n_{h}^{1}.$

Nous avons donc encore des termes séculaires mixtes, mais nous n’avons pas de termes séculaires purs parce que la valeur moyenne des dérivées ${\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}.$ ${\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}$ est toujours nulle.

Le même raisonnement s’appliquerait évidemment aux termes suivants du développement, c’est-à-dire aux $\xi _{i}^{k}.$

Ainsi, dans le cas particulier du Problème des trois Corps, défini au n^o 9, le grand axe demeure invariable, au sens de Poisson, quelque loin que l’on pousse l’approximation.

De même, avec toute autre loi d’attraction que celle de Newton, les développements des quantités qui correspondent aux grands axes ne contiennent pas de termes séculaires purs, quelque loin que l’on pousse l’approximation. Ces quantités sont donc invariables au sens de Poisson.

Ainsi se trouvent rattachés à la méthode de M. Lindstedt les théorèmes fameux de Lagrange et de Poisson.

C’est à M. Tisserand que l’on doit l’idée de la possibilité de ce rattachement.

Ces considérations m’amènent à une dernière remarque.

Il peut sembler que des développements que nous avons établis dans les Chapitres précédents, on ne puisse tirer aucune conclusion puisqu’ils sont tous divergents.

Considérons, en effet, le développement de $\mathrm {arc} \sin u$ et écrivons

$\mathrm {arc} \sin u=u+\mathrm {A} _{1}u^{3}+\mathrm {A} _{2}u^{5}+\ldots ;$

nous pouvons en déduire

$\mu \,t=\sin \mu t+\mathrm {A} _{1}\sin ^{3}\mu t+\mathrm {A} _{2}\sin ^{5}\mu t+\ldots .$

Comme les puissances $\sin ^{3}\mu t,$ $\sin ^{5}\mu t$ peuvent facilement se développer suivant les sinus des multiples de $\mu t,$ ne semble-t-il pas que l’on puisse en déduire le développement, au moins formel, de la fonction $\mu t$ en série trigonométrique ?

Il en serait de même évidemment de $\mu ^{2}t^{2},$ de $\mu t\sin \alpha t,\,\ldots ,$ et de tous les termes que l’on peut rencontrer dans le développement (2).

Par conséquent, dire que les fonctions représentées par ces séries (2) peuvent être développées en séries purement trigonométriques, du moment qu’il s’agit d’un développement purement formel, c’est, à ce qu’il semble, ne rien affirmer et cela ne peut rien nous apprendre au sujet de la forme de ces séries (2).

Ce serait se méprendre ; si l’on voulait, en employant l’artifice grossier que je viens d’appliquer à la fonction $\mu t$ (je n’oserais affirmer que personne ne l’a jamais fait) réduire les développements (2) à une forme purement trigonométrique, on introduirait une infinité d’arguments différents. Ce que nous apprennent les théorèmes des Chapitres précédents, c’est que les développements formels sont possibles avec un nombre limité d’arguments. C’est cela qu’on ne pouvait prévoir et d’où il est permis de tirer de nombreuses conclusions au sujet des coefficients des séries (2) ou de ceux des autres séries analogues que l’on rencontre dans le Problème des trois Corps.